Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (V)

La primera columna a la derecha de la matriz de datos anterior representa el término de intercepto común α1. Ahora puede verse fácilmente que D2 = 1 - D3 o D3 = 1 - D2; es decir, D2 y D3 son perfectamente colineales. Como se mostró en el capítulo 10, en casos de multicolinealidad perfecta, la estimación MCO usual no es posible. Hay diversas formas de resolver este problema, pero lo más simple es asignar las variables dicótomas en la forma que se hizo para el modelo (15.2.1), a saber, utilícese solamente una variable dicótoma si hay dos niveles o clases de las variable cualitativa. En este caso, la matriz de datos anterior no tendrá la columna titulada D3, evitando así el problema de multicolinealidad perfecta. La regla general es está: Si una variable cualitativa tiene m categorías, introdúzcase solamente m - 1 variables dicótomas. En el ejemplo, el sexo tiene dos categorías y, por tanto, se introdujo solamente una variable dicótoma. Si esta regla no se sigue, se caerá en lo que podría llamarse la trampa de la variable dicótoma, es decir, la situación multicolinealidad perfecta. (Para mayor análisis véase sección 15.13).

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (IV)

1. Para diferenciar las dos categorías, hombres y mujeres, se ha introducido solamente una variable dicótoma  Di, Si Di = 1 siempre representa hombres, se sabe que Di = 0 es mujeres puesto que solamente hay dos resultados posibles. Por tanto, es suficiente una variable dicótoma para diferenciar dos categorías. Supóngase que el modelo de regresión contiene un término de intercepto; si se fuera a escribir el modelo (15.2.1) como

Yi = α1 + α2D2i + α3D3i + βXi + ui (15.2.4)

donde Yi y Xi son como se definieron antes

D2i = 1 es un profesor
= 0 no lo es
D3i = 1 es una profesora
=0 no lo es

entonces, el modelo (15.2.4), como está planteado, no puede ser estimado debido a la presencia de colinealidad perfecta entre D2 y D3. PAra ver esto, supóngase que se tiene una muestra de tres profesores hombres y dos profesores mujeres. La matriz de datos tendrá una apariencia como la siguiente:

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (III)

Si el supuesto de una pendiente común es válido, una prueba de la hipótesis de que las dos regresiones (15.2.2) y (15.2.3) tienen el mismo intercepto (es decir, que no hay discriminación sexual) puede hacerse fácilmente efectuando la regresión (15.2.1) y evaluando la significancia  estadística del α2 estimado con base en la prueba t tradicional., Si la prueba t muestra que α2 es estadísticamente significativo, se rechaza la hipótesis nula de que los niveles de salario anual promedio de los profesores y las profesoras universitarias sean iguales.

Antes de proceder, obsérvense las siguientes características del modelo de regresión con variables dicótomas considerado anteriormente.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (II)

GEométricamente, se tiene la situación que se muestra en la figura 15.2 (como ilustración se supone que α1 > 0). En palabras, el modelo (15.2.1) postula que las funciones salario de los profesores y de las profesoras universitarias con relación a los años de experiencia docente tienen la misma pendiente (β), pero interceptos diferentes. En otras palabras, se supone que el nivel del salario promedio de lo profesores difiere de aquél de las profesoras (en α2), pero la tasa de crecimiento en el salario anual promedio por años de experiencia es el mismo para ambos sexos.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (I)

Como ejemplo del modelo ANCOVA, se modifica el modelo (15.1.1) de la siguiente manera:

Figura Funciones de salario de profesores universitarios mujeres y hombres

Ejemplo Salario de los profesores universitarios por sexo (III)

Los modelos ANOVA del tipo de (15.1.1), aunque son comunes en campos tales como la sociología, la sicología, la educación y la investigación de mercados, no lo son tanto en economía. Típicamente, en la mayor parte de la investigación económica, un modelo de regresión contiene algunas variables explicativas que son cuantitativas y algunas que son cualitativas. Los modelos de regresió que contienen una mezcla de variables cuantitativas y cualitativas se llaman modelos de análisis de covarianza (ANCOVA) y en gran parte de este capítulo, se tratarán tales modelos.

