Modelo TOBIT Parte 2

¿Es posible estimar la regresión (16.14.1) utilizando solamente n1 observaciones y simplemente no preocuparse por las n2 observaciones restantes? La respuesta es no, ya que las estimaciones MCO de los parámetros obtenidos del subconjunto de n1 observaciones estaran sesgadas y serán inconsistentes.

Para ver esto, considérese la figura 16.7. Como lo muestra esta figura, si Y no es observado, todas esas observaciones (= n2) quedaran sobre el eje horizontal. Si Y es observado, las observaciones (= n1)  quedaran en el plano Y-X. Es intuitivamente claro que si se estima una regresion basada en las n1 observaciones solamente, los coeficientes resultantes del intercepto y de la pendiente estan limitados a ser diferentes de los que se obtendrian si todas las n1 + n2 observaciones fueran tenidas en cuenta.

¿Cómo se estiman entonces los modelos de regresién tobit (o censurados), tales como (16.14.1)?

No se trabajará en los cálculos matematicos pero, para estimar los parámetros de tales modelos puede utilizarse el método de maxima verosimilitud (véase el capitulo 4). La mayoria de los paquetes de computador mas comunes, tales como ET, SHAZAM y RATS, tienen ahora programas para estimar los modelos tobit. Se presentara ahora un ejemplo ilustrativo.

Modelo TOBIT

Una extensión del modelo probit es el modelo tobit, desarrollado por James Tobin, economista laureado con el Nobel. Para explicar este modelo, se contintia con el ejemplo de propiedad de vivienda. Pero supéngase que ahora se desea encontrar la cantidad de dinero que el consumidor gasta en omprar una casa en relacién con su ingreso (y otras variables econdmicas). Ahora se tiene roblema: Si un consumidor no compra una casa, obviamente no se tiene información sobre el gasto en vivienda de tales consumidores; se tiene tal informacion solamente sobre los consumidores que efectivamente compran casa.

Asi, los consumidores estén divididos en dos grupos, uno que consiste, consumidores sobre quienes se posee informacién sobre los regresores (por

de interés hipotecaria, etc) al igual que sobre la variable regresada (cantidad de gasto en vivienda) y otro que consiste, por ejemplo, en n2 consumidores sobre quienes solamente se tiene información sobre los regresores pero no sobre la variable regresada. Cuando en una muestra la información sobre la variable regresada esté disponible solamente para algunas observaciones, está se conoce como muestra censurada. Por  consiguiente, el modelo tobit también se conoce como un modelo de regresión censurada. Algunos autores llaman a tales modelos modelos de variable dependiente limitada  debido a la restriccién impuesta sobre los valores tomados por la variable regresada. 

En términos matemáticos, se puede expresar el modelo tobit como:

donde RHS =  lado derecho. Nota: Otras variables X pueden agregarse fácilmente al modelo.

Ejemplo: Modelo PROBIT Parte 2

En la tabla 16.9, un signo positivo (negativo) sobre el coeficiente de una variable explicativa indica que los valores más altos de la variable incrementan (reducen) la posibilidad de que un banco sea de propiedad de un tipo específico de entidad bancaria. Por ejemplo, para la regresión Y₁, el coeficiente positivo sobre la variable TA (activos totales/1,000,000), que es estadísticamente significativo, indica que, manteniendo otros factores iguales, a medida que el tamaño de un banco aumenta, la posibilidad de que el banco sea de propiedad de una entidad bancaria múltiple es también mayor. En forma similar el coeficiente positivo sobre el AEME sugiere, ceteris paribus, que es más probable que el banco sea de propiedad de una compañía  bancaria múltiple.

El lector puede hacer otras comparaciones muy fácilmente. Pero, obsérvese que en todas las regresiones a las que se hace referencia en la tabla 16.9, las razones de verosimilitud son altas y estadísticamente significativas, indicando que los bancos de empresas propietarias de acciones, como grupo, pueden diferenciarse de los bancos independientes con base en las variables explicativas incluidas en la tabla. Para otros detalles del análisis, el lector puede referirse al artículo original.

