Estimación MCO en presencia de autocorrelación (V)

Una comparación de (12.2.6) con (12.2.7) muestra que la primera es igual a la última más un término que depende de ρ, igual que de las covarianzas muestrales entre los valores que toma X. En general, no se puede decir que la var(β2) sea menor o mayor que var(β2)AR1. Por supuesto, si ρ es cero, las dos fórmulas coincidirán, como debería ser. Por qué?.

Supóngase que se sigue utilizando el estimador MCO β2 y se ajusta la fórmula de varianza corriente, teniendo en cuenta el esquema AR(1). Es decir, se utiliza β2 y se ajusta la fórmula de varianza corriente, teniendo en cuenta el esquema AR(1). Es decir, se utiliza el β2 dado por (12.2.5) pero se usa la fórmula de varianza dada por (12.2.6). Cómo son ahora las propiedades de β2? Es fácil de probar que β2 es aun lineal e insesgado. En realidad, como se observa en el apéndice 3A, sección 3A.2, no se requiere el supuesto de no correlación serial, ni el supuesto de no heteroscedasticidad, para demostrar que β2 es insesgado. Es β2 aun MELI? Desafortunadamente, no lo es; en la clase de estimadores lineales e insesgados, éste no tiene varianza mínima.

En resumen, aunque β2 es lineal-insesgado, éste no es eficiente (hablando en términos relativos, por supuesto). El lector notará que este hallazgo es bastante similar al hallazgo de que β2 es menos eficiente en presencia de heteroscedasticidad. Allí se vió que el estimador eficiente era el estimador de mínimos cuadrados ponderados, β2, dado en (11.3.8), un caso especial del estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG). En el caso de autocorrelación se puede encontrar un estimador que sea MELI? La respuesta es sí, como puede verse del análisis en la siguiente sección.