Predicción con regresión múltiple (III)

El intervalo de confianza 100(1-α) equivalente para la predicción individual, Y1971 es

Recuérdese que los g de l para el valor t es (n-3) para el modelo de tres variables, (n-4) para el modelo de cuatro variables, o (n-k) para el modelo de k variables.

Predicción con regresión múltiple (II)

Así, para 1971 el GCP es alrededor de US$509 mil millones. Por las razones anotadas en la sección  5.1, US$509 mil millones es también el valor de la predicción individual, para 1971, Y1971.

Sin embargo, las varianzas de Y1971 y Y1971 son diferentes. De las fórmulas  dadas en el capítulo  9, puede mostrarse que:

donde se(Y1971) se obtiene de (8.10.3) y donde se supone que esta predicción está basada en los valores dados de X2 y X3 para 1971. Sobra decir, el mismo procedimiento puede repetirse para cualquier otro valor de X2 y X3.

Predicción con regresión múltiple (I)

En la sección 5.10 se mostró cómo el modelo estimado de regresión con dos variables puede ser utilizada para (a) predicción de la media, es decir, predicción puntual sobre la función de regresión poblacional (FRP) y también para (b) predicción individual, es decir, predicción de un valor individual de Y, dado el valor del regresor X=Xo, donde Xo es el valor numérico específico de X.

La regresión múltiple estimada también puede ser utilizada para fines similares y el procedimiento para hacerlo es una extensión directa del caso de dos variables, con excepción de las fórmulas para estimar la varianza y el error estándar de los valores de pronósotico [comparables a (5.10.2) y (5.10.6) de lo del modelo con dos variables] las cuales son más bien complejas y se manejan mejor mediante los métodos matriciales estudiados en el capítulo 9. (Véase sección 9.9).

Para ilustrar el mecanismo de la predicción media e individual, se recuerda la regresión anteriormente estimada del consumo personal para los Estados Unidos durante el periodo 1956-1970.

Ejemplo Demanda de Rosas (III)

Supóngase que se acelera el proceso y se supone que el verdadero modelo es log-lineal. Siguiendo el Paso VI de la prueba MWD, se obtienen los siguientes resultados de la regresión:

El coeficiente de Z2 es estadísticamente significativo a un nivel de significancia del 12% (el valor p es 0.1225). Por consiguiente, se puede rechazar la hipótesis de que el verdadero modelo es log-lineal a este nivel de significancia. Por supuesto, si se utilizan los niveles de significancia converncionales de 1 y 5% entonces no se puede rechazar la hipótesis de que el verdadero modelo es log-lineal. Como lo muestra este complejo, es muy posible que en una situación dada no se puedan rechazar una u otra de las especificaciones.

Ejemplo Demanda de Rosas (II)

Como lo indican estos ressultados, ambos modelos, el lineal  el log-lineal parecen reajustarse a la información razonablemente bien: los parámetros tienen los signos esperados y los valores t y R² son estadísticamente significativos.

Para decidir entre estos modelos con base en la prueba MWD, se prueba primero la hipótesis de que el modelo verdadero es líneal. Luego, siguiendo el Paso IV de la prueba, se obtiene la siguiente resgresión:

Puesto que el coeficiente Z1 no es es estadísticamente significativo (el valor p del t estimado es 0.98), no se rechaza la hipótesis de que el verdadero modelo es lineal.

Ejemplo Demanda de Rosas (I)

Refiérase el ejercicio 7.20  en el cual se ha presentado la información sobre la demanda de rosas en el área metropolitana  de Detroit durante el período 1971-II a 1975-II. Para fines ilustrativos se considerará la demanda de rosas como función solamente de los precios de las rosas y de los claveles, dejando por fuera la variable ingreso por el momento.  Ahora se considerarán los siguientes modelos:

Prueba de la forma funcional de la Regresión: Selección entre modelos de regresión lineal y log-lineal (II)

Paso I: Estímese el modelo lineal y obténgase los valores Y estimados. Llámelos Yf(es decir, Y).
Paso II: Estímese el modelo log-lineal y obténgase los valores ln Y estimados; denomínense ln f (es decir, lnY)
Paso III: Obténgase Z1 = (ln Yf - ln f).
Paso IV: Efectúese la regresión de Y sobre las X y Z1 obtenida en el Paso III. Rechácese Ho si el coeficiente  de Z1 es estadísticamente significativo mediante la prueba t usual.
Paso V: Obténgase Z2 = (antilog de ln f - Yf)
Paso VI: Efectúese la regresión del logaritmo de Y sobre los logaritmos de las X y Z2. Rechácese H1 si el coeficiente  de Z2 es estadísticamente significativo mediante la prueba t usual.

Aun cuando la prueba MWD parece compleja, la lógica de la prueba es bastante simple. Si el modelo lineal es en realidad el modelo correcto, la variable construida Z1 no debería ser estadísticamente significativa en el paso IV, ya que en ese caso los valores Y estimados del modelo lineal y aquellos estimados del modelo log-lineal (después de obtener sus valores antilog para efectos comparativos) no deberían ser diferentes. El mismo comentario se aplica a la hipótesis alternativa H1.