La contribución "incremental" o "marginal" de una variable explicativa (III)

Suponiendo que las perturbaciones ui están normalmente distribuidas y la hipótesis nula β12 = 0, sabemos que

F = (65898.235/11.080) = 5947.494 (8.5.15)

sigue una distribución F con 1 y 13 g de l. Este valor F es significativo a los niveles usuales de significancia. Así, como antes, se puede rechazar la hipótesis de que β12 = 0. A propósito, obsérvese que t² = (77.2982)² = 5975.02, que es igual al valor F de (8.5.15) excepto por errores de aproximación. Pero este resultado no debe sorprender puesto que, como se anotó en el capítulo 5, bajo la misma hipótesis nula y el mismo nivel de significancia, el cuadrado del valor t con n-2 g de l es igual al valor F con 1 y n-2 g de l.

Habiendo efectuado la regresión (8.5.14), supóngase que se decide agregar X3 al modelo y obtener la regresión múltiple (8.2.2). Las preguntas que se quieren responder son estas:

1) Cuál es la contribución marginal o incremental de X3 sabiendo que X2 ya aparece en el modelo y que está relacionada significativamente con Y? (2) Es la contribución incremental estadísticamente significativa? (3) Cuál es el criterio para agregar variables al modelo? Estas preguntas pueden ser resueltas mediante la técnica ANOVA. Para ver esto, se construye la tabla 8.6. Para el ejemplo numérico, la tabla 8.6 se convierte en tabla 8.7.

La contribución "incremental" o "marginal" de una variable explicativa (II)

Supóngase que se efectúa primero la regresión de Y (gasto personal de consumo) sobre X2 (ingreso personal disponible) y se obtiene la siguiente regresión:

Bajo la hipótesis nula 

β1 2 = 0, puede verse que el valor t estimado es de 77.2982 (= 08812/0.0114), el cual obviamente es estadísticamente significativo a los niveles de significancia del 5 o del 1%. Así, X2 afecta significativamente a Y. La tabla ANOVA para la regresión (8.514) está dad en la tabla 8.5.

La contribución "incremental" o "marginal" de una variable explicativa (I)

Retornar al ejemplo ilustrativo. Se sabe de (8.2.2) que los coeficientes de X2(ingreso) y de X3(tendencia)  son estadísticamente significativos con base en pruebas t separadas. También se ha visto que la línea de regresión obtenida es significativa en si misma con base en la prueba F dada en (8.5.7) o (8.5.13). Ahora supóngase que introducimos X2 y X3 secuencialmente; es decir, se efectúa una primera regresión de Y sobre X2 y se evalúa su significancia y luego se agrega X3 al modelo para encontrar si contribuye de alguna forma (por supuesto, el orden en el cual X2 y X3 ingresan puede ser intercambiado). Por contribución queremos decir si la adición de la variable al modelo incrementa la SEC (y por consiguiente R2) "significativamente" en relación con la SRC. Esta contribución puede ser denominada apropiadamente la contribución incremental, o marginal, de una variable explicativa.

El tema de la contribución incremental es importante en la práctica. En la mayoría de las investigaciones empíricas, e, investigador puede no estar completamente seguro de si se justifica agregar una variable X al modelo, sabiendo que ya se encuentran presentes en el modelo muchas otras variables X. No se desea incluir variable(s) que aumente(n) sustancialmente la SEC. Pero, cómo se decide si una variable X reduce significativamente la SRC? La técnica de análisis de varianza peude fácilmente extenderse para responder a esta pregunta.

Prueba de significancia global d una regresión múltiple en términos de R²

Regla de decisión. Para probar la significancia global de una regresión en terminos de R². Pruebe  alternativa pero equivalente a (8.5.7)

Una relación importante entre R² y F (II)

Para el caso de tres variables (8.5.11) se convierte en:

Debido a la estrecha conexión entre F y R², la tabla ANOVA 8.2 puede ser convertida en la tabla 8.4.

PAra el ejemplo ilustrativo, el lector debe verificar que la F de (8.5.12) es 4994, lo cual es aproximadamente igual al valor F de (8.5.6), atribuyendo la diferencia a errores de aproximación. Como antes, el valor F de (8.5.6) es altamante significativo y se puede rechazar la hipótesis nula de que Y no está relacionada linealmente con X2 y X3.

Una ventaja de la prueba F expresada en Términos de R² es su facilidad de cálculo: todo lo que se necesita saber es el valor de R². Por consiguiente, la prueba de significancia global dada F dada en (8.5.7) puede ser expresada en términos de R² como se indica en la tabla 8.4.

Una relación importante entre R² y F (I)

Existe una relación estrecha entre el coeficiente de determinación R² y la prueba F utilizada en el análisis de varianza. Suponiendo que las perturbaciones ui están normalmente distribuidas y bajo la hipótesis nula de que β2 = β3 = 0, se ha visto que

donde se hace uso de la definición R² = SEC/STC. La ecuación (8.5.11) muestra la forma como F y R² están relacionados. Estos dos varían en relación directa. Cuando R² = 0, F es cero ipso facto. Cuanto mayor sea el R², mayor será el valor F. En el límite, cuando R² = 1, F es infinito. Así la prueba F, que nos mide la significancia global de la regresión estimada, es también una prueba de significancia de R². En otras palabras, la prueba de la hipótesis nula (8.5.9) es equivalente a probar la hipótesis nula de que el R² poblacional es cero.

Prueba de hipótesis individual versus conjunta

En la sección 8.4 se realizó la prueba de significancia de un coeficiente de regresión simple y en la sección 8.5 se estudió la prueba de significancia conjunta o global de la regresión estimada (es decir, todos los coeficientes de pendiente son simultáneamente iguales a cero). Se reitera que estas prueba son diferentes. Así, con base en la prueba t o intervalo de confianza (de la sección .4), es posible aceptar la hipótesis de que un coeficiente de pendiente particular, βk es cero y aún rechazar la hipótesis conjunta de que todos los coeficientes de pendiente son cero.

La lección que debe prenderse es que el "mensaje" conjunto de los intervalos de confianza individuales, no sustituye una región de confianza conjunta [implicada por la prueba F], en el momento de realizar pruebas de hipótesis conjuntas y realizar afirmaciones de confianza conjuntas.