Coeficientes de Correlación parcial - Explicación de los coeficientes de correlación simple y parcial (I)

En el capítulo 3 se introdujo el coeficiente de correlación r como una medida del grado de asociación lineal entre dos variables. Para el modelo de regresión con tres variables se pueden calcular tres coeficientes de correlación: r12 (correlación entre Y y X2), r13 (coeficiente de correlación entre Y y X3) y r23 (coeficiente de correlación entre X2 y X3); obsérvese que subíndice 1 representa Y por conveniencia notacional. Estos coeficientes de correlación se denominan coeficientes de correlación bruta o simple o coeficientes de correlación de orden cero. Estos coeficientes pueden ser calculados a partir de la definición de coeficientes de correlación dada en (3.5.13).

Pero consideramos ahora este interrogante: Podemos decir en realidad que r12 mide el "verdadero" grado de asociación (líneal) entre Y y X2 cuando existe una tercera variable X3 que puede estar asociada con ellas? Esta pregunta es análoga a la siguiente: Suponga que el verdadero modelo de regresión verdadero es (7.1.1) pero omitimos del modelo la variable X3 y simplemente regresamos Y sobre X2, obteniendo el coeficiente de la pendiente, de digamos b12. Será este coeficiente igual al verdadero coeficiente β2 si para empezar, fuera estimado el modelo (7.1.1)? La respuesta debe ser clara a partir del análisis en la sección 7.7. En general r12 probablemente no refleja el verdadero grado de asociación entre Y y X2 en presencia de X3. De hecho, es probable que dé una falsa impresión de la naturaleza de la asociación entre Y y X2 como se demostrará en breve. Por consiguiente, lo que se necesita es un coeficiente de correlación que sea independiente de la influencia, si hay alguna, de X3 sobre X2 y Y. Dicho coeficiente de correlación puede ser obtenido y se conoce apropiadamente como el coeficiente de correlación parcial. Conceptualmente, es similar al coeficiente de regresión parcial. Se define.

r12.3 = coeficiente de correlación parcial entre Y y X2, manteniendo X3 constante
r13.2 = coeficiente de correlación parcial entre Y y X3, manteniendo X2 constante
r23.1 = coeficiente de correlación parcial entre X2 y X3, manteniendo Y constante