Modelos semilogarítmicos: Log-Lin y Lin-Long (II)

Este modelo es igual a cualquier otro modelo de regresión líneal en el sentido de que los parámetros β1 y β2 son lineales. La única diferencia es que la variable dependiente o regresada es el logaritmo de Y y el regresor o variable explicativa es el "tiempo", que adquiere valore de 1,2,3, etc.

Modelos como (6.5.6) se denominan modelos semilog porque solamente una variable (en este caso la regresada) aparece en forma logarítmica. Para fines descriptivos, un modelo en el cual la variable regresada es logaritmica se denominará modelo log-lin. Más adelante se considerará un modelo en el cual la varible regresada es lineal pero el(los) regresor(es) es (son) logarítmico(s) y lo llamaremos un modelo lin-log.

Antes de presentar los resultados de la regresión, examínense las propiedades del modelo (6.5.5). En este modelo el coeficiente de la pendiente mide el cambio proporcional constante o relativo en Y para un cambio absoluto dado en el valor del regresor (en este caso la variable t), es decir,

β2 = (Cambio relativo en la variable regresada/cambio absoluto en el regresor) (6.5.7)

Si se multiplica el cambio relativo en Y por 100, (6.5.7) nos dará entonces el cambio porcentual, o la tasa de crecimiento, en Y ocasionada por un cambio absoluto en X, el regresor.

Modelos semilogarítmicos: Log-Lin y Lin-Long (I)

Cómo medir la tasa de crecimiento: Modelo Log-Lin

Los economistas, la gente de negocios y los gobiernos frecuentemente están interesados en encontrar la tasa de crecimiento de ciertas variables económicas, tales como población, PNB, oferta monetaria, empleo, productividad, déficit comercial, etc.

En el ejercicio 3.22 presentamos información sobre el PIB real para los Estados Unidos durante el período 1972-1991. Suponga que deseamos encontrar la tasa de crecimiento del PIB real en este período. Sea Yt = PIB real (PIBR) en el tiempo t y Yo = el valor inicial (por ejemplo, 1972) del PIB real. Ahora recuérdese la siguiente fórmula conocida de interés compuesto de cursos introductorios en moneda, banca y finanzas.

Ecuaciones de diferencias a partir de la ecuación diferencial de energía (V)

Ahora, para el modelo lineal (3.7.1) una estimación de la pendiente está dada por el coeficiente β2 estimado, el cual, para la función de demanda de café, es -0.4795. Como se observa por el coeficiente β2 estimado, el cual, para la función de demanda de café, es -0.4795. Como se observa en 96.4.6), para obtener la elasticidad, se debe multiplicar este coeficiente de la pendiente por la razón (X/Y), es decir, el precio sobre la cantidad. Pero, Cuáles valores de X y de Y seleccionar? Como lo muestra la tabla 3.4 , hay 11 pares de valores de precio (X) y cantidad (Y). Si se utilizan todos estos valores, se tendrá 11 estimaciones de la elasticidad-precio.

En la práctica, sin embargo, la elasticidad se calcula para los valores medios, o promedios, de Y y de X. Es decir, se obtiene una estimación de la elasticidad promedio. Para el ejemplo, Y=2.43 tasas y X = US$1.11. Utilizando estos valores y el valor estimado de la pendiente de -0.4795, se obtiene de (6.4.6) un coeficiente de elasticidad-precio promedio de (-0.4795)(1.11/2.43) = -0.219,o cerca de -0.22. Este resultado presenta diferencia con el coeficiente de elasticidad de cerca de -0.25 obtenido del modelo log-lineal. Obsérvese que esta última elasticidad permanece igual sin importar el precio al cual es medida (Por que?), mientras que la primera depende de los valores particulares de la media.

Ejemplo ilustrativo: función de demanda de café reconsiderada (III)

La elasticidad E de la variable Y(por ejemplo, la cantidad demandada) con respecto a otra variable X (por ejemplo, el precio) es definido como

donde Δ denota un cambio (pequeño). Si Δ es suficientemente pequeño, podemos reemplazar ΔY/ΔX por la notación de cálculo diferencial, dY/dX.

