MLP: Un ejemplo númerico (IV)

Aun si los Yi estimados fueran todos positivos e inferiores a 1, el MLP aún sufre del problema de heteroscedasticidad, lo cual puede verse fácilmente de (16.3.4). Como consecuencia, no se puede confiar en los errores estándar estimados que se reportan en (16.4.1). (Por qué) Pero se puede utilizar el procedimiento de mínimos cuadrados ponderados (MCP), analizado anteriormente, para obtener estimaciones más eficientes de los errores estándar. Las ponderaciones necesarias, wi, requeridas para la aplicación de MCP se muestran también en la tabla 16.2. Pero, obsérvese que algunos Yi son negativos y algunos exceden el valor de uno, los wi correspondientes a estos valores será negativos. Por tanto, no se pueden utilizar etas observaciones en MCP (por qué?), con lo cual se reduce el número de observaciones, de 40 a 28 en este ejemplo. Omitiendo estas observaciones, la regresión MCP es:

Matriz de información para regresión (II)

Matriz de información para regresión (I)

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (IV)

5. Puesto que las variables dicótomas no son estaocásticas, éstas no presentan problemas especiales en la aplicación de MCO. Sin embargo, debe tenerse cuidado al transformar información que contiene variables dicótomas. En particular, los problemas de autocorrelación y heteroscedasticidad necesitan ser manejados muy cuidadosamente.

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (III)

4. En este capítulo se consideraron sólo algunas de las diversas aplicaciones de la técnica de variables dicótomas. Estas incluyeron (1) comparación de dos (o más) regresiones, (2) desestacionalización de datos de series de tiempo, (3) combinación de información de series de tiempo y de corte transversal y (4) modelos de regresión lineal por tramos.

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (II)

3. Aunque es una herramienta versátil, la técnica de variable dicótoma debe ser manejada cuidadosamente. Primero, si la regresión contiene un término constante, el númerode variables dicótomas debe ser menor que el número de clasificaciones de cada variable cualitativa. Segundo, el coeficiente que acompaña las variables dicótomas siempre debe ser interpretado con relación al grupo base  o de referencia, es decir, con el grupo que adquiere el valro de cero. Finalmente, si un modelo tiene diversas variables cualitativas con diversas categorías, la introducción de las variables dicótomas puede consumir un gran número de grados de libertad. Por consiguiente, siempre se debe ponderar el número de variables dicótomas que van a ser introducidas por el número total de observaciones disponibles para el análisis.

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (I)

1. Las variables dicótomas que tienen valores de 1 y 0 (o sus transformaciones lineales) son un medio de introducir regresores cualitativos en el análisis de regresión.
2. Las variables dicótomas son un mecanismo de clasificación de información ya que permiten dividir una muestra en diversos subgrupos con base en cualidades o atributos (sexo, estado civil, raza, religión, etc) e implicitamente permiten se efectúen regresiones individuales para cada subgrupo. Si hay diferencias en la respuesta de la variable regresada a la variación en las variables cuantitativas en los diversos subgrupos, éstas se reflejarán en las diferncias en los interceptos o en los coeficientes de las pendientes o en ambos, de las diversas regresiones de subgrupo.

Regresión con variables dicótomas TEmas para estudio posterior (III)

Se requieren técnicas especiales de estimación para tratar con lo que se conoce como situaciones de desequilibrio, es decir, situaciones en donde los mercados no son claros (es decir, la demanda no es igual a la oferta). El ejemplo clásico es el de demanda y de oferta de un bien. LA demanda de un bien es función de su precio y de otras variables y la oferta de ese bien es también función de su precio y de otras variables, algunas de las cuales son diferentes de aquellas que hacen parte de la función de demanda. Ahora, la cantidad realmente comprada y vendida del bien no necesariamente debe ser igual a la obtenida igualando la demandaa la oferta, llevando así a un desequilibrio. Para un análisis completo de modelos de desequilibrio, el lector puede referirse a Quandt.