Ejemplo Salario de los profesores universitarios por sexo (II)

Puesto que β es estadísticamente significativo, los resultados indican que los salarios promedio de las dos categorías son diferentes; el salario promedio de los profesores es, en realidad, más bajo que el salario de sus colegas masculinos. Si todas las demás variables se mantienen constantes (una gran condición), es muy probable que hay discriminación por sexos en los salarios. Por supuesto, el presente modelo es muy simple para responder a esta pregunta en forma definitiva, especialmente considerando que la información utilizada en el análisis es de naturaleza hipotética.

A propósito, es inversamente verla regresión (15.1.3) gráficamente, la cual aparece en la figura 15.1. En esta gráfica la información ha sido ordenada agrupándola en dos categoría, profesoras universitarias y profesores universitarios. Como puede verse en esta figura, la función de regresión resultante es una función escalonada, el salario promedio de las profesoras es US$ 18,000 y el salario promedio de los profesores da un salto de US$ 3,280 (=β2) para situarse en US$ 21,280; los salarios de los profesores individuales n los dos grupos se encuentran alrededor de sus respectivos salarios medios.

Ejemplo Salario de los profesores universitarios por sexo (I)

En la tabla 15.1 e presenta información hipotética sobre los salarios de iniciación de 10 profesores universitarios según el sexo del profesor. Los resultados correspondientes a la resgresión (15.1.1) son los siguientes:

Como lo demuestran estos resultados, el salario promedio estimado de las profesoras universitarias es US$ 18,000 (= α) y el de los profesores es US$ 21,280 (α + β); de la información en la tabla 15.1, puede calcularse fácilmente que los salarios promedio de las profesoras universitarias y de los profesores son U@$ 18,000 y US$ 21.280, respectivamente, valores que son exactametne iguales a los estimados.

Naturaleza de las variables dicótomas (IV)

Efectuando la regresión (15.1.1) en la forma usual, puede hacerse fácilmente una prueba de la hipótesis nula de que no hay discriminación por sexo (Ho: β = 0) y es posible averiguar si, con base en la prueba t, el β estimado es estadísticamente significativo.

Naturaleza de las variables dicótomas (III)

Obsérvese que (5.1.1) se parece a los modelos de regresión de dos variables presentados anteriormente, excepto que en lugar de tener una variable cuantitativa X se tiene una variable dicótoma D (en lo sucesivo, se designarán todas las variables dicótomas por la letra D).

El modelo (15.1.1) puede servir para enconrtrar si el sexo es la causa de cualquier diferencia en el salario de un profesor universitario, suponiendo, por supuesto, que todas las demás variables tales como la edad, el grado alcanzado y los años de experiencia se mantienen constantes. Suponiendo que las perturbaciones satisfacen los supuestos usuales del modelo clásico de regresión lineal, de (15.1.1) se obtiene:

es decir, el término intercepto α da el salario promedio de las profesoras universitarias y el coeficiente pendiente β dice en cuánto difiere el salario promedio de un profesor universitario del salario promedio de su colega femenina, estando el salario promedio de un profesor universitario masculino representado por α + β.

Naturaleza de las variables dicótomas (II)

Las variables dicótomas pueden ser utilizadas en los modelos de regresión en forma tan fácil como las variables cuantitativas. De hecho, un modelo de regresión puede contener variables explicativas que son exclusivamente dicótomas, o cualitativas, por naturaleza. TAles modelos se denominan modelos de análisis de varianza (ANOVA). Como ejemplo, considérese el siguiente modelo":

Naturaleza de las variables dicótomas (I)

En el análisis de regresión, la variable dependiente está influenciada frecuentemente no sólo por variables que pueden ser fácilmente cuantificadas sobre una escala bien definida (por ejemplo: ingreso, producción, precios, costos, estatura y temperatura), sino también por variables que son esencialmente cualtitativas por naturaleza (por ejemplo, sexo, raza, color, religión, nacionalidad , guerras, terremotos, huelgas, trastornos políticos y cambios en la política económica gubernamental ). Por ejemplo, manteniendo los demás factores constantes, se ha encontrado que las profesoras universitarias ganan menos que sus colegas masculinos y que las personas de color ganan menos que las blancas. Este patrón puede resultar de la discriminación sexual o racial, pero cualquiera que sea la razón, las variables cualitativas tales como sexo y raza si influyen sobre la variable dependiente y es claro que deben ser incluidas dentro de la explicativas.