Ejemplo ilustrativo: función de demanda de café reconsiderada (II)

Surge una pregunta intersante: Comparando los resultados de la función de demanda log-lineal vs. la función de demanda lineal de (3.7.1), cómo se decide cuál es el mejor modelo? Se puede decir que (6.4.5) es mejor que (3.7.1) por que su valor r² es superior (0.7448 vs 0.6628)? Desafortunadamente,no se puede decir esto, como será demostrado en el capítulo 7, cuando la variable dependiente de dos modelos no es la misma (aquí, ln Y Vs.Y), los dos valores de r² no son directamente comparables. No se puede tampoco comparar directamente los dos coeficientes de las pendientes ya que en (3.7.1) el coeficiente de la pendiente da el efecto de un cambio unitario en el precio del café, por ejemplo US$1por libra, sobre la cantidad absoluta (es decir, no relativa) constante de reducción en el consumo de café, que es 0.4795 tazas por día. Por otra parte, el coeficiente de -0.2530 obtenido de (6.4.5) da la reducción porcentual constante en el consumo de café como resultado de un incremento del 1% en el precio del café por libra (es decir, da la elasticidad-precio).

Cómo se pueden entonces comparar los resultados de los dos modelos?Esta interrogante hace parte de uno más amplio relacionado con análisis de especificación, un tema analizado en el capítulo 13. Por ahora, una forma de comparar los dos modelos consiste en calcular una medida aproximada de la elascidad-precio para el modelo (3.7.1). Esto puede hacerse de la manera que lo explicamos en el siguiente post.

Ejemplo ilustrativo: función de demanda de café reconsiderada (I)

Considérese la función de demanda de café de la sección 3.7. Mi asistente de investigación me había informado que, cuando se graficaron los datos utilizando la escala ln Y y ln X, el diagrama de dispersión parecia indicar que el modelo log-log podría haberse ajustado tan bien a los datos como el modelo lineal (3.7.1). Al efectuar los cálculos, el asistente obtuvo los siguientes resultados:

donde Yt = consumo de café, tasas por persona por día y Xt precio real del café, dólares por libra.

De estos resultados, vemos que el coeficiente de elasticidad-precio es -0.25, lo cual implica que por un incremento del 1% en el precio real del café por libra, la demanda de café (medida en términos de consumo diario de tazas de café) se reduce, en promedio, en cerca de 0.25%. Puesto que el valor de la elasticidad precio 0.25 es menor que 1 en términos absolutos, podemos decir que la demanda por café es inelástica al precio.

Cómo medir la elasticidad: Modelo log-lineal (II)

Una característica importante del modelo log-log, que lo ha hecho muy popular en el trabajo empírico, es que el coeficiente de la pendiente β2 mide la elasticidad de Y con respecto a X, es decir, el cambio porcentual en Y ante un pequeño cambio porcentual en X dado. Así, si Y representa la cantidad demandada de un bien y X su precio unitario, β2 mide la elasticidad-precio de la demanda, un parámetro de gran interés en economía. Si la relación entre la cantidad demandada y el precio es como se muestra en figura 6.3a, la transformación doble-log presentada en la Figura 6.3b dará entonces la estimación de la elasticidad-precio (-β2).

Puede observarse dos características especiales del modelo log-lineal: El modelo supono que el coeficiente de la elasticidad entre Y y X, β2, permanece constante a través del tiempo Por qué? de aquí su nombre alterno moldeo de elasticidad constante. En otras palabras, como lo indica la figura 6.3b, el cambio en ln Y por unidad de cambio en ln X (es decir, la elasticidad, β2) permanece igual sin importar en cual ln X medimos la elasticidad. Otro aspecto del modelo es que a pesar de que α y β son estimadores insesgados de α y β2, β1 (el parámetros del modelo original) al ser estimado como β1 = antilog (α) es, de por sí, un estimador sesgado. En la mayor parte de los problemas prácticos, sin embargo, el término del intercepto es de importancia secundaria y no es necesario preocuparse por obtener este estimador insesgado.

En el modelo de dos variables, la forma más simple de decidir si el modelo log-lineal se ajusta a los datos es graficar el diagrama de dispersión de ln Yi frente a ln Xi y ver si las observaciones caen aproximadamente sobre una línea recta, como en la figura 6.3b.