Como este texto se relaciona sobre todo con modelos lineales, como la ecuación (2.2.2), es esencial entender a cabalidad el término lineal, pues se interpreta de dos formas.
Linealidad en las variables
El primer significado, y tal vez el más “natural”, de linealidad es aquel en que la esperanza condicional de Y es una función lineal de Xi, como en la ecuación (2.2.2).6 Geométricamente, la curva de regresión en este caso es una recta. En esta interpretación, una función de regresión como E(Y | Xi ) = β1 + β2X2i no es una función lineal porque la variable X aparece elevada a una potencia o índice de 2.
Linealidad en los parámetros
La segunda interpretación de linealidad se presenta cuando la esperanza condicional de Y, E(Y | Xi), es una función lineal de los parámetros, los β; puede ser o no lineal en la variable X. 7 De acuerdo con esta interpretación, E(Y | Xi ) = β1 + β2X2 i es un modelo de regresión lineal (en el parámetro). Para ver lo anterior, supongamos que X tiene un valor de 3. Por tanto, E(Y | X = 3) = β1 + 9β2, ecuación a todas luces lineal en β1 y β2. En consecuencia, todos los modelos de la figura 2.3 son de regresión lineal; es decir, son modelos lineales en los parámetros.
Ahora consideremos el modelo E(Y | Xi ) = β1 + β2 2 Xi. Supongamos también que X = 3; así obtenemos E(Y | Xi ) = β1 + 3β22, que es no lineal respecto del parámetro β2. El anterior es un ejemplo de modelo de regresión no lineal (en el parámetro). Analizaremos dichos modelos en el capítulo 14.
De las dos interpretaciones de linealidad, la linealidad en los parámetros es pertinente para el desarrollo de la teoría de regresión que presentaremos en breve. Por consiguiente, en adelante, el término regresión “lineal” siempre significará una regresión lineal en los parámetros; los β (es decir, los parámetros) se elevan sólo a la primera potencia. Puede o no ser lineal en las variables explicativas X. Esquemáticamente tenemos la tabla 2.3. Así, E(Y | Xi) = β1 + β2 Xi , lineal en los parámetros igual que en las variables, es un modelo de regresión lineal (MRL), lo mismo que E(Y | Xi ) = β1 + β2X2i , lineal en los parámetros pero no lineal en la variable X.
