Estimación MCO en presencia de autocorrelación (IV)

No sólo eso, se puede suponer que ut se genera por una mezcla de procesos autorregresivos y de medias móviles. Por ejemplo, se puede considerar

ut = ρu(t-1) + vt + λv(t-1)

que es llamado, aproximadamente, esquema ARMA (1,1) puesto que es una combinación de los esquemas autorregresivos de primer orden y de media móvil de primer orden. Por supuesto, los esquemas ARMA de órdenes superiores también pueden ser considerados. En el capítulo sobre series de tiempo econométricas (capítulo 22) se retornará a este tema.

Por el momento, se utiliza el esquema AR(1) dado en (12.2.1), no solamente por su simplicidad, sino también porque en muchas aplicaciones ha demostrado ser bastante útil. Además, se ha realizado una gran cantidad de trabajo teórico y empírico sobre el esquema AR(1).

Ahora, el estimador MCO de β2,como es usual, es

Estimación MCO en presencia de autocorrelación (III)

El esquema (12.2.1) se conoce como un esquema atorregresivo de primer orden de Markov o simplemente un esquema autorregresivo de primer orden y generalmente se denota como AR(1). El nombre autorregresivo es apropiado puesto que (12.2.1) puede ser interpretado como la regresión de ut sobre su propio rezago un período. Es de primer orden porque solamente ut y su valor pasado inmediato están involucrados, es decir, el rezago máximo es 1. Si el modelo fuera ut = ρ1ut(t-1) + ρ2u(t-2)+ εt, sería un AR (2) o esquema autorregresivo de segundo orden y así sucesivamente. A propósito, obsérvese que ρ, el coeficiente de autocovarianza, también puede ser interpretado como el coeficiente de autocorrelación de primero orden, o, en forma más precisa, el coeficiente de autocorrelación del rezago 1o.

Lo que (12.2.1) postula es que el movimiento  o desplazamiento en ut consta de dos partes: una parte ρu(t-1) que corresponde a un desplazamiento sistemático y la otra εt que es puramente aleatoria. Antes de proseguir, obsérvese que no hay razón a priori por la cual no podamos adoptar un AR(2) o AR(3) o cualquier esquema autoregresivo de orden superior al de (12.2.1). De hecho, se hubiera poido suponer que ut es generado por el siguiente mecanismo:

ut = vt  .+ λvt-1

donde v es un término de perturbación aleatorio con media cero y varianza constante y λ es una constante tal que |λ | < 1. El esquema generador de errores (12.2.3) es conocido como un media móvil de primer orden o esquema MA(1) porque comprende la obtención del promedio de dos variables aleatorias adyacentes. ES posible considerar también esquemas MA de órdenes mayores.

EStimación MCO en presencia de autocorrelación (II)

Para orientar el camino, se debe ahora suponer el mecanismo que generan las ut, ya que E(ut, ut+s) ≠ 0 (s≠ 0) es muy general como supuesto para ser de alguna utilidad práctica. Como punto de partida, o primera aproximación, se puede suponer que las perturbaciones se generan de la siguiente manera

EStimación MCO en presencia de autocorrelación (I)

Qué les sucede a los estimadores MCO y a sus varianzas si se introduce autocorrelación en la perturbaciones, suponiendo que E(uiuj) ≠ 0 (i≠ j), pero se conservan todos los demás supuestos del modelo clásico? Una vez más, se vuelve al modelo de regresión con dos variables para explicar las ideas básicas aquí contenidas, a saber, Yt= β1 + β2Xt + ut, donde t denota los datos u observaciones en el tiempo t; obsérvese que ahora se está tratando con información de series de tiempo.

Manipulación de datos (II)

Antes de concluir con esta sección, obsérvese que el problema de autocorrelación es generalmente más común en los datos de series de tiempo, aunque puede presentarse y, de hecho, se presenta en la información de corte transversal. En la información de series de tiempo, las observaciones están ordenadas en orden cronólogico. Por consiguiente, es probable que haya intercorrelaciones entre las observaciones sucesivas especialmente si el intervalo de tiempo entre éstas es corto, como por ejemplo un día, una semana o un mes en lugar de un año. Generalmente, no hay tal orden cronológico en la información de corte transversal, aunque en algunos casos puede existir un orden similar. De esta forma, en una regresión de corte transversal del gasto de consumo sobre el ingreso, donde las unidades de las observaciones son los 50 estados de los EStados Unidos, es posible que la información esté ordenada en forma de grupos tales como sur, suroeste, norte, etc. Puesto que es probable que el patrón de consumo difiera entre una región geográfica y otra, aunque sean sustancialmente similares dentro de una región dada, los residuales estimados de la regresión pueden presentar un patrón sistemático asociado con diferencias regionales. El punto de anotar es que, aunque la incidencia de la autocorrelación está asociada predominantemente con la información de series de tiempo, ésta puede presentarse en la información de corte transversal. Algunos autores denominan la autocorrelación como información de corte transversal autocorrelación espacial, es decir, correlación en el espacio más que el tiempo. Sin embargo, es importante recordar que en el análisis de corte transversa, el ordenamiento de la información debe tener alguna lógica o interés económico para dar sentido a cualquier determinación de si hay o no presencia de autocorrelación.

Debe mencionarse también que la autocorrelación puede ser positiva o negativa, aunque generalmente muchas series económicas de tiempo presentan autocorrelación positiva porque la mayor parte de éstas se mueven hacia arriba o hacia abajo durante períodos prolongados de tiempo. El comportamiento que muestra en la figura 12.3b de movimientos constantes hacia arriba y hacia abajo no es frecuente.

Manipulación de datos (I)

En el análisis empírico, los datos simples son frecuentemente "manipulados". Por ejemplo, en las regresiones de series de tiempo que contienen información trimestral, esa información generalmente se deriva de información mensual agregando simplemente las observaciones de tres meses y dividiendo la suma por 3. Este procedimiento de promediar las cifras introduce cierto suavizamiento en los datos al eliminar las fluctuaciones en la información mensual. Por consiguiente, la gráfica referente a información trimestral aparece mucho más suave que la que contiene la información mensual y este suavizamiento puede, en sí mismo, inducir a un patrón sistemático en las perturbaciones, introduciendo con esto autocorrelación. Otra fuente de manipulación es la interpolación o extrapolación en la información. Por ejemplo, el Censo de población es realizado cada 10 años en los EStados Unidos y fueron efectuados los dos últimos en 1990 y 1980. Ahora bien, si se necesita obtener datos para algún año comprendido en el período intercensal 1980-1990, la práctica común consiste en la interpolación con base en algunos supuestos ad hoc. Todas estas técnicas de "manejo" podrían imponer sobre la información un patrón sistemático que pudiera no estar presente en la información original.

Rezagos

En una regresión de series de tiempo del gasto de consumo sobre el ingreso, no es extraño encontrar que el gasto de consumo en el período actual dependa, entre otras cosas, del gasto de consumo del período anterior. Es decir,

Consumot = β1 + β2 ingresot + β3 consumo (t-1) +ut

Una regresión tal como (12.1.7) se conoce como autorregresión porque una de las variables explicativas es el valor rezagado de la variable dependiente. (Estos modelos se estudiarán en el capítulo 17). El razonamiento para un modelo tal como (12.1.7) es sencillo. Los consumidores no cambian sus hábitos de consumo fácilmente por razones sicológicas, tecnológicas o institucionales. Ahora, si ignoramos el término rezagado en (12.1.7) el término de error resultante reflejará un patrón sistemático debido a la influencia del consumo rezagado sobre el consumo actual.