Relación entre el consumo personal de los Estados Unidos y el Ingreso personal disponible, 1956-1970 (II)

1. El interés puede ser simplemente encontrar la forma como se comporta la variable dependiente a través del tiempo. Por ejemplo, frecuentemente se llevan a cabo gráficas mostrando, por ejemplo, el comportamiento del PNB, el empleo, el desempleo, los precios de las acciones, etc, durante diversos períodos de tiempo. Una mirada a tales gráficas puede revelar si el movimiento general de las series de tiempo, bajo consideración es hacia arriba (tendencia hacia arriba), hacia abajo (tendencia hacia abajo) o no muestra tendencia (es decir, no se observa un patrón distinguible). En un análisis de este tipo, se puede no estar interesados en las causas detrás de la tendencia hacia arriba o hacia abajo; el objetivo puede ser simplemente describir la información en el tiempo.

Relación entre el consumo personal de los Estados Unidos y el Ingreso personal disponible, 1956-1970 (I)

Supóngase que se desea estudiar el comportamiento el gasto de consumo personal en los Estados Unidos durante los últimos años. Con este fin, se utiliza el siguiente modelo simple:

E(Y︱X2,X3) = β1 + β2X2i + β3X3i

donde Y = gasto personal de consumo (GPC)
X2 = ingreso del personal disponible (después de impuestos) (IPD)
X3 = tiempo medido en años.

La ecuación (3.2.1) postula que el GPC está relacionado linealmente con el IPD y con el tiempo o variable de tendencia. En la mayoría de los análisis de regresión múltiple que consideran series de tiempo es común la práctica de introducir la variable tiempo o variable de tendencia adicionalmente a otras variables explicativas por las siguientes razones.

Una vez más, el supuesto de normalidad (II)

Obsérvese que los g de l son ahora n-3 porque, al calcular Σui² y, por consiguiente, σ², se necesita primero estimar los tres coeficientes de regresión parcial, lo cual impone por lo tanto tres restricciones sobre la suma de residuos al cuadrado (SRC) (siguiendo esta lógica, en el caso de cuatro variables habrá n-4 g de l, y así sucesivamente). Por consiguiente, la distribución t puede ser utilizada para establecer intervalos de confianza y para probar hipótesis estadísticas sobre los verdaderos coeficientes de regresión parcial poblacionales. Similarmente, la distribución X² puede ser utilizada para probar hipótesis sobre el verdadero σ². Para demostrar el mecanismo real, se utiliza el siguiente ejemplo ilustrativo.

Una vez más, el supuesto de normalidad (I)

Como ya se sabe si el único objetivo es la estimación puntual de los parámetros de los modelos de regresión, será suficiente el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), el cual no hace supuestos sobre la distribución de probabilidad de las perturbaciones ui. Pero si el objetivo no sólo es la estimación sino además la inferencia, entonces, como se discutió en los capítulos 4 y 5, se debe  suponer que las ui siguen alguna distribución de probabilidad.

Por las razones ya expresadas, se supuso que las ui segían la distribución normal con media cero y varianza constante σ². Se mantiene el mismo supuesto para los modelos de regresión múltiple. con el supuesto de normalidad y continuando la discusión de los capítulos 4 y 7, se halla que los estimadores MCO de los coeficientes de regresión parcial, los cuales son idénticos a los estimadores de máxima verosimilitud (MV), son los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Además, los estimadores β2, β3 y β1, están ellos mismos, normalmente distribuidos con medias iguales a los verdaderos β2, β3 y β1 y con las varianzas dadas en el capítulo 7. Además, (n-3)σ²/σ² sigue una distribución X² con n-3 g de l, y los tres estimadores MCO están distribuidos independientemente de σ². Las pruebas son similares a las del caso de dos variables estudiado en el apéndice 3. Como resultado y siguiendo el capítulo 5, se puede demostrar que, al reemplazar σ² por su estimador insesgado σ² en el cálculo de los errores estándar, cada una de las variables.

sigue la distribución t con n-3 g de l

Análisis de regresión múltiple: Problema de inferencia

En este capítulo, continuación del número 5, se amplían las ideas sobre estimación de intervalos y pruebas de hipótesis, allí desarrolladas a modelos que contienen tres o más variables. Aunque en muchas formas los conceptos desarrollados en el capítulo 5 pueden ser aplicados directamente el modelo de regresión múltiple, estos modelos poseen algunas características adicionales que les son únicas y por tanto recibirán más atención.

Resumen y Conclusiones Análisis de Regresión Múltiple - Problema de Estimación (II)

4. Aun cuando el R² y el R² ajustado son medidas globales que indican la forma como el modelo escogido  se ajusta a un conjunto dado de datos, su importancia no debe ser exagerada. Los aspectos críticos son las expectativas teóricas en las cuales se basa el modelo en términos de los signos a priori de los coeficientes de las variables incluidas en el modelo y, como se muestra en el siguiente capítulo, su significancia estadística.

5. Los resultados presentados en este capítulo pueden ser facílmente generalizados a un modelo de regresión líneal múltiple que involucre cualquier número de regresores. Pero el álgebra se vuelve tediosa. Este tedio puede ser evitado recurriendo al álgebra matricial. Para el lector interesado, la extensión al modelo de regresión e k variables utilizando álgebra matricial se presenta en el capítulo 9 opcional. Pero el lector general puede leer el resto del blog sin conocer mucho de álgebra matricial.

Resumen y Conclusiones Análisis de Regresión Múltiple - Problema de Estimación (I)

1. En este capítulo se introdujo el modelo más simple posible de regresión líneal múltiple a saber, el modelo de regresión con tres variables. Se entiende que el término lineal se refiere a linealidad en los parámetros y no necesariamente en variables.
2. Aunque el modelo de regresión con tres variables es, en muchas formas una extensión del modelo con dos variables, hay algunos conceptos nuevos involucrados, tales como coeficientes de regresión parcial, coeficientes de correlación parcial, coeficientes de correlación múltiple, R² ajustado y no ajustado (por grados de libertad) multicolinealidad y sesgo de especificación.
3. En este capítulo se consideró también la forma funcional del modelo de regresión múltiple, tal como la función de producción de Cobb-Douglas y el modelo de regresión polinomial.