Prueba de Hipótesis sobre coeficientes individuales de regresión parcial (I)

Bajo el supuesto de que ui ~ N(0,σ²), entonces, como se anotó en la sección 8.1, se puede utilizar la prueba t para probar una hipótesis sobre cualquier coeficiente de regresión parcial individual. Para ilustrar el procedimiento, considérese el ejemplo númerico. Se postula que

H0: β2 = 0 y H1: β2 ≠ 0

La hipótesis nula establece que, manteniendo X3 constante, el ingreso personal disponible no tiene influencia (lineal) sobre el gasto personal de consumo. Para probar la hipótesis nula, se utiliza la prueba t dada en (8.1.2). Siguiendo el capítulo 5, si el valor de t calculado excede el valor de t crítico al nivel de significancia escogido, podemos rechazar la hipótesis ; de lo contrario, no se puede hacer. Para el ejemplo, utilizando (8.1.2) y advirtiendo que β2 = 0 bajo la hipótesis nula, se obtiene.

t = (0.7266/0.0487) = 14.9060 (8.4.1)

Si se supone α = 0.05, tα/2 =2.179 para 12 g de l. [Nota: Se está utilizando la prueba t de dos colas. [(Por que?)] Puesto que 14.9060, valor de t calculado, excede ampliamente al valor de t crítico 2.179, se puede rechazar la hipótesis nula y decir que β2 es estadísticamente significativo, es decir, significativamente diferente de cero. A propósito, como lo índica (8.2.2), el valor p de obtener un valor t mayor o igual a 14.9060 es en extremo bajo. Gráficamente, la situación se muestra en la figura 8.1.

Prueba de hipótesis en regresión múltiple : Comentarios generales

Una vez fuera del mundo simple del modelo de regresión lineal con dos variables, la prueba de hipótesis adquiere diversas e interesantes formas, tales como las siguientes:

1. Prueba de hipótesis sobre un coeficiente de regesión parcial individual (sección 8.4)
2. Prueba de significancia global del modelo de regresión múltiple estimado, es decir, encontrar si todos los coeficientes de pendiente parciales son iguales a cero simultáneamente (sección 8.5)
3. Prueba de que dos o más coeficientes son iguales a otro (sección 8.6)
4. Prueba de que los coeficientes de regresión parcial satisfacen ciertas restricciones (sección 8.7)
5. Prueba de la estabilidad del modelo de regresión estimado a través del tiempo o en diferentes unidades de corte transversal (sección 8.8)
6. Prueba sobre la forma funcional de los modelos de regresión (sección 8.9)

Puesto que el uso de este tipo de pruebas es tan frecuente en el análisis empírico, dedicamos una sección a cada tipo.

Relación entre el consumo personal de los Estados Unidos y el Ingreso personal disponible, 1956-1970 (VII)

La interpretación de la ecuación (8.2.2)  es la siguiente: Si X2 y X3 se fijan en cero, el valor promedio o la media del gasto personal de consumo (en donde se refleja tal vez la influencia de todas las variables omitidas) es estimado en aproximadamente 53.16 mil millones de dólares de 1958. como se previno anteriormente, en la mayoría de los casos el término del intercepto no tiene significado económico. El coeficiente de regresión parcial 0.7266 significa que, si se mantienen constantes las demás variables (x3 en el presente caso), a medida que aumenta el ingreso personal, es decir, en US$1, el gasto medio de consumo aumenta en cerca de 73 centavos. Por el mismo procedimiento, si X2 se mantiene constante, se estima que el gasto personal de consumo promedio aumente a la tasa de 2.7 mil millones de dólares por año. El valor R² de 0.9988 indica que las dos variables explicativas explican cerca del 99,9% de la variación, en el gasto personal de consumo en los EStados Unidos durante el período 1956-1970. El R² ajustado indica que, después de considera los g de 1, X2 y X3 aún explican cerca del 99,8% de la variación en Y.

Relación entre el consumo personal de los Estados Unidos y el Ingreso personal disponible, 1956-1970 (VI)

Como prueba del modelo (8.2.1), se obtuvo la información presentada en la tabla 8.1. La línea de regresión estimada es la siguiente:

donde, al seguir el formato de la ecuación (5.11.1), las cifras en el primer grupo de parántesis son los errores estándar estimados, las del segundo grupo son los valores t, bajo la hipótesis nula de que el coeficiente poblacional relevante tiene un valor de cero y las del tercer grupo son los valores p estimados.