Puesto que tales variables cualitativas usualmente indican la presencia o ausencia de una "cualidad" o atributo, tal como femenino o masculino, negro o blanco, o católico o no católico, un método de "cuantificar" tales atributos es mediante la construcción de variables artificiales que pueden adquirir valores de 1 o de 0, el 0 indicando ausencia del atributo y el 1 indicando presencia (o posesión) de este atributo. Por ejemplo, el 1 puede indicar que una persona es sexo masculino y 0 puede designar una de sexo femenino; o el 1 puede indicar que una persona se ha graduado de una universidad y 0 que no lo ha hecho y así sucesivamente. Las variables que adquieren tales valores como 0 y 1 se llaman variables dicótomas. Otros nombres para este término son variables indicadoras, variables categóricas, variables cualitativas y variables dicótomas.

Regresión con variables dicótomas

El propósito de este capítulo es considerar el papel de las variables explicativas cualitativas en el análisis de regresión. Se demostrará que la inclusión de las variables cualitativas, conocidas como variables dicótomas, hace que el modelo de regresión lineal sea una herramienta extremadamente flexible, capaz de manejar muchos problemas interesantes que se presentan en los estudios empíricos.

Temas en Econometría (V)

Con el capítulo 17 se concluye el análisis del modelo de regresión de una sola ecuación inciado en el capítulo 1. Estos 17 capítulos cubren mucho terreno en los modelos econométricos de una sola ecuación, obviamente sin agotarlo. En particular, no se han tratado aún las técnicas de estimación no lineal (en parámetros), ni se ha considerado el enfoque bayesiano de la ecuación lineal única, así como tampoco los modelos econométricos no lineales. Pero en un libro introductorio como  éste, no sería posible hacer justicia a estos temas, pues estos exigen una formación matemática y estadística mucho más avanzada que la supuesta en este libro.

Temas en Econometría (IV)

En el capítulo 17, se consideran los modelos de regresión que incluyen valores de las variables explicativas para el periodo actual, lo mismo que para periodos pasados o rezagados además de modelos que incluyen uno o varios valores rezagados de la variable dependiente que son consideradas variables explicativas. EStos modelos se denominan, modelos de rezago distribuido y modelos autorregresivos. Aunque tales modelos son extremadamente útiles en la econometría empírica, su aplicación conlleva algunos problemas especiales de estimación ya que violan uno o más supuestos del modelo clásico de regresión lineal. Estos problemas especiales se consideran en el contexto de Koyck, del modelo de expectativas adaptivas (EA) y de los modelos de ajuste parcial. Tambiénse resalta la crítica mantenida en contra del modelo EA por parte de los defensores dela llamada escuela de expectativas racionales (ER).

Temas en Econometría (III)

TAmbién se considera el modelo tobit, un modelo que está relacionado con el probit. En el modelo probit se trata, por ejemplo, de encontrar la probabilidad de poseer una casa. En el modelo tobit se trata de encontar la cantidad de dinero que un consumidor gasta en comprar una casa con relación a su ingreso, etc. Pero, por supuesto, si el consumidor no compra la casas, no se dispone de información sobre gastos en vivienda por parte de tales consumidores; se dispone de ese tipo de información solamente para los consumidores que realmente compran casas. Por tanto, se tiene una muestra censurada, es decir, una muestra en la cual no se dispone de información sobra la variable dependiente para algunas observaciones, aunque sí pueda haber información sobre los regresores. El modelo tobit muestra la forma como se pueden estimar los modelos de regresión que consideran muestras censuradas.