Ejemplo: Modelo PROBIT Parte 1

Para averiguar si las subsidiarias, ya sea de un banco o de una empresa dueña de múltiples bancos en países de banca unitaria, tienen características financieras y de mercado diferentes a las de otros bancos y si las diferencias en las leyes sobre banca estatal relativas a las compañías que poseen múltiples bancos per se, ocasionan alguna diferencia en estas características, Ronald M Brown estimó cuatro regresiones probit que se muestran en la tabla 16.9. Las definiciones de las variables explicativas están dadas en la tabla 16.10. Las siguientes variables dependientes están en el análisis:

Y₁ = 1, si el banco es de propiedad de una empresa dueña de múltiples bancos
     = 0, en los demás casos
Y₂ = 1, si el banco es de propiedad de una empresa dueña de un solo banco
     = 0, en los demás casos
Y₃ = 1, si el banco es de propiedad de una empresa con un sólo banco o con múltiples bancos
     = 0, en los demás casos

El efecto marginal de un cambio unitario en el valor de un regresor

En un modelo de regresión lineal el coeficiente de pendiente de un regresor mide el efecto sobre el valor promedio de la variable regresada ocasionado por un cambio unitario en el valor del regresor. Pero, puesto que los modelos MLP, logit y probit tratan con la probabilidad de que ocurra un evento, se debe tener cuidado al interpretar el coeficiente de pendiente.

Como lo muestra el análisis anterior, en los modelos logit y probit todos los regresores están involucrados en el cálculo de los cambios en probabilidad, mientras que en el MLP solamente está involucrado en regresor jésimo. Esta diferencia puede ser una razón para la pronta popularidad del modelo MLP.

Comparación de estimaciones logit y probit

Aunque cualitativamente los modelos logit y probit tienen resultados similares, las estimaciones de los parámetros de los dos modelos no son directamente comparables. Así, para el ejemplo de propiedad de vivienda, el coeficiente de la pendiente del modelo logit de 0.0792 dado en (16.9.2) y la estimación correspondiente del coeficiente de pendiente en el modelo probit de 0.0481 dado en (16.12.1) no son directamente comparables. Pero como lo sugiere Amemiya, una estimación logit de un parámetro multiplicado por 0.625 proporciona una aproximación relativamente buena de la estimación probit del mismo parámetro. En el ejemplo, (0.625)(0.0792) = 0.0495, que es aproximadamente igual a la estimación probit correspondiente.

A propósito, Amemiya también ha demostrado que los coeficientes de los modelos MLP y logit están relacionados de la siguiente manera:

donde ≅ significa aproximadamente.

Todas las aproximaciones anteriores funcionan bien cuando el valor promedio de la probabilidad (de que suceda el evento) no este lejana de 0.5.

Logit versus, probit

Ahora que se han considerado los modelos logit y probit, ¿cuál es preferible en la práctica? Desde una perspectiva teórica, la diferencia entre los dos modelos es como se muestra en la figura 16.6. Como el lector puede apreciar, las formulaciones logística y probit son bastante comparables, siendo la principal diferencia que la logística tiene colas ligeramente más planas, es decir, la curva normal, o probit se acerca a los ejes más rápidamente que la curva logística. Por consiguiente, la selección entre los dos es de conveniencia (matemática) y de disponibilidad instantánea de los programas de computador. En este punto, el modelo logit es generalmente utilizado con preferencia sobre el probit.

El Modelo PROBIT: Un ejemplo Numérico

Para ilustrar el mecanismo recién analizado, se utilizará la información de la tabla 16.7, que se reproduce en la tabla 16.8 con algunas adiciones.

Modelo PROBIT Parte 5

Modelo PROBIT Parte 4

Modelo PROBIT Parte 3

Modelo PROBIT Parte 2

Modelo PROBIT Parte 1

Como se ha mencionado, para explicar el comportamiento de una variable dependiente dicótoma, es preciso utilizar una FDA seleccionada apropiadamente. El modelo logit utiliza la función logística acumulativa, como se indica en (16.7.2). Pero esta no es la única FDA que se puede utilizar. En algunas aplicaciones, la FDA normal se ha encontrado útil. El modelo de estimación que surge de una FDA normal, es comúnmente conocido como el modelo probit, aunque algunas veces también es conocido como el modelo normit. En principio, se puede sustituir la FDA normal por la FDA logística en (16.7.2) y proceder como en la sección 16.7. Pero en lugar de seguir este camino, se presentará el modelo probit basado en la teoría de la utilidad,  o de la perspectiva de selección racional con base en el comportamiento, según el modelo desarrollado por McFadden.

