Estimación del modelo LOGIT (II)

Obviamente, estas expresiones no tienen sentido. Por consiguiente, si la información disponible está a un nivel micro o individual, no se puede estimar (16.8.1) mediante la rutina MCO estándar. En esta situación puede ser preciso recurrir al método de máxima verosimilitud para estimar los parámetros. Pero, debido a su complejidad matemática, no se proceder;a a hacerlo aquí, aunque más adelante se presentará un ejemplo basado en este método.

Pero supóngase que se tiene la información, como se muestra en la tabla 16.4. Correspondiente a cada nivel de ingreso X, en esta tabla son Ni familias, de las cuales ni poseen casa (ni ≤ Ni). Por consiguiente, si ahora se calcula.

Estimación del modelo LOGIT (I)

Para fines de estimación, se escribe (16.7.6) de la siguiente manera:

En breve, se analizarán las propiedades del término de perturbación estocástico.

Para estimar el modelo, además de Xi, se necesitan los valores de logit Li. Pero ahora se incurre en algunas dificultades. Si existe información disponible sobre familias individuales, como en la tabla 16.1., entonces Pi = 1 si una familia posee una casa y Pi = 0 si no la posee. Pero si se colocan estos valores directamente en el logit Li, se obtiene.

El modelo Logit (VI)

4. Dado un nivel determinado de ingreso, por ejemplo, X*, si realmente se desea estimar la probabilidad misma de poseer una casa, y no las probabilidades en favor de poseer una casa, esto puede hacerse directamente a partir de (16.7.2) una vez se disponga de las estimaciones de β1 y β2 en primer lugar? La respuesta está dada en la siguiente sección.

5. Mientras que el MLP supone que Pi está linealmente relacionado con Xi, el modelo logit supone que el algoritmo de la razón de probabilidades está relacionado linealmente con Xi.

El modelo Logit (V)

3. La interpretación del modelo logit es la siguiente: β2, la pendiente, mide el cambio en L ocasionado por un cambio unitario en X, es decir, dice cómo el algoritmo de las probabilidades en favor de poseer una casa cambia a medida que el ingreso cambia en una unidad, por ejemplo US$1000. El intercepto β1 es el valor del algoritmo de las probabilidades en favor de poseer una casa si el ingreso es cero. Al igual que la mayoría de las interpretaciones de interceptos, esta interpretación puede no tener significado físico alguno.

El modelo Logit (IV)

Obsérvese estas características del modelo logit

1. A medida que P va de 0 a 1 (es decir, a medida que Z varía de -∞ a + ∞, el logit L va de  -∞ a + ∞. Es decir, aunque las probabilidades (por necesidad) se enceuntran entre 0 y 1, los logit no están limitados en esa forma.
2. Aunque L es lineal en X, las probabilidades en sí mismas no lo son. Esta propiedad hace contraste con el modelo MLP (16.7.1) en donde las probabilidades aumentan linealmente con X^18

El modelo Logit (III)

Ahora Pi(1-Pi) es sencillamente la razón de probabilidades en favor de poseer una casa - la razón de la probabilidad  de que una familia posea una casa a la probabilidad de que no la posea. Así, si Pi = 0.8, significa que las probabilidades son 4 a 1 en favor de la familia que posee una casa.

Ahora, si se toma el logartimo natural de (16.7.5), se obtiene un resultado muy interesante, a saber

El modelo Logit (II)

La ecuación (16.7.3) representa lo que se conoce como función de distribución logística (acumalativa).

Es fácil verificar que a medida que Zi se encuentra dentro de un rango de -∞ a + ∞ , Pi se encuentra dentro de un rango de 0 a 1 y que Pi no está linealmente relacionado con Zi (es decir, con Xi), satisfaciendo así los dos requerimientos considerados anteriormente. Pero parece que al satisfacer estos requerimientos, se ha creado un problema de estimación porque Pi es no lineal no solamente en X sino tambien en los β, como puede verse claremente a partir de (16.7.2). Esto significa que no se puede utilizar el procedimiento familiar MCO para estimar los parámetros. Pero este problema es más aparente que real porque (16.7.2) es intrínsecamente lineal, lo cual puede verse de la siguiente manera.


Si Pi, la probabilidad de poseer una casa, está dada por (16.7.3), entonces (1-Pi), la probabilidad de no poseer una casa es