Temas en Econometría (II)

En el cap 16, se permite, en un modelo de regresión, que la variable dependiente en sí misma tenga por naturaleza carácter cualitativo. Tales modelos son utilizados en situaciones en las cuales las variables dependiente es del tipo "sí" o "no", tal como ser propietario de una asa, de un automóvil, o de accesorios domésticos o poseer un atributo, tal como la pertenencia a un sindicado o a una sociedad profesional. Los modelos que incluyen variables dependientes del tipo sí-no,se denominan modelos de regresión de variables dependiente dicótoma. Se consideran tres enfoques para la estimación de tales modelos: (1) el modelo lineal de probabilidad (MLP), (2) el modelo logit, y (3) el modelo probit. De estos, el MLP, aunque computacionalmente es fácil, es el menos satisfactorio ya que incumple algunos de los supuestos del MCO. Debido a esto, los modelos logit y probit son utilizados con mayor frecuencia cuando la varible dependiente resulta dicótoma. Estos modelos se ilustran con ejemplos numéricos y prácticos.

Temas en Econometría (I)

En la parte I se introdujo el modelo clásico de regresión lineal con todos sus supuestos. En la parte II se examinaron en detalle las consecuencias cuando uno o más de los supuestos no es satisfecho y lo que puede hacerse con respecto a ello. En la parte III se estudiarán algunas técnicas econométricas selectas pero de uso frecuente.

En el cap. 15, se considera el papel de las variables explicativas cualitativas en el análisis de regresión. Las variables cualitativas, llamadas variables dicótomas, son un mecanismo para incorporar en el modelo de regresión variables tales como el sexo, la religión y el color que aunque no pueden ser cuantificadas fácilmente, influencian el comportamiento de la variable dependiente. Con diversos ejemplos, se muestran la forma como tales variables amplían el alance del modelo de regresión lineal.

Diseño de Modelos econométricos II Resumen y Conclusiones (III)

6. El mensaje principal de este capítulo es que se debe prestar cuidadosa atención a la selección del modelo antes de apurarse a estimarlo. Una vez que el modelo finalmente es seleccionado, las técnicas clásicas de estimación y de prueba de hipótesis pueden ser aplicadas legítimamente. Posiblemente se debería tomar la sentencia del modelo clásico de regresión lineal de que el modelo de regresión está especificado "correctamente", para significar que el modelo seleccionado en el análisis empírico ha pasado por los rigores de la labor de especificación.

Diseño de Modelos econométricos II Resumen y Conclusiones (II)

4. Después de definir lo que constituye un buen modelo, Hendry y sus asociados desarrollaron una estrategia de diseño de modelos de arriba hacia abajo, o general a específica, la cual desarrolla un modelo completo y luego, utilizando diversos diagnósticos, reduce en  última instancia el alcance del modelo utilizado en el análisis final.

5. Al seleccionar modelos, los econometristas han desarrollado una diversidad de pruebas. En este capítulo solamente se estudió la prueba F no anidada y la prueba J David -MacKinnon.

Diseño de Modelos econométricos II Resumen y Conclusiones

Los puntos principales estudiados en este capítulo son los siguientes:

1. El énfasis en la invetigación econométrica se ha desplazado de la simple estimación de un modelo dado a la selección entre modelos que compiten.
2. En este desplazamiento, diversos econometristas, dentro de los cuales sobresalen Leamer y Hendry, han hecho aportes.
3. Leamer ha planteado los tipos de búsqueda que se deben realizar para encontrar el "verdadero" modelo. Él es un defensor del análisis de cota extrema (ACE) y su valor en el informe de resultados del análisis de regresión.

Otras pruebas de selección de modelos

La prueba J recién analizada es solamente una dentro de un grupo de pruebas de selección de modelos. Existen la prueba Cox, la prueba JA, la prueba P, la prueba envolvente de Mizon-Richard y las variantes de estas pruebas. Obviamente, no se puede esperar analizar estas pruebas especializadas, para las cuales, el lector puede desear consultar las referencias citadas en las diversas notas de pie de página.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (XI)

Todo esto dice que ningún modelo es particularmente útil para explicar el comportamiento del gasto de consumo personal per cápita en los Estados Unidos durante el período 1970-1991.

