La regresión simple en el contexto de Regresión múltiple: Introducción al sesgo de especificación (V)

El rasgo que llama la atención de esta ecuación es que b12 = 0.2448 no sólo es positivo (una curva de Phillips de pendiente positiva?) sino que es estadísticamente no significativo. Pero, de (7.6.2) se observa que β2 = -1.3925 no solamente tiene el signo correcto, a priori, sino que como se mostrará en el capitulo 8, es estadísticamente significativo. Cómo es esto posible? La respuesta se encuentra en el término de efecto indirecto o en el facto de sesgo, β3b32, dado en (7.74).

De (7.6.2) se sabe que β3 = 1.4700.Para obtener b32, se efectua la regresión (7.7.3), encontrando los siguientes resultados.

La regresión simple en el contexto de Regresión múltiple: Introducción al sesgo de especificación (IV)

En términos del ejemplo, el efecto bruto de una unidad de cambio en la tasa de desempleo sobre la tasa de inflación observada es igual a su influencia directa (es decir, manteniendo constante la influencia de la tasa de inflación esperada) más el efecto indirecto como resultado del efecto que ésta (es decir, la tasa de desempleo) tenga sobre la tasa esperada de inflación (=b32), la cual de por sí tiene algún efecto directo (=β3) sobre la tasa de inflación observada. Todo esto puede verse más claramente en la figura 7.3; los números que allí se muestran se relacionan con el ejemplo ilustrativo que se explica en breve.

Hasta aquí la teoría. Considérese nuevamente el ejemplo de la curva de Phillips a manera de ilustración.

Utilizando la información dada en la tabla 7.1, se estima (7.7.1) de la siguiente forma:

Yt = 6.1272 + 0.2448X2t
         (4.2853) (0.6304)
     t=(1.4298) (0.3885)                   r² =0.0135

La regresión simple en el contexto de Regresión múltiple: Introducción al sesgo de especificación (III)

Como lo indica la ecuación (7.7.4), siempre que β3b32 sea diferente de cero, b12será un estimador sesgado de β2. Si β3b32 es positivo, b12, en promedio, sobreestimará a β2 (por qué), es decir b12 tiene un sesgo hacia arriba y el β3b32 es negativo, b12, en promedio, subestimará a β2 (Por qué), es decir es sesgado hacia abajo.

Qué significa realmente todo esto? Como lo muestra (7.7.2), el coeficiente de regresión simple b12 no solamente mide la influencia "directa" o "neta" de Z2 sobre Y (es decir, manteniendo la influencia de X3 constante), sino también la influencia directa o inducida sobre Y a través de su efecto sobre la variable omitida X3. En resumen, b12 mide el efecto "bruto" (directo e indirecto) de Z2 sobre Y, mientras que β2 mide solamente el efecto directo o neto de X2 sobre Y, puesto que la influencia de X3 se mantiene constante cuando estimamos la regresión múltiple (7.6.1), como lo hicimos en (7.6.2). En palabras, tenemos entonces


Efecto bruto de X2 sobre Y(=b12)
= efecto directo de X2 sobre Y(=β2)
+efecto indirecto de X2 sobre Y(=βb32) (7.7.5)

La regresión simple en el contexto de Regresión múltiple: Introducción al sesgo de especificación (II)

Puesto que (7.6.1) es el "verdadero" modelo (7.7.1) constituirá un error de especificación; aquí, el error consiste en omitir del modelo la variable X3, es decir, la tasa esperada de la inflación.

Sabemos que el β2 de la regresión múltiple (7.6.1) es un estimador insesgado del verdadero β2, es decir, E(β2)= β2. (Por qué?) Será que b12, el coeficiente de regresión simple en la regresión de Y solamente sobre X2 también constituye un estimador insegado de β2? Es decir, será E(b12) = β2? (Si este caso es el caso b12 = β2). En términos del ejemplo, será el coeficiente de la variable tasa de desempleo en (7.7.1) un estimador insesgado de su verdadero impacto sobre la tasa de inflación observada, sabiendo que se ha omitido del análisis a X3, la tasa de inflación esperada? La respuesta en general es que b12 no será un estimador insesgado de β2. También la var(b12) puede ser un estimador sesgado de la Var(β2). De hecho, puede probarse que (véase el apéndice 7a, sección 7A.5).

b12 = β2 + β3b32 + término de error (7.7.2)

donde b32 es el coeficiente de la pendiente en la regresión de X3 sobre X2, a saber,

X3t = b2 + b32X2t + û2t

donde û2 es el término residual. Obsérvese que (7.7.3) es simplemente la regresión de la variable omitida X3 sobre X2.

