Métodos formales - Prueba de Park (II)

Puesto que σi² generalmente no se conoce, Park sugiere utilizar ûi² como aproximación y correr la siguiente regresión:

Si β resulta ser estadísticamente significativo, esto sugerirá que hay heteroscedasticidad en los datos. Si resulta ser no significativo, se puede aceptar el supuesto de heteroscedasticidad. La prueba de Park es, por tanto, un procedimiento de dos etapas. En la primera etapa se efectúa la regresión MCO ignorando el interrogante de la heteroscedasticidad. Se obtiene ûi de esta regresión y luego, en la segunda etapa, se efectúa la regresión (11.5.2).

Aunque empíricamente la prueba de Park es atractiva, ésta tiene algunos problemas. Goldfeld y Quandt han argumentado que el término de error vi que entra en (11.5.2) puede no satisfacer los supuestos MCO y puede en sí mismo ser heteroscedástico. No obstante, es posible utilizar la prueba de Park como un método esctrictamente exploratorio.

Métodos formales - Prueba de Park (I)

Park formaliza el método gráfico sugiriendo que σi² es algún tipo de función de la variable explicativa Xi. La forma funcional sugerida por él fue.

Método gráfico (II)

En lugar de graficar los ûi² frente a los Yi, se pueden graficar frente a una de las variables explicativas, especialmente si el grafico de ûi² frente a Yi presenta un patrón como el que se aprecia en la figura 11.7a. Tal gráfico que aparece en la figura 11.8 puede revelar patrones similares a aquellos dados en la figura 11.7 (en el caso del modelo con dos variables, el grafico de los ûi² frente a los Yi es equivalente a graficar los primeros frente a X, razón por la cual la figura 11.8 es similar a la figura 11.7. Pero esta no es la situación cuando se considera un modelo que involucra dos o más variables Xi en este caso ûi² puede ser graficado frente a cualquier variable X incluida en el modelo.

Método gráfico (I)

Si no hay información a priori o empírica sobre la naturaleza de la heteroscedasticidad, en la práctica se puede llevar a cabo el análisis de regresión bajo el supuesto de que hay heteroscedasticidad y luego hacer un examen post mortem de los residuales elevados al cuadrado, ûi², para ver si ellos exhíben algún patrón sistemático. Aunque los ui² no son lo mismo que los ui², los primeros puede ser usados como aproximación de los últimos especialmente si el tamaño de la muestra es suficientemente grande. Un examen de los ui² puede revelar patrones tales como los presentados en la figura 11.7.

En la figura 11.7 se grafican los ûi² frente a los Yi, que son los Yi estimados mediante la línea de regresión, con la idea de averiguar si el valor medio estimado de Y está relacionado sistemáticamente con el residual al cuadrado. En la figura 11.7a se ve que no hay patrón sistemático entre las dosvariables, lo cual sugiere que posiblemente no hay heteroscedasticidad en los datos. Sin embargo las figuras 11.7b hasta 11.7e muestran patrones definidos. Por ejemplo, la figura 11.7c sugiere una relación lineal, mientras que las figuras 11.7 y 11.7e indican una relación cuadrática entre ûi² y Yi. Utilizando tal conocimiento, si bien es informal, es posible transformar los datos de tal manera que una vez transformados, no presenten heteroscedasticidad. En la sección 11.6 se examinarán diversas transformaciones de este tipo.

Métodos informales

Naturaleza del problema. Con bastante frecuencia, la naturaleza del problema bajo consideración sugiere la posibilidad de que exista heteroscedsasticidad. Por ejemplo, a partir del trabajo pioner de Paris y Houthakker sobre estudíos de presupuesto familiar, en el cual se encontró que la varianza residual correspondiente a la regresión del consumo sobre el ingreso aumentaba con el ingreso, ahora, generalmente, se supone que encuestas similares, se pueden esperar varianzas desiguales entre las perturbaciones. De hecho, en la información de corte transversal que comprende unidades heterogéneas, la heteroscedasticidad puede ser la regla mas que la excepción. Así, en el análisis de corte transversal que relaciona el gasto de inversión con las ventas, la tasa de interés, etc., generalmente se esepera la presencia de heteroscedasticidad si se han agrupado empresas de tamaños pequeño, mediano y grande.

Detección de la heteroscedasticidad

De igual forma que sucede con la multicolinealidad, la pregunta práctica importante es: Cómo se sabe que la heteroscedasticidad está presente en una situación específica? Nuevamente, como en el caso de la multicolinealidad, no existen reglas fuertes y rápidas para detectar la heteroscedasticidad, solamente algunas reglas prácticas. Pero esta situación es inevitable porque σi² solamente puede conocerse si se tiene la población Y, correspondiente a las X seleccionadas, compelta tal como la población presentada en la tabla 2.1 o en la tabla 11.1. Pero tal información es una excepción más que la regla en la mayoría de las investigaciones económicas. A este respecto, el econometrista difiere de los cientifícos en campos tales como la agricultura y la biología, donde los investigadores tienen gran parte del control sobre sus temas. En los estudios de economía, es frecuente que solamente haya un valor muestral Y correspondiente a un valor particular de X. Por consiguiente, no hay forma de conocer σi² a partir de una sola observación Y. Así en la mayoría de los casos relacionados con investigaciones econométricas, la heteroscedasticidad puede ser un asunto de intuición o un "educated guesswork" o un trabajo basado en experiencia empírica previa o en pura especulación.

Teniendo en mente la advertencia anterior, se pueden examinar algunos de los métodos informales y formales para detectar la heteroscedasticidad. Como lo revelará el siguiente análisis, la mayoría de estos métodos están basados en el examen de los residuales ûi de MCO, puesto que son estos los que se observan y no las perturbaciones ui. Se espera que ellos sean buenas estimaciones de ui. una esperanza que puede cumplirse si el tamaño de la muestra es relativamente grande.

Estimación MCO ignorando la heteroscedasticidad (III)

La caracteristica más sobresaliente de estos resultados es que los MCO con o sin corrección por heteroscedasticidad, sobrestiman consistentemente el verdadero error estándar obtenido mediante el procedimiento (correcto) MCG, especialmente para valores grandes de α, con lo cual se establece  la superioridad de MCG. Estos resultados también muestran que si no se utiliza MCG y se depende de MCO - permitiendo o no la heteroscedasticidad- el resultado es una mezcla. Los errores estándar MCO usuales son muy grandes  (para el intercepto) o generalmente muy bajos (para el coeficiente de pendiente ) con relación a los obtenidos por MCO permitiendo la heteroscedasticidad . El mensaje es claro, ante la presencia de heteroscedasticidad, utilícese MCG. Sin embargo,por las razones explicadas más adelante en el capítulo, en la práctica no siempre es fácil aplicar el MCG.

DEl análisis anterior, es claro que la hetorscedasticidad es un problema potencialmente grave y el investigador debe saber si ella está presente en una situación dada. Si se detecta su presencia, se pueden tomar acciones correctivas, tales como utilizar una regresión de mínimos cuadrados ponderados o alguna otra técnica. Sin embargo, antes de examinar los diversos procedimientos correctivos, es preciso averiguar primero si hay presencia de heteroscedasticidad o si es probable que la haya en un caso dado. Este tema se analiza en la siguiente sección.