Por supuesto, se han considerado solamente dos modelos competidores. En realidad, puede haber más de dos modelos. El procedimiento de prueba J puede extenderse a comparaciones  de múltiples modelos, aunque el análisis puede hacerse complejo rápidamente.

Este ejemplo muestra vividamente por qué el MCRL supone que el modelo de regresión utilizado en el análisis está correctamente especificado. Obviamente , en el desarrollo de un modelo, es crucial prestar cuidadosa atención al fenómeno que está siendo modelado.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (X)

Ahora, suponiendo que el modelo B es la hipótesis planteada y que el modelo A es la hipótesis alterna y siguiendo exactamente el mismo procedimiento de antes, se obtienen los siguientes resultados:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (IX)

Pero la sección de (14.4.10) en lugar de (14.4.9) puede no ser apropiada porque, para fines predictivos, no hay mucha diferencia en los dos valores estimados de R².

Para aplicar la prueba J, suponga que se asume el modelo A como la hipótesis nula, es decir, como el modelo planteado y el modelo B como la hipótesis alterna. Ahora, siguiendo los pasos de la prueba J analizados anteriormente, se utilizan los valores de GPCP estimados del modelo (14.4.10) como regresor adicional en el modelo A, con el siguiente resultado:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (VIII)

Los resultados de estimar estos modelos separadamente fueron los siguientes:

Si se fuera a escoger entre estos dos modelos con base en el enfoque de discriminación utilizando, por ejemplo, el criterio del R² más alto, se puede escoger (14.4.10); además, en (14.4.10), ambos variables parecen ser individualmente significativas estadísticamente, mientras que en (14.4.9) solamente el IPDP del período en curso es estadísticamente significativo (pero tenga cuidado con el problema de colinealidad).

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (VII)

El modelo A plantea que el GPCP depende del IPDP en el período actual y anterior; este modelo es un ejemplo de lo que se conoce como modelo de rezago distribuido. El modelo B postula que el GPCP depende del IPDP actual lo mismo que del GPCP del período de tiempo anterior; este  modelo representa lo que se conoce como modelo autorregresivo. Se introduce este valor rezagado de GPCP en este modelo para reflejar la inercia o persistencia de hábitos.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (VI)

Un ejemplo ilustrativo

Para ilustrar la prueba J, considérese la información dad en la tabla 14.1. En esta tabla se presenta información sobre el gasto de consumo personal per cápida (GPCP) e ingreso personal disponible per cápita (IPDP), ambos medidos en dólares de 1987, para los EStados Unidos durante el período 1970-1991. Ahora, considérense los siguientes modelos rivales:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (V)

Otro problema con la prueba J es que cuando se utiliza el estadístico t para verificar la significancia de la variable Y estimada en los modelos (14.4.5) y (14.4.6), el estadístico t tiene la distribución normal estándar sólo asintóticamente, es decir, en muestras grandes. Pro consiguiente, la prueba J puede no ser muy potente (en el sentido estadístico) en pequeñas muestras porque ésta tiende a rechazar la hipótesis o el modelo verdadero más frecuentemente de lo que debería ser.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (IV)

Aunque, intuitivamente, la prueba J es atractiva, ésta tiene algunos problemas. Puesto que las pruebas dadas en (14.4.5) y (14.4.6) se realizan independientemente, se tienen los siguientes resultados posibles:

Como lo muestra esta tabla, no será posible obtener una respuesta clara si el procedimiento de prueba J conduce a la aceptación o al rechazo de ambos modelos. En caso de que los dos modelos sean rechazados, ningún modelo ayuda a explicar el comportamiento de Y. En forma similar, si ambos modelos son aceptados, como lo afirma Kmenta, "la información aparentemente no es lo suficientemente  rica para discriminar entre las dos hipótesis [modelos]"