Relación entre el consumo personal de los Estados Unidos y el Ingreso personal disponible, 1956-1970 (V)

Una nota de precaución

El procedimiento recién descrito para limpiar una serie de tiempo de la tendencia, aun cuando en el trabajo aplicado es comúnmente utilizado, ha venido a ser objeto de análisis crítico por parte de los teorícos del análisis de series de tiempo. Como lo analizaremos en los capítulos sobre análisis de series de tiempo, el procedimiento de eliminación de tendencias recién descrito en (3) puede ser apropiado si una serie de tiempo presenta una tendencia determinística y no a una tendencia estocástica (o variable). En estos capítulos, se delimitarán los métodos utilizados, para determinar si una serie de tiempo particular presenta una tendencia determinística o estocástica.

Relación entre el consumo personal de los Estados Unidos y el Ingreso personal disponible, 1956-1970 (IV)

3. Otra razón para introducir la variable de tendencia es para evitar el problema de correlación espuria. La información relacionada con series de tiempo económicas, tales como el GPC y el IPD en la regresión (8.2.1), frecuentemente tienden a moverse en la misma dirección, reflejando una propensión creciente o decreciente. Por consiguiente, si se fuera a efectuar la regresión e GPC sobre IPD y obtener un valor R² elevado, este valor elevado puede no reflejar la verdadera asociación entre GPS e IP; puede reflejar simplemente la inclinación común  presente en ellas. Para evitar dicha asociación espuria entre series de tiempo económicas se puede proceder en algunas de las dos siguientes maneras: Suponiendo que las series de tiempo presentan una tendencia lineal, se puede introducir el tiempo, o variable de tendencia explícitamente en el modelo, como en la ecuación (8.2.1)^2. Como resultado, β2 en (8.2.1) refleja ahora la verdadera asociación entre GPC e IPD, es decir, la asociación neta del efecto de tiempo (lineal) recuérdese la definición del coeficiente de regresión parcial).

Alternativamente, se puede eliminar el efecto de tendencia de Y (GPC) y de X2 (IPD) y efectuar la regresión de sobre Y y X2 libres de tendencia. Suponiendo nuevamente una tendencia de tiempo lineal, la eliminación del efecto de tendencia puede realizarse mediante el procedimiento de tres etapas analizado el capitulo 7. Primero se efectúa la regresión de Y sobre X3(tiempo) y se obtienen los residuos de esta regresión, û1t. Segundo, se efectúa la regresión de X2 sobre X3 y se obtienen los residuos de esta regresión, û2t. Finalmente, se efectúa la resgresión de û1t sobre û2t, los cuales están libres de la influencia (lineal) del tiempo. El coeficiente de pendiente en esta regresión reflejara la verdadera asociación entre Y y X2 y deberá por consiguiente ser igual a β2 (véase el ejercicio 8.7) Desde el punto de vista computacional, el primer método es más económico que el último.

Relación entre el consumo personal de los Estados Unidos y el Ingreso personal disponible, 1956-1970 (III)

2. Muchas veces la variable tendencia es un sustituto de una variable básica que afecta Y. Pero esta variable básica puede no ser directamente observable o, de serlo, puede suceder que su información no esté disponible o sea díficil de obtener. Por ejemplo, en la teoría de producción la tecnología es una de estas variables. Se puede sentir el impacto de la tecnología, pero no saber cómo medirla. Por consiguiente, puede ser "conveniente" suponer que la tecnología es alguna función del tiempo medido cronólogicamente. En algunas situaciones puede creerse que una variable, que afecta a Y, y que puede ser medida, está tan estrechamente relacionada con el tiempo que es más fácil (al menos en términos de costo), introducir la variable tiempo que la misma variable básica. Por ejemplo, en (8.2.1), el tiempo X3 puede representar muy bien la población. El GPC agregado aumenta a medida que la población aumenta y la población puede estar muy bien relacionada (linealmente) de alguna forma con el tiempo.