r² para el modelo de regresión a través del origen

Como recién se anotó y se analizará en mayor detalle en más adelante., el r² convencional dado en el capítulo 3 no se apropiado en regresiones que no incluyan o consideren el intercepto. Pero se puede calcular para tales modelos, lo que se conoce como el r² simple, el cual es definido como.


Noto: se trata de sumas de cuadrados simples o sencillas ( es decir, no corregidas por la media) y de productos cruzados.

A pesar de que este r² simple satisface la relación 0
Debido a las características especiales de este modelo, se debe ser muy cauteloso al utlizar el modelo de regresión de intercepto cero. A menos que haya una expectativa a priori muy fuerte, sería aconsejable apegarse al modelo convencional con presencia de intercepto. Esto tiene una doble ventaja. Primero, si el término intercepto es incluido en el modelo, pero resulta ser estadísticamente no significativo (es decir, estadísticamente igual a cero), para todos los fines prácticos tenemos una regresión a través del origen. Segundo y más importante, si de hecho, el modelo tiene un intercepto pero nosotros insistimos en ajustar una regresión a través del origen, estaríamos cometiendo un error de especificación, violando así el supuesto 9 del modelo clásico de regresión lineal.

Regresión a través del origen (VI)

Las diferencias entre estos dos conjuntos de fórmulas deben ser obvias: En el modelo sin términos de intercepto, utilizamos sumas sencillas de cuadrados y productos cruzados pero en el modelo con intercepto, utilizamos sumas de cuadrados ajustadas (de la media) y productos cruzados. Segundo, los g de l para calcular σ^2 son (n-1) en el primer caso y (n-2) en el segundo caso.

Aunque el modelo sin intercepto o con intercepto cero puede ser apropiado en algunas ocasiones, hay algunas características de este modelo que deben ser observadas. Primero, Σûi que es siempre cero en el modelo con intercepto (el modelo convencional), no necesita serlo cuando este término está ausente. En resumen, Σûi no necesita ser cero en la regresión a través del origen. Segundo r², el coeficiente de determinación introducido en el capítulo 3, que siempre es no negativo del modelo convencional, en ocasiones puede volverse negativo al considerar el moldeo sin intercepto! este resultado anómalo surge por que el r² introducido ante supone explicitamente que el intercepto está incluido en el modelo. Por consiguiente, el r² calculado convencionalmente puede no ser apropiado en los modelos de regresión a través del origen.

Regresión a través del origen (V)

Cómo se estiman modelos como (6.1.1) y qué problemas presentan ello? Para responder a estas preguntas, escríbanse primero la FRM de (6.1.1), a saber.

Regresión a través del origen (IV)

Como lo muestra este ejemplo, algunas veces la teoría que sirve de base requiere o exige que el término del intercepto deba estar ausente del modelo. La hipótesis de ingreso permanente de Milton Friedman, que afirma que el consumo permanente es proporcional al ingreso permanente, es otro caso en el cual el modelo de intercepto cero puede ser apropiado como también en la teoría del análisis de costos, en donde se postula que la variable costo de producción es proporcional al producto; y en algunas versiones de la teoría monetarista que afirman que la tasa de crecimiento de los precios (es decir, la tasa de inflación) es proporcional a la tasa de crecimiento de la oferta monetaria.

Regresión a través del origen (III)

Para fines empíricos, (6.1.2) es expresado frecuentemente así.

Este último modelo es conocido como el Modelo del Mercado. Si el MPAC se mantiene, se espera que αi sea cero.

Obsérvese que en (6.1.4) la variable dependiente, Y, es (Ri - rj) y la variable explicativa, X, es βi, el coeficiente de volatilidad y no(Rm- rj). Por consiguiente, para realizar la regresión (6.1.4), se debe estimar primero βi, el cual usualmente se obtiene de la línea característica, como se describió en un anterior ejercicio.

Regresión a través del origen (II)

Si los mercados de capitales trabajan eficientemente, entonces el MPAC postula que el premio esperado del riesgo del título -valor (=ERi - rj) es igual a ese coeficiente β del título valor multiplicado por el premio esperado del riesgo del mercado (=ERm - rj). Si el MPAC se mantiene, tenemos la situación de la fig.6.1. La línea que aparece en la figura es conocida como línea del mercado de titulos-valores (LMV).

Regresión a través del origen (I)

Hay ocasiones en las cuales la FRP de dos variables adquiere la siguiente forma:

Yi = β2Xi + ui

En este modelo el término intercepto está ausente o es cero, lo cual explica el nombre regresión a través del origen.

A manera de ilustración, considérese el Modelo de Fijación de Precios de Activos de Capital (MPAC) de la teoría moderna de portafolio la cual, en su forma riesgo-premio, puede expresarse como:

(ERi - rf) = βi(ERm - rj)

donde ERi = tasa esperada de retorno sobre el título-valor i.

          ERm = tasa esperada de retorno sobre el portaforlio del mercado como aparece representada por ejemplo, por el índice compuesto de acciones S&P500

rj = tasa de retorno libre de riesgo, por ejemplo, el retorno de los bonos del Tesoro a 90 días

βi = el coeficiente Beta, una medida de riesgo sistemático, es decir, riesgo que no puede ser eliminado a través de diversificación. También, una medida del grado es el cual la iésima tasa de retorno del título-valor se mueve con el mercado. Un βi > implica un título-valor volátil o riesgoso, mientras que βi < 1 es un título-valor seguro.

(Nota: No confunda esta βi con el coeficiente de la pendiente de la regresión con dos variables, β2)