Predicción Media (I)

Al reemplazar σ² desconocido por su estimador insesgado σ², se cumple que la variable.

sigue una distrubición t con n-2 g de l. La distribución t puede ser utilizada por consiguiente para construir intervalos de confianza para el verdadero E(Yo|Xo) y para hacer pruebas de hipótesis acerca de tal valor de manera usual, a saber.

Predicción Media

Para obtener las ideas, supóngase que Xo=100 y se desea predecir E(Y|Xo =100). Ahora, puede demostrarse que la regresión historica (3.6.2) proporciona la estimación puntual de esta predicción media de la siguiente forma:

donde Yo = estimador de E(Y|Xo). Puede demostrarse que este predictor puntual es el mejor estimador lineal e insesgado (MELI)

Puesto que Yo es un estimador, es probable que éste sea diferente de su verdadero valor. La diferencia entre los dos valores dará alguna idea sobre el error de predicción o de pronostico. Para evaluar este error, es necesario encontrar la distribución muestral de Yo. En el apéndice 5A, sección 5A.3, se demuestra que en la ecuación (5.10.1), Yo está normalmente distribuida con media (β1 + β2Xo) y con varianza dada por la siguiente fórmula:

Aplicación del análisis de regresión: Problema de Predicción

Con base en los datos muestrales de la tabla 3.2, se obtuvo la siguiente regresión muestral.

Yi = 24.4545 + 0.5091Xi

donde Yt es el estimador del verdadero E(Yi) correspondiente a X dado. Qué uso se puede dar a esta regresión histórica? Un uso es "predecir" o "pronosticar" el gasto de consumo futuro Y correspondiente a algún nivel dado de ingreso X. Ahora, hay dos clases de predicciones: (1) la predicción del valor de la media condicional de Y correspondiente a un valor escogido X, por ejemplo Xo, que es el punto sobre la línea de regresión poblacional misma y (2) predicción de un valor individual Y correspondiente a Xo. Se llamarán estas dos predicciones la predicción media y la predicción individual.

Análisis de regresión y análisis de varianza (V)

Recuérdese el teorema 4.7 de la sección 4.5, que plantea que el cuadrado del valort con k g de l es un valor F con un g de l en el numerador y k g de l en el denominador. Para el ejemplo consumo ingreso, si se supone Ho: β2 = 0, entonces de (5.3.2) puede verificarse fácilmente que el valor t estimado es 14.24. Este valor t tiene 8 g de l. Bajo la misma hipótesis nula, el valor F er 202.87 con 1 y 8 gde l. De donde (14.24)^2 = valor F, excepto por errores de aproximación.

Así, las pruebas t y F proporcionan dos formas alternas, pero complementarias, de probar la hipótesis nula que β2 = 0. Si este es el caso, por qué no simplemente confiar en la prueba t y no preocuparse por la prueba F y por el análisis de varianza que lo acompaña? Para el modelo de dos variables, realmente no hay necesidad de recurrir a la prueba F. Pero cuando se considere el tema de la regresión múltiple, se verá que la prueba F tiene diversas aplicaciones interesantes que hacen que sea un método muy útil y poderoso de demostrar hipótesis estadísticas.

Análisis de regresión y análisis de varianza (IV)

(Obsérvese que β2 y σ^2 al lado derecho de estas ecuaciones son los verdaderos parámetros). Por consiguiente, si β2, es en realidad cero,ambas ecuaciones (5.9.2) y (5.9.3) proporcionan estimaciones idénticas del verdadero σ^2. En esta situación, la variable explicativa X no tiene influencia lineal alguna sobre Y y toda la variación en Y es explicada por las perturbaciones aleatorias ui. De otra parte si, β2 es diferente de cero, (5.9.2) y (5.9.3) serán diferentes y parte de la variación en Y se atribuirá a X. Por consiguiente, la razón F de (5.9.1) constituye una prueba sobre la hipótesis nula Ho:β2 = 0. Puesto que todas las cantidades que hacen parte de esta ecuación pueden ser obtenidas a partir de la muestra disponible, esta razón F constituye un estadístico de prueba para verificar la hipótesis nula de que el verdadero β2 es igual a cero. Todo lo que debe hacerse es calcular la razón F y compararla con el valor crítico F obtenida de la tabla F al nivel de significancia seleccionado, u obtener el valor p del estadístico F calculado.

A manera de ilustración, se continúa con el ejemplo consumo-ingreso. La tabla ANOVA para este ejemplo se presenta en la Tabla 5.4. El valor F calculado es 202.87. El valor p de este estadístico F correspondiente a 1 y 8 g de l no puede se obtenido de la tabla F dada en el apéndice D pero, utilizando las tablas estadísticas electrónicas puede demostrarse que el valor p es 0.0000001, en efecto una probabilidad muy pequeña. Si se decide escoger el enfoque de nivel de significancia para la prueba de hipótesis y fijar α en 0.01, o en un nivel del 1%, se puede ver que la F calculada de 202.87 es obviamente significativa a ese nivel. Por consiguiente, si se rechaza la hipótesis nula de que β2 =0, la probabilidad de cometer un error tipo 1 es muy pequeña. Para todos los fines prácticos, la muestra no puedo haber provenido de una población con un valor β2 igual a cero y se puede concluir con gran confianza que X, el ingreso, afecta Y, el gasto de consumo.

Análisis de regresión y análisis de varianza (III)

Si se supone que las perturbaciones ui están normalmente distribuidas y H0: β2=0, puede demostrarse que la F de (5.9.1) satisface las condiciones del teorema 4.6 (sección 4.5) y, por consiguiente presenta la distribución F con 1 y n-2 g de l.

Qué uso puede hacerse de la razón F anterior? Puede demostrarse que

Análisis de regresión y análisis de varianza (II)

Reorganícemos la sumas de cuadrados y sus g de l asociadas en la tabla 5.3, que es la forma estándar de la tabla AOV, denominada algunas veces la tabla ANOVA. Dada la información de la tabla 5.3, considérese ahora la siguiente variable: