Significado de los coeficientes de regresión parcial (II)

Cómo se realiza este procedimiento de control? Para ser concretos, supóngase que se desea controlar la influencia lineal del insumo capital X3 en la medición del impacto de un cambio unitario, en el insumo de trabajo X2 sobre el producto. Con este fin, se puede proceder de la siguiente manera:
Etapa I: Ectúase la regresión de Y solamente sobre X3 de la siguiente manera:

La ecuación (7.3.1) no es otra cosa que una regresión con dos variables, con la diferencia de que tiene una nueva notación autoexplicativa, donde û1i es el término residual (muestral). (Nota: En b13 el subíndice 1 se refiere a la variable Y)

Significado de los coeficientes de regresión parcial (I)

El significado del coeficiente de regresión parcial es el siguiente: β2 mide el cambio en el valor de la media de Y, E(Y︱X2, X3) por unidad de cambio en X2, permaneciendo X3 constante. En otras  palabras, nos da la pendiente de E(Y︱X2, X3) con respecto a X2 manteniendo X3  constante. Expresado en forma diferente, dos da el efecto "directo" o "neto" de una unidad de cambio en  X2  sobre el valor de la media de Y, neto de , X3 . De forma similar, β3 mide el cambio en el valor de la media de Y por unidad de cambio en X3, manteniendo X2 constante. Es decir, da el efecto "directo" o "neto" de una unidad de cambio en X3 sobre el valor de la media de Y, sin considerar X2.

Qué tan preciso es el significado del término mantener constante?. Para entender esto, supóngase que Y representa el producto y   X2 y X3  representan  los insumos trabajo y capital, respectivamente. Piénsese además que tanto X2 como X3  se requieren en la producción de Y y las proporciones en las cuales estos pueden ser empleados en la producción de Y pueden variar. Ahora, téngase en cuenta que se incrementa el insumo trabajo en una unidad, lo cual resulta en algún aumento en la producción (producto marginal bruto del trabajo). Se puede atribuir el cambio resultante en el producto exclusivamente al insumo trabajo X2. Si se fuera a hacer eso, se estaría inflando la contribución de X2 en Y; X2 obtiene "crédito" por esa porción del cambio en Y debida al aumento contamitante el el insumo capital. Por consiguiente, para evaluar la "verdadera" contribución de X2  al cambio en Y (el producto marginal neto del trabajo), se debe "controlar" de alguna forma la influencia de X3. En forma similar, para evaluar la verdadera contribución de X3 se debe controlar también la influencia  de X2.

Interpretación de la ecuación de regresión múltiple

Dados los supuestos del modelo de regresión clásico, se cumple que, al tomar la esperanza condicional de Y a ambos lados de (7.1.1), se obtiene.

Expresado en palabras, de (7.2.1) se obtiene la media condicional o el valor esperado de Y condicionado a los valores dados o fijos de las variables X2y X3. Por consiguiente, igual que en el caso de dos variables, el análisis de regresión múltiple es el análisis de regresión condicional, a los valores fijos de las variables explicativas y lo que obtenemos es el valor promedio o la media de Y, o la respuesta media de Y a valores fijos de las variables X.

Modelos de tres variables: notación y supuestos (V)

A pesar de que se considerará en más detalle el problema de multicolinealidad en el capítulo 10 intuitivamente la lógica detrás del supuesto de multicolinealidad no es díficil de etender. Supóngase que en (7.1.1) Y,  X2 y X3 representan el gasto de consumo, el ingreso y la riqueza del consumidor, respectivamente. Al postular que el gasto de consumo está relacionado linealmente con el ingreso y la riqueza, la teoría  económica presupone que los dos anteriores pueden tener alguna influencia independiente sobre el consumo. De no ser asía, no tiene sentido incluir ambas variables, ingreso y riqueza, en el modelo. En la situación extrema, si existe una relación lineal  exacta entre ingreso y riqueza solamente se tiene una variable independiente, no dos y no hay foma de evaluar la influencia separada del ingreso y de al riqueza sobre el consumo. Para ver esto claramente, sea X3i = 2X2i en la regresión consumo-ingreso-riqueza. Entonces, la regresión (7.1.1) resulta ser:

donde α = (β2 + 2β3). Es decir, de hecho se tiene una regresión de dos variables y no de tres. Además, si se corre la regresión (7.1.10) y se obtiene α, no hay forma de estimar la influencia separada de X2(=β2)  y X3(=β3 ) sobre Y, pues  α nos da la influencia combinada de X2 y X3 sobre Y^4.

En resumen, el supuesto de no multicolinealidad requiere que en la FRP se incluyan solamente aquellas variables que no sean funciones lineales de algunas de las variables en el modelo. Ootro problema será si esto puede siempre lograrse en la práctica, lo cual será investigado extensamente en el capítulo 10.

Modelos de tres variables: notación y supuestos (IV)

Así, sí

X2i = -4X3i o X2i + 4X3i = 0

las dos variables son linealmente dependientes y si ambas son incluidas en un modelo de regresión, se tendrá colinealidad perfecta o una relación lineal exacta entre los dos regresores.

Pero supónganse que X3i = X²2i Violaria el supuesto de no colinealidad? No, porque la relación entre las dos variables en este caso es no lineal y no viola el requisito de que no existan relaciones lineales exactas entre los regresores. Sin embargo, debe observarse en esta caso que el r² y el r calculados convencionalmente, serán elevados, particularmente en las muestras de X2 y X3, con pocos valores en el extremo. Pero se hablará más acerca de este tema en el capítulo 10.

Modelos de tres variables: notación y supuestos (III)

La razón de los supuestos (7.1.2) a (7.1.6) es la misma analizada en la sección 3.2. El supuesto (7.1.7.) que establece la no existencia de una relación lineal exacta entre X2 y X3,conocida técnicamente como el supuesto de no colinealidad,o de no multicolinealidad cuandohay más de una relación lineal exacta involucrada, es nuevo y requiere alguna explicación.

Informalmente, el concepto de no colinealidad significa que ninguna de las variables explicativas puede escribirse como combinación lineal de las variables explicativas restantes. El significado de este concepto puede entenderse mediante el diagrama de Venn, o de Ballentine estudiado en el capítulo 3. En esta figura, el círculo Y representa variación en la variable dependiente Y y los círculos X2 y X3 representan variaciones en los regresores X2 y X3 respectivametne. En la figura 7.1a el área 1 representa variaciones en Y explicadas por X2(mediante una regresión MCO), y el area 2 variación en Y explicada por X2 y las áreas 4 y 5 representan la variación en Y explicada por X3. Pero, dado que el área 4 es común a X2 y X3, no sabemos a priori qué parte de 4 pertenece a X2 y qué parte a X3. El área común 4 representa la situación de colinealidad. Lo que requiere el supuesto de no colinealidad es que no haya sobreposición entre X2 y X3, es decir, el área común 4 debe ser cero. En otras palabras, lo que se desea se asemeja a la situación ilustrada en la figura 7.1a.

Formalmente, la no colinealidad significa que no existe un conjunto de números λ2 y λ3, tales que al menos uno sea diferente de cero de forma tal que.

Modelos de tres variables: notación y supuestos (II)

Se continúa operando dentro del marco del modelo clásico de regresión lineal (MCRL), introducido por primera vez en el capitulo 3. Específicamente, se supone lo siguiente:

Adicionalmente, igual que el capítulo 3, se supone que el modelo de regresión múltiple es lineal en los parámetros, que los valores de los regresores son fijos en muestreo repetido y que hay suficiente variabilidad en dichos valores.