Propiedades de los estimadores MCO bajo el supuesto de normalidad (IV)

Las propiedades de insesgamiento y de varianza mínima de los estimadores MCO han sido demostrados ya en este blog. Es fácil demostrar que β1 y β2 siguen la distribución normal. Como se anotó en los anteriores capitulos, β1 y β2 son funciones lineales del término de perturbación estocástica ui. Ya que se ha supuesto que las ui están normalmente distribuidas, entonces, siguiendo la regla de que cualquier función lineal de variables normalmente distribuidas tiene igualmente una distribución normal, se cumple que β1 y β2 están normalmente distribuidas con las medias y las varianzas dadas anteriormente. La prueba de la afirmación de que (n-2)σ²/σ² sigue una distribución X² con n-2 g de l es un poco más elaborada y puede encontrarse en las referencias.

El punto importante de anotar es que el supuesto de normalidad nos permite derivar las distribuciones de probabilidad o muestrales de β1 (normal), β2(normal), y σ² (Ji-cuadrado). esto simplifica la tarea de establecer intervalos de confianza y de pruebas (estadisticas) de hipótesis.

A propósito, obsérvese que si se supone que ui está distribuida normalmente con media 0 y varianza σ² entonces Yi posee también una distribución normal con una media y una varianza dada por

La prueba de (4.3.8) se deduce del hecho de que cualquier función lineal de variables normalmente distribuidas posee también una distribución normal.