Coeficiente de determinación r²: Medida de la "Bondad del ajuste" (II)

Para calcular esta r², se procede de la siguiente forma: Recuérdese que

Yi = Yi + ûi

o expresado en formas de desviaciones

yi = yi + ûi

Donde se hace uso de (3.1.13) y de (3.1.14). Elevando al cuadrado  en ambos lados y sumando sobre la muestra, se obtiene:

puesto que Σyiûi = 0 (por qué?) y yi = β2xi.

Las diversas sumas de cuadrados que aparecen en (3.5.2) pueden ser descritas de la manera siguiente:  Σy²i =Σ(Yi-Y)² = variación total de los valores observados de Y con respecto a su media muestral, los cuales pueden  ser llamados suma total de cuadrados (STC). Σyi = Σ(Yi-Y)² = Σ(Yi-Y)² = β²2Σx²i = variación de los valores Y estimados alrededor de su media (Y=Y) que apropiadamente puede llamarse la suma de los cuadrados debida a la regresión [es decir, debida a la(s) variable(s) explicativa(s)], o explicada por ésta, o simplemente la suma explicada de cuadrados (SEC). Σu²i =  la variación residual o no explicada de los valores de Y alrededor de la línea de regresión, o simplemente la suma de residuales cuadrados (SRC). ASi, (3.5.2) es

STC = SEC + SRC

y muestra que la variación total en los valores Y observados alrededor del valor de su media puede ser dividida en dos partes, atribuible a la línea de regresión y la otra a fuerzas aleatorias puesto que no todas las observaciones Y caen sobre la línea ajustada. Geométricamente,se tiene la figura 3.10.