Modelo Clásico de regresión lineal: Supuestos detrás del método de mínimos cuadrados (IV)

Notese que el supuesto de E(ui|Xi)=0 implica que E(Yi|Xi) = β1+β2Xi.  Por consiguiente los dos supuestos son equivalentes

La ecuación (3.2.2) establece que la varianza de ui para cada Xi(esto es, la varianza condicional de ui) es algún número positivo constante igual a σ. Técnicamente representa el supuesto de homoscedasticidad, o igual (homo) dispersión (cetasticidad), o igual varianza. Planteado de otra forma (3.2.2) significaque las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la misma varianza. Esta situación puede apreciarse en el diagrama de la figura 3.4

Modelo Clásico de regresión lineal: Supuestos detrás del método de mínimos cuadrados (III)

Lo que todo esto significa es que el análisis de regresión es un análisis de regresión condicional, esto es, condicionado a los valores dados del (los) regresor(es) X.

El supuesto 3 establece que el valor de la media de ui, condicional sobre las Xi dadas, es cero Geométricamente, este supuesto puede representarse gráficamente como aparece en la figura 3.3,  que muestra algunos valores de la variable X y las poblaciones Y asociadas con cada uno de ellos. Puede observarse que cada población Y correspondiente a un X dado está distribuida alrededor de su media (que se representa por los puntos rodeados por un círculo sobre la FRP) con algunos valores de Y por encima y por debajo de ésta. Las distancias por encima y por debajo de los valores medios no son otra cosa que los ui,  y lo que (3.2.1) requiere es que el promedio o el valor medio de estas desviaciones correspondientes a cualquier X dado deban ser cero.

Este supuesto no debe ser difícil de entender en vista de lo expuesto en la seccion 2.4. Lo que el supuesto dice es que los factores que no están incluidos en el modelo y que, por consiguiente, están incorporados en ui, no afectan sistemáticamente el valor de la media de Y; es decir, los valores positivos de ui se cancelan con los valores negativos de ui de tal manera que el efecto promedio o de su media sobre Y es cero.

Modelo Clásico de regresión lineal: Supuestos detrás del método de mínimos cuadrados (II)

Puesto que los modelos de regresión lineal en parámetros son el punto de partida del MCRL, se mantendrá este supuesto a lo largo de este blog. Es de recordar que la variable  dependiente Y y el regreso X pueden no ser lineales en sí mismos, como se explicó el en anteriores posts.

Este supuesto está implícito en nuestro análisis de la FRP en los anteriores post. Pero es muy importante entender el concepto de "valores fijos en muestreo repetido", que puede ser explicado en términos del ejemplo dado en la tabla 2.1. Considérense las diversas poblaciones Y correspondientes a los niveles de ingreso que aparecen en esa tabla. Manteniendo el valor del ingreso X fijo, al nivel US$80, se puede seleccionar aleatoriamente una familia y observar su gasto de consumo familiar semanal Y, digamos US$60. Manténgase X aún en US$80, mientras se selecciona aleatoriamente otra familia y se observe su valor de Y de Us$75. En cada una de estas selecciones (es decir, muestreo repetido), el valor de X estáfijo en US$80. Se puede repetir este proceso para todos los valores de X que aparecen en la tabla 2.1. A propósito, los datos muestrales que aparecen en las tablas 2.4 y 2.5 fueron seleccionados en esta forma.

Modelo Clásico de regresión lineal: Supuestos detrás del método de mínimos cuadrados

Si nuestro objetivo consiste en estimar β1 y β2    solamente, el método de MCO presentado en la sección anterior será suficiente. Pero recuérdese de los anteriores posts que en el análisis de regresión nuestro objetivo es no solo obtener β1 y β2   sino también hacer inferencia sobre los verdaderos β1 y β2   . Por ejemplo, se desearía saber qué tan cerca están β1 y β2   de sus contrapartes en la población o que tan cerca esta Yi de la verdadera E(Y|Xi). Para este fin, no solamente se debe especificar la forma funcional del modelo, como aparece en la figura (2.4.2), sino también se deben hacer ciertos supuestos sobre la forma como las Yi son generadas. Para ver las razones de este requisito, observese la FRP: Yi =  β1 + β2Xi +ui   . Esta expresión muestra que Yi depende de Xi y de ui. Por consiguiente, mientras no se especifique la forma como se crean o se generan las Xi y las ui no hay manera de hacer alguna inferencia estadística sobre las Yi ni tampoco, como se verá, sobre     β1 y β2 . Así los supuestos hechos sobre la(s) variable(s) Xi y el término de error son muy críticos para lograr una interpretación válida de los valores estimados de la regresión. 

Método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) (IX)

La ecuación (3.1.13) es conocida como forma de desviación. Notese que el término del intercepto β1 ha desaparecido. Pero este término siempre podrá ser estimado mediante (3.1.7), debido al hecho de que la línea de regresión muestral pasa a través  de las medias muestrales de Y y X. Una ventaja de las ecuaciones en forma de desviaciones es que éstas frecuentemente simplifican los cálculos aritméticos mientras se esté trabajando con calculadoras de escritorio. Pero en esta época del computador esta ventaja pierde validez.

Obsérvese de paso, que la FRM puede se escrita en forma de desviaciones como:

4. Los residuos ûi no están correlacionados con el valor predicho de Yi, lo cual puede ser verificado de la siguiente manera: utilizando la forma de desviación, podemos escribir.

Método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) (VIII)

3. El valor de la media de los residuos ûi es cero, la primera ecuación es:

donde yi y xi, de acuerdo con nuestra convención, representan desviaciones con relación a los valores respectivos de sus medidas (muestrales)

Método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) (VII)

1. Pasa a través de las medias muestrales de Yy X. Este hecho es obvio a partir de (2.1.7), ya que esta ecuación puede escribirse como Y =  β1 + β2X,  como se observa gráficamente es la figura 3.2.
2. El valor promedio o medio del Y estimado = Yi es igual al valor medio del Y observado para 

Sumando ambos lados de esta última igualdad sobre los valores muestrales y dividiendo por el tamaño n  de la muestra se obtiene: