Ejemplo ilustrativo: gastos de consumo en relación con el ingreso y la riqueza (IV)

El ejemplo muestra en forma dramática lo que hace la multicolinealidad. El hecho de que la prueba F sea significativa pero los valores de t de X3 y X3 no sean significativos individualmente significa que las dos variables están altamente correlacionadas que es imposible aislara el impacto individual del ingreso o de la riqueza sobre el consumo. De hecho, si se efectúa la regresión de X3 sobre X2 se obtiene:

Ejemplo ilustrativo: gastos de consumo en relación con el ingreso y la riqueza (III)

Es interesante observar este resultado desde un punto de vista geométrico (Véase figura 10.3) Con base en la regresión (10.6.1), se han establecido intervalos de confianza individuales al 95%  de confianza para β2 y β3 siguiendo el procedimiento usual estudiado en el capítulo 8. Como lo muestran estos intervalos, cada uno de ellos, en forma individual, incluye el valor de cero. Por tanto, individualmente se puede aceptar la hipótesis de que las dos pendientes parciales son cero. Pero cuando se establece el intervalo de confianza conjunta para probar la hipótesis de que β2= β3 = 0, esa hipótesis no puede aceptarse puesto que el intervalo de confianza conjunto, en realidad una elipse, no incluye el origen. Como ya se reiteró anteriormente, cuando la colinealidad es alta, no son confiables las pruebas sobre los regresores individuales; en tales casos, la prueba F globlal es la que mostrará si Y está relacionada con los diversos regresores.

Ejemplo ilustrativo: gastos de consumo en relación con el ingreso y la riqueza (II)

La regresión (10.6.1) muestra que el ingreso  la riqueza explican conjuntamente alrededor del 96% de la variación de los gastos de consumo. A pesar de esto, nunguno de los coeficientes de las pendientes es estadísticamente significativo de manera individual. Además, no solamente la variable riqueza es estadísticamente no significativa sino que también tiene el signo incorrecto. A priori, se debería esperar una relación positiva entre el consumo y la riqueza. A pesar de que β2 y β3 no son significativos individualmente en términos estadísticos, si se prueba la hipótesis de que β2= β3 = 0 simultáneamente, esta hipótesis puede ser rechazada como lo demuestra la tabla 10.6. Bajo el supuesto usual, se obtiene.

Ejemplo ilustrativo: gastos de consumo en relación con el ingreso y la riqueza (I)

Para ilustrar los diferentes puntos mencionados hasta ahora, se reconsidera el ejemplo consumo-ingreso del capítulo 3. En la tabla 10.5 se ha reproducio la información de la tabla  3.2 agregándole datos sobre la riqueza del consumidor. Si se supone que el gasto de consumo está relacionado linealmente con el ingreso y la riqueza, entonces, con base en la tabla 10.5, se obtiene la siguiente regresión.

Consecuencias del análisis basado en muestras pequeñas

En una parodia de las consecuencias de multicolinealidad y de manera informal, Goldberger cita consecuencias exactamente similares del análisis basado en muestras pequeñas, es decir, de la micronumerosidad. Se aconseja al lector consultar el análisis de Goldberger para ver la razón por la cual él da la misma importancia a la micronumerosidad que a la multicolinealidad.

Sensibilidad de los estimadores MCO y sus errores estándar a pequeñas cambios en la información (III)

Como resultado de un ligero cambio en los datos, se ve que β2, que era estadísticamente significativo anteriormente, a un nivel de significancia del 10%, deja ahora de serlo aún a ese nivel. Obsérvese también que en (10.5.4), la cov(β2,β3) = - 0.00868 mientras que en (10.5.5) ésta es -0.0282, un aumento superior a tres veces su valor inicial. Todos estos cambios se pueden atribuir a un aumento en la multicolinealidad: En (10.5.4), r23 = 0.5523, mientras que en (10.5.5) este coeficiente es de 0.8285. En forma similar, los errores estándar de β2 y β3 aumentan entre las dos regresiones, un síntoma corriente de la colinealidad.

Se mencionó anteriormente que en presencia de una alta colinealidad, no se pueden estimar los coeficientes de regresión individuales en forma precisa pero que las combinaciones lineales de estos coeficientes se pueden estimar más precisamente. Este hecho se confirma con las regresiones (10.5.4) y (10.5.5). En la primera regresión, la suma de los dos coeficientes parciales de las pendientes es 0.4493, en tanto que en la segunda regresión, dicha suma es 0.4284, prácticamente la misma. No sólo eso,sus errores estándar son prácticamente los mismos, 0.1550 vs 0.1823. Obsérvese, sin embargo, que el coeficiente de X3 ha cambiado en forma notoria, pasando de 0.003 a 0.027.

Sensibilidad de los estimadores MCO y sus errores estándar a pequeñas cambios en la información (II)

La regresión (10.5.4) muestra que ninguno de los coeficientes de regresión es individualmente significativo a los niveles de significancia convencionales del 1 o del 5%, a pesar de que β2 sea significativo al nivel del 10% con base en la prueba t de una cola.

Ahora, considérese la tabla 10.4. La única diferencia entre las tablas 10.3 y 10.4 es que el tercer y cuarto valores de X3 han sido intercambiados. Utilizando la información de la tabla 10.4, se obtiene ahora.