Regresión con variables dicótomas TEmas para estudio posterior (II)

En el modelo de variable dicótoma que utiliza interceptos diferenciales al igual quependientes diferenciales, se supone implícitamente que se conoce el punto de quiebre. Así, en la regresión de ahorro-ingreso del Reino Unido, se identifico el año 1946-1954 como el periodo de reconstrucción y 1955-1963 como el periodo de posreconstrucción. Pero, Qué sucede si no se sabe si el quiebre tuvo lugar en 1955, en 1954 o en 1956? La técnica de modelos "switching" de regresión maneja esta situación, permitiendo que el punto de quiebre sea en sí mismo aleatorio. El trabajo original en esta área se atribuye a Goldfeld y Quandt.

Regresión con variables dicótomas TEmas para estudio posterior (I)

En la teoría se analizan diversos temas relacionados con las variables dicótomas que son relativamente avanzados, incluyendo (1) modelos de parámetros aleatorios o variables (2) modelos "switching de regresión" y (3) modelos de desequilibrio.

En los modelos de regresión considerados en este texto, se supone que los parámetros, los β, son desconocidos pero fijos. Los modelos de coeficientes aleatorios - de los cuales hay diversas vesiones - suponen que los β pueden ser aleatorios también. El trabajo principal de referencia en ésta área es el realizado por Swamy.

Variables dicótomas y autocorrelación (V)

Como se señala en el análisis anterior, la observación crítica es la primera observación en el segundo periodo. Si se maneja en la forma sugerida, la estimación de regresiones tal como (15.3.6) sujetas a autocorrelación como está especificada en (15.13.7) no deben tener problema.

Variables dicótomas y autocorrelación (IV)

2. La variable Xt se transforma en (Xt - ρX(t-1)). Obsérvese que se pierde una observación en esta transformación, a menso que se acuda a la transformación de Prais-Winsten.

3. El valor de DtXt es cero para todas las observaciones en el primer periodo (Nota: Dt es cero, en el primero periodo); en el segundo periodo la primera observación toma el valor de DtXt = Xt y las observaciones restantes en el segundo periodo son de forma que (DtXt - DtX(t-1)) = (Xt - ρX(t-1)).
(Nota: el valor de Dt en el segundo periodo es 1).

Variables dicótomas y autocorrelación (III)

Ahora, del capítulo 12, se sabe cómo transformar un modelo de regresión para deshacerse de la autocorrelación (de primer orden) (recuérdese el método generalizado en diferencia): Suponiendo que ρ se conoce o es estimado, se utiliza (Yt - ρY(t-1)) como la variable regresada yy (Xt - ρX(t-1)) comoel regresor. Pero la presencia del regresor dicótomo D plantea un problema especial: Obsérvese que la variable dicótoma sencillamente clasifica una observación como perteneciente al primero o al segundo periodo. Entonces. Cómo se puede transformar? Maddala sugiere el siguiente procedimiento:

1. En (15.13.6), los valores de D son cero para todas las observaciones en el primer periodo; en el periodo 2, el valor de D para la primera observación es 1/(1-ρ) en lugar de 1, y es 1 para todas las demás observaciones.

Variables dicótomas y autocorrelación (II)

Supóngase además que el término de error ut en (15.13.6) es generado por el esquema autorregresivo de primer orden de Markov, el esquema AR(1), a saber

ut = ρu(t-1) + εt (15.13.7)

donde ε satisface los supuestos estándar.

Variables dicótomas y autocorrelación (I)

Considérese el modelo siguiente que contiene información de series de tiempo:

Yt = β1 + β2Dt + β3Xt + β4(DtXt) + ut (15.13.6)

donde Dt = 0 para las observaciones en el primer periodo de tiempo y 1 para aquellas en el segundo periodo de tiempo. Supóngase que hay n1 observaciones en el primer periodo de tiempo y n2 en el segundo. Obsérvese que (15.13.6), el cual permite intercepto y pendiente diferencial dicótoma, es precisamente el modelo (15.7.1) utilizadopara estudiar la relación ahorro-ingreso del Reino Unido.

