Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (V)

La primera columna a la derecha de la matriz de datos anterior representa el término de intercepto común α1. Ahora puede verse fácilmente que D2 = 1 - D3 o D3 = 1 - D2; es decir, D2 y D3 son perfectamente colineales. Como se mostró en el capítulo 10, en casos de multicolinealidad perfecta, la estimación MCO usual no es posible. Hay diversas formas de resolver este problema, pero lo más simple es asignar las variables dicótomas en la forma que se hizo para el modelo (15.2.1), a saber, utilícese solamente una variable dicótoma si hay dos niveles o clases de las variable cualitativa. En este caso, la matriz de datos anterior no tendrá la columna titulada D3, evitando así el problema de multicolinealidad perfecta. La regla general es está: Si una variable cualitativa tiene m categorías, introdúzcase solamente m - 1 variables dicótomas. En el ejemplo, el sexo tiene dos categorías y, por tanto, se introdujo solamente una variable dicótoma. Si esta regla no se sigue, se caerá en lo que podría llamarse la trampa de la variable dicótoma, es decir, la situación multicolinealidad perfecta. (Para mayor análisis véase sección 15.13).

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (IV)

1. Para diferenciar las dos categorías, hombres y mujeres, se ha introducido solamente una variable dicótoma  Di, Si Di = 1 siempre representa hombres, se sabe que Di = 0 es mujeres puesto que solamente hay dos resultados posibles. Por tanto, es suficiente una variable dicótoma para diferenciar dos categorías. Supóngase que el modelo de regresión contiene un término de intercepto; si se fuera a escribir el modelo (15.2.1) como

Yi = α1 + α2D2i + α3D3i + βXi + ui (15.2.4)

donde Yi y Xi son como se definieron antes

D2i = 1 es un profesor
= 0 no lo es
D3i = 1 es una profesora
=0 no lo es

entonces, el modelo (15.2.4), como está planteado, no puede ser estimado debido a la presencia de colinealidad perfecta entre D2 y D3. PAra ver esto, supóngase que se tiene una muestra de tres profesores hombres y dos profesores mujeres. La matriz de datos tendrá una apariencia como la siguiente:

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (III)

Si el supuesto de una pendiente común es válido, una prueba de la hipótesis de que las dos regresiones (15.2.2) y (15.2.3) tienen el mismo intercepto (es decir, que no hay discriminación sexual) puede hacerse fácilmente efectuando la regresión (15.2.1) y evaluando la significancia  estadística del α2 estimado con base en la prueba t tradicional., Si la prueba t muestra que α2 es estadísticamente significativo, se rechaza la hipótesis nula de que los niveles de salario anual promedio de los profesores y las profesoras universitarias sean iguales.

Antes de proceder, obsérvense las siguientes características del modelo de regresión con variables dicótomas considerado anteriormente.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (II)

GEométricamente, se tiene la situación que se muestra en la figura 15.2 (como ilustración se supone que α1 > 0). En palabras, el modelo (15.2.1) postula que las funciones salario de los profesores y de las profesoras universitarias con relación a los años de experiencia docente tienen la misma pendiente (β), pero interceptos diferentes. En otras palabras, se supone que el nivel del salario promedio de lo profesores difiere de aquél de las profesoras (en α2), pero la tasa de crecimiento en el salario anual promedio por años de experiencia es el mismo para ambos sexos.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (I)

Como ejemplo del modelo ANCOVA, se modifica el modelo (15.1.1) de la siguiente manera:

Figura Funciones de salario de profesores universitarios mujeres y hombres

Ejemplo Salario de los profesores universitarios por sexo (III)

Los modelos ANOVA del tipo de (15.1.1), aunque son comunes en campos tales como la sociología, la sicología, la educación y la investigación de mercados, no lo son tanto en economía. Típicamente, en la mayor parte de la investigación económica, un modelo de regresión contiene algunas variables explicativas que son cuantitativas y algunas que son cualitativas. Los modelos de regresió que contienen una mezcla de variables cuantitativas y cualitativas se llaman modelos de análisis de covarianza (ANCOVA) y en gran parte de este capítulo, se tratarán tales modelos.