Propiedades de los Estimadores de Mínimos Cuadrados: Teorema de Gauss-Markov (III)

En la figura del anterior post se ha mostrado la distribución muestral del estimador MCO β2, esto es, la distribución de los valores asumidos por β2 en experimentos repetidos de muestreo. Por conveniencia se ha supuesto que β2 está distribuido simétricamente. Como lo indica la figura, la media de los valores β2, E(β2), es igual al verdadero β2. En esta situación se dice que β2 es un estimador insesgado de β2. En la figura 3.8(b) se mostró  la distribución muestral de β2*, un estimador alterno de β2 obtenida utilizando otro método (es decir, difrente al MCO). Por conveniencia, supóngase además que β2 y β2* son estimadores lineales, es decir, son funciones lineales de Y. Cual estimador escogería, β2 o β2*?

Para responder a esta pregunta, sobreponga las dos figuras, como se muestra en la figura 3.8(c). Es obvio que si bien β2 y β2* son insesgados la distribución de β2* está más difusa o dispersa alrededor del valor de la media que la distribución de β2. En otras palabras, la varianza de β2* es mayor que la varianza de β2. Ahora, dados dos estimadores que son a la vez lineales e insesgasdos uno escogería el estimador con la menor varianza porque es probable que esté más cercano a β2 que el estimador alterno. En resumen, uno escogería el estimador MELI

Las propiedades estadísticas que se acaban de exponer se conocen como propiedades de muestra finita: Estas propiedades se mantienen sin importar el tamaño de la muestra sobre la cual estén basados los estimadores. Más adelante se tendrá ocasión de considerar las propiedades asintóticas, es decir, propiedades que se mantienen solamente sí el tamaño de la muestra es muy grande (técnicamente hablando es, infinito).