Variables dicótomas y heteroscedasticidad

Considérese nuevamente el ejemplo del ahorro-ingreso del Reino Unido estudiado en la sección 15.6. Al utilizar la técnica de variable dicótoma para combinar las dos regresiones (15.6.1) y (15.6.2) como en (15.7.1), se supuso implícitamente que var (u1i) = var(u2i) = σ², es decir, homoscedasticidad.

Si este supuesto no es válido, es decir, si las dos varianzas de error son dierentes, es muy probable que se encuentre que los dos interceptos y los dos coeficientes de las pendientes no son estadísticamente diferentes aunque se encontrará que el coeficiente de la variable dicótoma en la regresión (15.7.1) es estadísticamente significativo. Por consiguiente, al aplicar la técnica de la variable dicótoma (o la prueba de Chow para ese fin) se debe verificar que un caso dado no se está enfrentando al problema de la heteroscedasticidad. Pero, a estas alturas, ya se sabe cómo tratar este problema.

Otro método para evitar la trampa de la variable dicótoma (III)

Si se hubiera seguido esta estrategia, se habrían obtenido los siguientes resultados de regresión:

que son los mismos de (15.1.3), pero en una presentación diferente.

La práctica común es asignar las variables dicótomas de tal manera que si una variable tiene m categorías, se introducen solamente (m-1) variables dicótomas. La ventaja de este esquema es que muy frecuentemente se desea comparar los resultados en términos de una categoría de referencia. Además, al mantener un intercepto común, se obtiene el valor usual de R², mientras que con el modelo intercepto de cero, el R² convencional frecuentemente no es significativo. Por consiguiente, se seguirá la práctica común.

Otro método para evitar la trampa de la variable dicótoma (II)

Obsérvese que como resultado de deste cambio, se requiere interpretar en forma diferente α2 y α3.
Estos han dejado de ser coeficientes diferenciales del intercepto; ahora dan estimaciones directas de los interceptos en las diversas categorias. Así, en el caso presente, sin α1, α2 dará el valor del intercepto de la regresión del salario de los profesores hombres y α3 el valor del intercepto de la regresión del salario de las profesoras. Pero, obsérvese que para estimar (15.13.3), se tendrá que utilizar el procedimiento de estimación de la regresión a través del origen, expuesto en el capítulo 6. Por supuesto, l mayoría de los paquetes de software han sistematizado este proceso.

Retornando a la regresión (15.1.3), se hubiera podido estimar que una regresión como

Yi = α2D2i + α3D3i +ui (15.13.4)

donde D2i = 1 para los profesores hombres y 0 en otro caso y D3i = 1 para las profesoras y 0 en otro caso. (Nota: no hay intercept común en esta regresión)

Otro método para evitar la trampa de la variable dicótoma (I)

Hay otra forma de evitar la trampa de la variable dicótoma. Para ver esto, continúese con el modelo (15.2.4) para escríbase el modelo como:

Yi = α2D2i + α3D3i + βXi + ui

con las variables dicótomas como aparecen definidas en la ecuación (15.2.4). Obsérvese que en (15.13.3) se ha eliminado el término intercepto α1. Ahora no e caeráen la trampa de la variable dicótoma porque ya no se tiene colinealidad perfecta, como puede verse de la matriz de datos dada en seguida de la ecuación (15.2.4, al eliminar la columna de unos.

Regresión semilogarítmica con variable dicótoma (II)

Como lo indican estos resultados y manteniendo otras cosas iguales (en este caso el sexo de los profesores), el salario promedio o medio aumenta en 5.46% por año. Pero no se puede decir que, manteniendo constante la experiencia docente, el salario promedio sea superior en 13.41% para los profesores hombres.

Siguiendo a Halvorsen y Palmquist, se enceuntra el antilog de 0.1341 = 1.1435. Restando 1 de este valor, se obtiene 0.1435 o 14.35%; el salario promedio de los profesores es entonces más alto (que para las profesoras) en 14.35%. En el ejercicio 15.33 se le pide comparar los resultados de la regresión dados en (15.13.2) con los obtenidos del modelo líneal.