Prueba de la forma funcional de la Regresión: Selección entre modelos de regresión lineal y log-lineal (I)

La selección entre un modelo de regresión lineal (el regresor es una función líneal de los regresores) o un modelo de regresión log-lineal (el lorgaritmo del regresor es función de los logaritmos de los regresores) es la eterna pregunta en el análisis empírico. Se puede utilizar una prueba propuesta por MacKinnon, White y DAvidson, que se denominará, por brevedad la prueba MWD para escoger entre los dos modelos.

Para ilustrar esta prueba, supóngase lo siguiente.

Ho: Modelo Lineal: Y es una función lineal de los regresores, los X
H1:  Modelo Log-lineal: ln Y es función lineal de los logartimos de los regresores, los logaritmos de las X.

en donde, como es usual, Ho y H1 denotan  las hipótesis nula y alterna.

La prueba MWD comprende los pasos que se diran en el siguiente post.

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (VI)

Paso I

Si el nivel α se fija al 5%, el valor crítico F(2,14) = 3.74. Y puesto que el valor F observado de 5.04 excede este valor crítico, se puede rechazar la hipótesis de que la función de ahorro en los dos períodos de tiempo es la misma. A propósito, el valor p del F observado es 0.0224.


Si se acepta la conclusión de que las funciones de ahorro en los dos períodos de tiempo son diferentes, se debe esta diferencia a la diferencia en los valores de los interceptos o a los valores de las pendientes, o a ambos valores? Aun cuando la prueba de Chow puede ser adaptada para responder a estas preguntas, en el capítulo sobre las variables dicotómicas se presentará una alternativa a la prueba de Chow, que puede responder a estas preguntas más fácilmente.

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (V)

Paso IV: Dados los supuestos de la prueba de Chow, puede demostrarse que

sigue la distribución F con g de l = (k,n1 + n2 - 2k). Si la F calculada de (8.8.4) excede el valor F crítico a un el nivel escogido de α, rechácese la hipótesis de que las regresiones (8.8.1) y (8.8.2) son iguales, es decir, rechácese la hipótesis de estabilidad estructural. Alternativamente, si el valor p de F obtenido  de (8.8.4) es bajo, rechácese la hipótesis nula de estabilidad estructural.

Retornando al ejemplo, los resultados son los siguientes: Obsérvese que en el ejemplo n1 = n2 =9

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (IV)

Paso I: Combinando todas las observaciones n1 y n2, se estima (8.8.3) y se obtiene su suma residual al cuadrado (SRC), es decir, S1 con g de l = (n1 + n2 -k), donde k es el número de parámetros estimados, 2 en el presente caso.

Paso II: Estímese (8.8.1) y (8.8.2)  individualmente  y obténgase sus SRC, es decir S2 y S3 con g de l = (n1-k) y (n2-k) respectivamente. Adiciónese estas dos SRC, es decir, S4 = S2 + S3 con g de l = (n1+n2-2k).

Paso III: Obténgase S5 = S1-S4

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (III)

Cómo determinar si hay un cambio estructural en la relación ahorro-ingreso entre los dos períodos? Una prueba corrientemente utilizada para responder esta pregunta se conoce como la prueba de Chow, por Gregory Chow, aun cuando es simplemente la prueba F estudiada anteriormente.

Los supuestos en los cuales se basa la prueba de Chow son dos:

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (II)

Para ver si este cambio es real, supóngase que la función de ahorro para los dos períodos es la siguiente:

donde Y es el ahorro personal, X es el ingreso personal, los u son los términos de perturbación en las dos ecuaciones y n1 y n2 son el número de observaciones en los períodos. Téngase en cuenta que el número de observaciones en los dos períodos puede ser igual o diferente.

Ahora un cambio estructural puede significar que los dos interceptos son diferentes, o que las dos pendientes son diferentes, o que tanto los interceptos como las pendientes son diferentes, o cualquier otra combinación posible de los parámetros. Por supuesto, si no hay cambio estructural (es decir, hay estabilidad estructural) podemos combinar todas las observaciones n1 y n2 y estimar sencillamente la función de ahorro  como

Yt = λ1 + λ2Xt + ut

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (I)

En la tabla 8.8 se presenta información sobre ahorro personal e ingreso personal en el Reino Unido durante el período 1946-1963.

Supóngase que se desea encontrar la forma como se comporta el ahorro personal en realación con el ingreso personal, es decir, se desea estimar una simple función de ahorro. Una breve mirada a la información dada en la tabla 8.8 muestra que el comportamiento del ahorro, en relación con el ingreso durante el período 1946-1954,  el período inmediatamente posterior a la Segunda Guerra Mundial (puede llamarlo período de reconstrucción), parece diferir el período  1955-1963 (de post reconstrucción). Para expresarlo de otra forma, la función de ahorro ha sufrido un cambio estructural entre los dos períodos, es decir, los parámetros de la función de ahorro han cambiado.