Prueba de J de Davidson-Mackinnon (X)

Ahora, suponiendo que el modelo B es la hipótesis planteada y que el modelo A es la hipótesis alterna y siguiendo exactamente el mismo procedimiento de antes, se obtienen los siguientes resultados:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (IX)

Pero la sección de (14.4.10) en lugar de (14.4.9) puede no ser apropiada porque, para fines predictivos, no hay mucha diferencia en los dos valores estimados de R².

Para aplicar la prueba J, suponga que se asume el modelo A como la hipótesis nula, es decir, como el modelo planteado y el modelo B como la hipótesis alterna. Ahora, siguiendo los pasos de la prueba J analizados anteriormente, se utilizan los valores de GPCP estimados del modelo (14.4.10) como regresor adicional en el modelo A, con el siguiente resultado:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (VIII)

Los resultados de estimar estos modelos separadamente fueron los siguientes:

Si se fuera a escoger entre estos dos modelos con base en el enfoque de discriminación utilizando, por ejemplo, el criterio del R² más alto, se puede escoger (14.4.10); además, en (14.4.10), ambos variables parecen ser individualmente significativas estadísticamente, mientras que en (14.4.9) solamente el IPDP del período en curso es estadísticamente significativo (pero tenga cuidado con el problema de colinealidad).

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (VII)

El modelo A plantea que el GPCP depende del IPDP en el período actual y anterior; este modelo es un ejemplo de lo que se conoce como modelo de rezago distribuido. El modelo B postula que el GPCP depende del IPDP actual lo mismo que del GPCP del período de tiempo anterior; este  modelo representa lo que se conoce como modelo autorregresivo. Se introduce este valor rezagado de GPCP en este modelo para reflejar la inercia o persistencia de hábitos.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (VI)

Un ejemplo ilustrativo

Para ilustrar la prueba J, considérese la información dad en la tabla 14.1. En esta tabla se presenta información sobre el gasto de consumo personal per cápida (GPCP) e ingreso personal disponible per cápita (IPDP), ambos medidos en dólares de 1987, para los EStados Unidos durante el período 1970-1991. Ahora, considérense los siguientes modelos rivales:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (V)

Otro problema con la prueba J es que cuando se utiliza el estadístico t para verificar la significancia de la variable Y estimada en los modelos (14.4.5) y (14.4.6), el estadístico t tiene la distribución normal estándar sólo asintóticamente, es decir, en muestras grandes. Pro consiguiente, la prueba J puede no ser muy potente (en el sentido estadístico) en pequeñas muestras porque ésta tiende a rechazar la hipótesis o el modelo verdadero más frecuentemente de lo que debería ser.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (IV)

Aunque, intuitivamente, la prueba J es atractiva, ésta tiene algunos problemas. Puesto que las pruebas dadas en (14.4.5) y (14.4.6) se realizan independientemente, se tienen los siguientes resultados posibles:

Como lo muestra esta tabla, no será posible obtener una respuesta clara si el procedimiento de prueba J conduce a la aceptación o al rechazo de ambos modelos. En caso de que los dos modelos sean rechazados, ningún modelo ayuda a explicar el comportamiento de Y. En forma similar, si ambos modelos son aceptados, como lo afirma Kmenta, "la información aparentemente no es lo suficientemente  rica para discriminar entre las dos hipótesis [modelos]"