Prueba de normalidad

Aunque se han estudiado diversas pruebas de normalidad en la teoría, solamente se considerarán dos: (1) la prueba de bondad de ajuste ji cuadrado (2) la prueba de Jarque-Bera. Ambas pruebas utilizan los resuduaes ûi y la distribución de probabilidad ji-cuadrado.

Evaluación de resultados del análisis de regresión

En la figura 1.4 de la introducción se esboza la anatomía de la elaboración de modelos econométricos. Ahora que se han presentado los resultados del análisis de regresión de nuestro ejemplo consumo ingreso en (5.11.1), nos gustaría cuestionar la bondad del modelo ajustado. Qué tan "bueno" es el modelo ajustado? Se necesita algún criterio para poder responder a esta pregunta.

Primero. Están los signos de los coeficientes estimados de acuerdo con las expectativas teóricas o previas? A priori, la propensión marginal a consumir (PMC) en la función consumo β2, debe ser positiva. En el presente ejemplo, lo es. Segundo, si la teoría dice que la relación no debe ser solamente positiva sino también estadísticamente significativa. Es este el caso en la presente aplicación? Como lo analizamos en la sección 5.11, la PMC no sólo es positiva sino también estadísticamente significativa, es decir, diferente de cero; el valor p del valor t estimado es extremadamente pequeño. Los mismos comentarios son aplicables al coeficiente del intercepto. Tercero, Qué tan bien explica el modelo de regresión la variación en el gasto de consumo? se puede utilizar r² para responder esta pregunta. En el ejemplo presente r² es alrededor de 0.96, el cual es un valor muy alto considerando que r² puede ser como máximo 1.

Por tanto, el modelo que se ha escogido para explicar el comportamiento de gasto de consumo parece muy bueno. Pero antes de comprometerse con él, sería interesante averiguar si el modelo satisface los supuestos del MCRLN. No se mirarán, ahora los diversos supuestos pues la simplicidad del modelo es clara. Solo hay un supuestos que podría verificar, a saber, el de normalidad del término de perturbación, ui. Recuérdese que las pruebas t y F utilizadas antes requieren que el término de error siga una distribución normal. De lo contrario, el procedimiento de prueba no será válido en muestras pequeñas, o finitas.

Informe de resultados del análisis de regresión (II)

Al presentar los valores p de los coeficientes t estimados, se puede ver inmediatamente el nivel exacto de significancia de cada valor t estimado. Así, bajo la hipótesis nula de que el verdadero valor del intercepto poblacional es cero, la probabilidad exacta (es decir, el valor p) de obtener un valor t mayor o igual a 3.8128 es apenas de 0.0026. Por consiguiente, si rechazamos esta hipótesis nula, la probabilidad de que se cometa un error tipo 1 es de cerca de 26 en 10,000 en efecto una probabilidad muy baja. Para todo fin práctico, se puede decir que el verdadero intercepto poblacional es diferente de cero. De igual forma, el valor p del coeficiente de la pendiente estimado es cero para cualquier fin práctico. Si la verdadera PMC fuera de hecho cero, la posibilidad de obtener una PMC de 0.5091 sería prácticamente cero. Por lo cual se puede rechazar la hipótesis nula de que la verdadera PMC es cero.

En el teorema 4.7 se muestra la conexión entre los estadisticas F y t, a saber, F(1,k) = t²k Bajo la hipótesis nula de que el verdadero β2 = 0, (5.11.1)muestra que el valor F es 202.87 (para 1 g de l en el numerador y 8 g de l en el denominador) y el valor t es cercano a 14.24 (8 g de l); como se esperaba, el primer valor es igual al último valor elevado al cuadrado, salvo por errores de aproximación. La tabla ANOVA para este problema ya ha sido analizada.

Informe de resultados del análisis de regresión (I)

Existen diversas formas de presentar los resultados de un análisis de regresión, sin embargo, en este texto se utilizará el siguiente formato, empleando el ejemplo consumo-ingreso del capítulo 3 a manera de ilustración.

En la ecuación (5.11.1), las cifras en el primer conjunto de paréntsis son los errores estándar estimados de los coeficientes de regresión, las cifras del segundo conjunto son los valores t estimados calculados de (5.3.2) bajo la hipótesis nula de que el verdadero valor poblacional de cada coeficiente de regresión individual es cero (es decir, 3.8128 = 24.4545 + 6.4138), y las cifras en el tercer grupo son los valores p o "p-values" estimados. Por tanto, para 8 g de l la probabilidad de obtener un valor t mayor o igual a 3.8128 es 0.0026 y la probabilidad de obtener un valor t mayor o igual a de 14.2405 es alderededor de 0.00000003.

Predicción individual (II)

Comparando este intervalo con (5.10.5), se ve que el intervalo de confianza para el Yo individual es más amplio que el intervalo para el valor medio de Yo. (Por qué?) Calculando los intervalos de confianza como en (5.10.7) condicionales a los valores de X dados en la tabla 3.2, se obtiene la banda de confianza al 95% para los valores individuales Y correspondientes a estos valores de X.

Esta banda de confianza, al igual que la banda de confianza para Yo asociadas con los mosmos X,se muestran en la figura 5.6

Nótese una caraterística importante de las bandas de confianza que se muestran en la figura 5.6. La amplitud más pequeña de estas bandas se presenta cuando Xo = X. Por qué? Sin embargo, ésta aumenta considerablemente a medida que Xo se aleja de X. Por qué? Este cambio sugeriría que la capacidad de predicción de la línea de regresión muestral histórica decrece a medida que Xo se aleja progresivamente de X. Por consiguiente, se debe ser cauteloso al "extrapolar la línea" de regresión histórica para predecir E(Y|Xo) o Yo asociado con una Xo dado, que está muy alejado de la medida muestral X.

Predicción individual (I)

Si nuestro interés está en predecir un valor individual Y, Yo correspondiente a un valor dado X, digamos, Xo, entonces, como se muestra en el apendice, el mejor estimador lineal insesgado de Yo está dado también por (5.10.1) pero su varianza es la siguiente.

Puede demostrarse además que Yo también sigue una distribución normal con media y varianza dadas por (5.10.1) y (5.10.6), respectivamente. Sustituyendo σ² desconocido por σ², se cumple que

también sigue una distribución t. Por consiguiente, la distribución t puede utilizarse para hacer inferencia sobre el verdadero Yo. Al continuar con nuestro ejemplo consumo-ingreso, se ve que la predicción puntual de Yo es 75.3645, igual a Yo y su varianza es 52.6349 (el lector debe verificar con cálculo). Por consiguiente, el intervalo de confianza al 95% para Yo correspondiente a Xo = 100 es

Predicción Media (II)

Por tanto, dada Xo = 100, en muestreo repetido, en 95 de cada 100 intervalos como (5.10.5) estará incluido el verdadero valor medio; la mejor estimación del verdadero valor medio es, por supuesto, la estimación puntual 75.3645.

Si se obtienen intervalos de confianza al 95% como (5.10.5) para cada uno de los valores de X dados en la tabla 3.2, se obtiene lo que se conoce como el intervalo de confianza, o banda de confianza, para la función de regresión poblacional, que se presenta en la figura 5.6