Especificación estocástica de la FRP

 En la figura 2.1 es claro que, a medida que aumenta el ingreso familiar, el consumo familiar, en promedio, también aumenta. Pero, ¿qué sucede con el consumo de una familia en relación con su nivel de ingreso (fijo)? Es obvio, por la tabla 2.1 y la figura 2.1, que el consumo de una familia en particular no necesariamente aumenta a medida que lo hace el nivel de ingreso. Por ejemplo, en la tabla 2.1 se observa que en el nivel de ingreso de 100 dólares existe una familia cuyo consumo, de 65, es menor que el consumo de dos familias cuyo ingreso semanal es sólo de 80 dólares. Sin embargo, hay que advertir que el consumo promedio de las familias con ingreso semanal de 100 es mayor que el consumo promedio de las familias con un ingreso semanal de 80 dólares (77 y 65).

Entonces, ¿qué se puede decir sobre la relación entre el consumo de una familia y un nivel determinado de ingresos? En la figura 2.1 se ve que, con el nivel de ingresos de $X_i$, el consumo de una familia en particular se agrupa alrededor del consumo promedio de todas las familias en ese nivel de 

$X_i$, es decir, alrededor de su esperanza condicional. Por consiguiente, expresamos la desviación de un $Y_i$ en particular alrededor de su valor esperado de la manera siguiente:

$$u_i=Y_i-E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)$$

o

$$\begin{array}{cccc}& Y_i=E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)+u_i& & \text{(2.4.1)}\end{array}$$

donde la desviación $u_i$ es una variable aleatoria no observable que adopta valores positivos o negativos. Técnicamente, $u_i$ se conoce como perturbación estocástica o término de error estocástico.

¿Cómo se interpreta la ecuación (2.4.1)? Se puede decir que el gasto de una familia en particular, según su nivel de ingreso, se expresa como la suma de dos componentes:

1. $E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)$, que es simplemente la media del consumo de todas las familias con el mismo nivel de ingreso. Este componente se conoce como componente sistemático, o determinista, y

2. $u_i$ que es el componente aleatorio, o no sistemático. Examinaremos en breve la naturaleza del término de perturbación estocástica, pero por el momento supondremos que es un término que sustituye o representa a todas las variables omitidas o ignoradas que puedan afectar a $Y$ pero que no se incluyen (o no pueden incluirse) en el modelo de regresión.

Si suponemos que $E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)$ es lineal en $X_i$, como en (2.2.2), la ecuación (2.4.1) se escribe como

$$Y_i=E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)+u_i$$$$\begin{array}{cccc}& ={\beta }_1+{\beta }_2{X}_i+u_i& & \text{(2.4.2)}\end{array}$$

La ecuación (2.4.2) plantea que el consumo de una familia se relaciona linealmente con su ingreso más el término de perturbación. Así, el consumo individual, con $X=80$ (ver la tabla 2.1), se expresa como

$$Y_1=55={\beta }_1+{\beta }_2(80)+u_1$$$$Y_2=60={\beta }_1+{\beta }_2(80)+u_2$$$$Y_3=65={\beta }_1+{\beta }_2(80)+u_3$$$$Y_4=70={\beta }_1+{\beta }_2(80)+u_4$$$$Y_5=75={\beta }_1+{\beta }_2(80)+u_5$$

Ahora, si tomamos el valor esperado de (2.4.1) en ambos lados, obtenemos

$$E(Y_i\mathrm{\mid }{X}_i)=E[E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)]+E(u_i\mathrm{\mid }{X}_i)$$$$=E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)+E(u_i\mathrm{\mid }{X}_i)$$

donde se aprovecha que el valor esperado de una constante sea la constante misma.${}^8$ Observe con atención que en la ecuación (2.4.4) se tomó la esperanza condicional, condicionada a las $X$ dadas.

Como $E(Y_i\mathrm{\mid }{X}_i)$ es lo mismo que $E(Y\mathrm{\mid }{X}_i)$, la ecuación (2.4.4) implica que

$$\begin{array}{cccc}& E(u_i\mathrm{\mid }{X}_i)=0& & \text{(2.4.5)}\end{array}$$

Así, el supuesto de que la línea de regresión pasa a través de las medias condicionales de $Y$ (ver la figura 2.2) implica que los valores de la media condicional de $u_i$ (condicionados al valor dado de $X$) son cero.

De la exposición anterior es claro que (2.2.2) y (2.4.2) son formas equivalentes si $E(u_i\mathrm{\mid }{X}_i)=0.9$. Pero la especificación estocástica (2.4.2) tiene la ventaja que muestra claramente otras variables, además del ingreso, que afectan el consumo, y que el consumo de una familia no se explica en su totalidad sólo por la(s) variable(s) en el modelo de regresión.