De (7.7.2) puede verificarse fácilmente que

E(b12) = β2 + β3b32

La regresión simple en el contexto de Regresión múltiple: Introducción al sesgo de especificación (I)

El supuesto (7.1.6) del modelo clásico de regresión lineal plantea que el modelo de regresión utilizado en el análisis está correctamente especificado, es decir, que no hay sesgo o error de especificación (veánse algunos comentarios introductorios en el capítulo 3). Aun cuando el tema del análisis de especificación será analizado con más detalle en el capítulo 13, eje ejemplo ilustrativo presentado en la sección anterior da una oportunidad no sólo para entender la importancia del supuesto (7.1.6) sino también para aclarar de manera adicional el significado del coeficiente de regresión parcial y presentar una introducción formal al tema del sesgo de especificación.

Supóngase que (7.6.1) es el modelo "verdadero" que explica el comportamiento de la tasa de inflación observada en términos de la tasa de desempleo y de la tasa esperada de inflación. Pero piénsese que alguien persiste en ajustar el siguiente modelo de regresión con dos variables (la curva de Phillips original)

Yt= b1 + b12X2t + û1t

donde Yt = inflación observada (%) en el tiempo t, X2t = tasa de desempleo (%) en el tiempo t y û1 =los residuos. El coeficiente de la pendiente b12 nos da el efecto de un cambio unitario en la tasa de desempleo sobre la tasa promedio de inflación observada.

Ejemplo 7.1: La curva de Phillips ampliada con expectativas para los Estados Unidos, 1970-1982 (II)

De acuerdo con la teoría macroeconómica, se espera que β2 sea negativo (Por qué?) y que β3 sea positivo (puede entenderse el razonamiento?); de hecho, la teoría llevaría a pensar que β3 =1. Como prueba de este modelo, se obtuvo la información que aparece en la tabla 7.1. Con base en esta información, la aplicación del método MCO dió los siguientes resultados.

donde las cifras en parántesis son los errores estándar estimados. La interpretación de esta regresión es la siguiente. Su durante el período muestral, X2 y X3 hubiesen sido cero, la tasa promedio de inflación observada habría estado cercana al 7.19%. Pero como se observó en diversas ocasiones, esta interpretación del intercepto es puramente mecánica. Con mucha frecuencia, no tiene significado físico o económico. El coeficiente de regresión parcial de -1.3925 significa que al mantener constante X3 (la tasa de inflación esperada), la tasa de inflación observada en promedio aumentó (se redujo) en cerca de 1.4% por cada unidad (en este caso, un punto porcentual) de desminución (aumento) en la tasa de desempleo durante el período 1970-1982. De igual forma, al mantenerla tasa de desempleo constante, el valor del coeficiente de 1.4700 implica que durante el mismo período de tiempo la tasa de inflación observada en promedio, aumentó en cerca de 1.47% por cada punto porcentual de incremento en la tasa de inflación anticipada o esperada. El valor R² de 0.88 indica que las dos variables explicativas, en conjunto, son las causa de cerca del 88% de la variación en la tasa de inflación observada, una proporción más bien alta de poder explicativo puesto que R² puede ser como máximo uno.


En términos de expectativas, previas, las dos variables explicativas tienen los signos esperados. Es el coeficiente de la variable de inflación esperada estadísticamente igual a uno? Se responderá a esta pregunta en el capítulo 8.

Ejemplo 7.1: La curva de Phillips ampliada con expectativas para los Estados Unidos, 1970-1982 (I)

Para ilustrar las ideas introducidas hasta ahora en el capítulo, considérese el siguiente modelo.