Para motivar el modelo probit, supóngase que en el ejemplo de propiedad de vivienda, la decisión de la iésima familia de poseer una casa o de no poseerla depende de un índice de conveniencia no observable Ii que está determinado por una o varias variables explicativas, por ejemplo, el ingreso Xi, de tal manera que entre mayor sea el valor del índice Ii, mayor será la probabilidad de que la familia posea vivienda. Se expresa el índice Ii como

Ejemplo Predicción de tasas de bonos 2

Ejemplo Predicción de tasas de bonos

En el ejemplo 16.2 se consideraron las estimaciones MLP llevadas a cabo por Joseph Cappelleri del modelo de clasifación de bonos para una muestra de 200 bonos Aa y Baa. Para la misma información, Cappelleri estimó el siguiente modelo logit utilizando el método de máxima verosimilitud, pero no ajustó sus resultados por heteroscedasticidad (las cifras en paréntesis correspondena los errores estándar):

Modelo LOGIT: Ejemplos Ilustrativos "Una aplicación del análisis Logit a la predicción de blancos de fusión" (II)

A priori, se espera que ß2, ß4, y ß5 sean negativos, ß6 positivo y ß3 positivo o negativo. Con base en una muestra de 24 empresas fusionadas (Y=1) y 43 no fusionadas (Y=0), los autores obtuvieron los resultados que aparecen en la tabla 16.6. Como se esperaba, los coeficientes estimados tienen los signos esperados a priori y la mayoría son estádisticamente significativos al nivel del 10% o a un mejor nivel (es decir, menos del 10%). Los resultados, por ejemplo, indican que entre más alta sea la rotación y más grande sea el tamaño, menores son las probabilidades (log) de que la empresa sea un blanco de fusión. (Por qué?) Por otra parte, entre mayor sea el volumen de transacciones, mayores son las probabilidades de ser candidato a fusión, ya que las empresas de altos volúmenes pueden implicar costos de transacción de adquisición más bajos debido a su fácil negociabilidad. Basado en su análisis, los autores concluyen:

...un factor importante que afecta el atractivo de la empresa es la incapacidad que tiene la gerencia encargada de generar ventas por unidad de activos. Además, una baja rotación de activos debe ir acompañada por una combinación de un nivel bajo de dividendos, un nivel bajo de endeudamiento financiero, un alto volumen de transacciones y su pequeño tamaño dentro del valor agregado del mercado con el fin de producir una alta probabilidad de fusión.

Modelo LOGIT: Ejemplos Ilustrativos "Una aplicación del análisis Logit a la predicción de blancos de fusión"

Para predecir la probabilidad de que una empresa dada sea blanco de fusión, J. Kimball Dietrich y Eric Sorensen estimaron el siguiente modelo logit:

Modelo LOGIT: Ejemplo Numérico (VI)

Para concluir nuestros análisis de los modelos logit, se presentan a continuación los resultados de la regresión basadas en MCO, o regresión no ponderada, para el ejemplo de propiedad de vivienda.

Modelo LOGIT: Ejemplo Numérico (V)

Retornando a la regresión (16.9.1), se observa que los coeficientes estimados individualmente son estadísticamente significativos aun al nivel del 1%. Pero, como se advirtió anteriormente, esta afirmación es correcta, estrictamente, en muestras grandes, es decir, cuando el número de observaciones Ni para cada Xi es grande -no es preciso que el número de niveles al cual se mide Xi sea necesariamente grande; en el ejemplo, X tiene 10 valores diferentes.

Al examinar la tabla 16.5, se observa que las Ni, aunque no son muy grandes, son razonablemente grandes, pero téngase en mente que entre más grandes sean las Ni, mejores serán los procedimientos de prueba.

El R² estimado es bastante "alto", alrededor de 0.96. Pero se ha señalado que en modelos de variables dependiente dicótoma, el R² como medida de bondad del ajuste es de valor cuestionable. En la literatura se han sugerido diversas alternativas pero éstas no se considerarán aquí.

Modelo LOGIT: Ejemplo Numérico (IV)

Como se mencionó, el coeficiente de pendiente de 0.0787 da el cambio en el algoritmo ponderado de la razón de probabilidades de poseer una casa por unidad de incremento en el ingreso ponderado. También se ha visto que [el antilog de 0.0787 menos uno] multiplicado por 100 da el cambio porcentual en las probabilidades ponderadas por un incremento unitario en el ingreso ponderado.. Es posible calcular el cambio en la probabilidad misma de poseer una casa por cambio unitario en el ingreso? Como se mencionó en la nota de pie de página 18, eso depende no solamente del β2 estimado, sino también del nivel de la probabilidad a partir del cual se calcula la probabilidad. Para ilustrar, supóngase que se desea medir el cambio en la probabilidad de poseer una casa empezando en el nivel de ingreso de US$20,000. Entonces, de la nota de pie de página 18, se obtiene el cambio en la probabilidad por un incremento unitario en el ingreso del nivel 20 (miles) es β2