Regresión a través del origen (III)

Para fines empíricos, (6.1.2) es expresado frecuentemente así.

Este último modelo es conocido como el Modelo del Mercado. Si el MPAC se mantiene, se espera que αi sea cero.

Obsérvese que en (6.1.4) la variable dependiente, Y, es (Ri - rj) y la variable explicativa, X, es βi, el coeficiente de volatilidad y no(Rm- rj). Por consiguiente, para realizar la regresión (6.1.4), se debe estimar primero βi, el cual usualmente se obtiene de la línea característica, como se describió en un anterior ejercicio.

Regresión a través del origen (II)

Si los mercados de capitales trabajan eficientemente, entonces el MPAC postula que el premio esperado del riesgo del título -valor (=ERi - rj) es igual a ese coeficiente β del título valor multiplicado por el premio esperado del riesgo del mercado (=ERm - rj). Si el MPAC se mantiene, tenemos la situación de la fig.6.1. La línea que aparece en la figura es conocida como línea del mercado de titulos-valores (LMV).

Regresión a través del origen (I)

Hay ocasiones en las cuales la FRP de dos variables adquiere la siguiente forma:

Yi = β2Xi + ui

En este modelo el término intercepto está ausente o es cero, lo cual explica el nombre regresión a través del origen.

A manera de ilustración, considérese el Modelo de Fijación de Precios de Activos de Capital (MPAC) de la teoría moderna de portafolio la cual, en su forma riesgo-premio, puede expresarse como:

(ERi - rf) = βi(ERm - rj)

donde ERi = tasa esperada de retorno sobre el título-valor i.

          ERm = tasa esperada de retorno sobre el portaforlio del mercado como aparece representada por ejemplo, por el índice compuesto de acciones S&P500

rj = tasa de retorno libre de riesgo, por ejemplo, el retorno de los bonos del Tesoro a 90 días

βi = el coeficiente Beta, una medida de riesgo sistemático, es decir, riesgo que no puede ser eliminado a través de diversificación. También, una medida del grado es el cual la iésima tasa de retorno del título-valor se mueve con el mercado. Un βi > implica un título-valor volátil o riesgoso, mientras que βi < 1 es un título-valor seguro.

(Nota: No confunda esta βi con el coeficiente de la pendiente de la regresión con dos variables, β2)

Extensiones del modelo de regresión lineal de dos variables

Algunos aspectos del análisis de regresión lineal pueden introducirse fácilmente dentro del marco del modelo de regresión lineal con dos variables que se ha estado analizando hasta ahora. Primero consideraremos el caso de regresión a través del origen, es decir, una situación en la cual el término del intercepto, β1 está ausente del modelo. Luego se considerará el tema de las unidades de medición, es decir, la forma como han sido medidas X y Y y la forma como un cambio en las unidades de medición afecta los resultados de la regresión. Finalmente, se verá el tema de la forma funcional del modelo de regresión lineal. Hasta el momento, se han considerado modelos que son lineales en los parámetros al igual que en las variables. Pero recuérdese que la teoría de regresión desarrollada en los capítulos anteriores solamente exige linealidad en los parámetros; las variables pueden entrar linealmente al modelo o pueden no hacerlo. Al considerar modelos que son lineales en los parámetros pero no necesariamente en las variables, se demuestra en este capítulo la forma como el modelo de dos variables puede tratarse a través de algunos problemas prácticos de interés.

Una vez haya sido entendidas las ideas introducidas en este capítulo, su extensión a los modelos de regresión múltiple es bastante sencilla, como se vera mas adelante.

Otras prueba sobre la bondad del modelo

Recuérdese que el MCRLN tiene muchos otros supuestos adicionales al de la normalidad del término de error. A medida que se desarrolle la teoría econométrica, se considerarán diversas pruebas de la bondad del modelo. Hasta entonces, recuérdese que nuestra elaboración de modelos de regresión está basado en diversos supuestos simplificadores que pueden no mantenerse en todos los casos.

Prueba de normalidad de Jarque-Bera (JB)

La prueba de JB de normalidad es una prueba asintótica, o de grandes muestras. También está basada en los residuos MCO. Esta prueba calcula primero la asimetría y los curtosis o apuntamiento de los residuos MCO y utiliza el siguiente estadístico de prueba:

donde A representa la asimetría y K representa la curtosis o apuntamiento.

Puesto que para una distribución normal el valor de la asimetría es cero y el valor de la curtosis es 3, en (5.12.2)(K-3) representa la curtosis excedente. Bajo la hipótesis nula de que los residuos están normalmente distribuidos, Jarque y Bera demostraron que asintóticamente (es, decir en muestras grandes) el estadístico JB dado en (5.12.2) sigue una distribución Ji cuadrado con 2 g de l. Si el valor p del estadístico ji cuadrado calculado en una aplicación es suficientemente pequeño, se puede rechazar la hipótesis de que los residuos están normalmente distribuidos. Pero si el valor p es razonablemente alto, no se rechaza el supuesto de normalidad.

En el ejemplo consumo-ingreso se encuentra (utilizando los paquetes de SHAZAM, TSP, ET) ek valor JB de 0.7769. Si la muestra fuera razonablemente grande, el valor p de obtener tal valor ji cuadrado para 2 g de l sería alrededor de 0.6781, una probabilidad bastante grande. Por consiguiente, asintóticamente, no se rechaza el supuesto de normalidad.

Prueba de Bondad de Ajuste Ji Cuadrado(X²) (IV)

Volviendo al ejemplo de consumo-ingreso, como se mostró en la tabla anterior, vemos que el valor de X² es alrededor de 0.92. Aunque el tamaño de la muestra es más bien pequeño, solamente para ilustrar el procedimiento aplicaremos la prueba Ji cuadrado. En este ejemplo se tienen seis clases. Parecería que los grados de libertad fueran (6-1) = 5. Pero, como se anotó en la nota de pie de página 21, perdimos 3 g de l más, pues se tuvieron que estimar β1 y β2 antes de poder calcular los residuos ûi y 1 porque se utilizan los datos para estimar la desviación estándar de los residuos. Ahora para 2 g de l, el valor p de obtener un Ji cuadrado mayor o igual que 0.925 es alrededor de 0.63. Puesto que esta probabilidad es bastante, alta la diferencia entre los valores observado y esperado de lso residuos no es lo suficientemente fuerte para rechazar el supuesto de normalidad.

A propósito, antes de aplicar la prueba Ji cuadrado de la forma recién descrita, se puede, en forma sencilla, graficar los residuos observados dados en la tabla anterior en la forma de histogramas como aparece en la figura 5.7. Como lo muestra esta figura, los residuales observados (medidos en términos de unidades de desviación estándar desde cero) parecen aproximarse a la distribución normal. Muy frecuentemente, una gráfica como ésta es una buena manera de aprender informalmente sobre la forma probable de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.