Extensiones del modelo de regresión lineal de dos variables

Algunos aspectos del análisis de regresión lineal pueden introducirse fácilmente dentro del marco del modelo de regresión lineal con dos variables que se ha estado analizando hasta ahora. Primero consideraremos el caso de regresión a través del origen, es decir, una situación en la cual el término del intercepto, β1 está ausente del modelo. Luego se considerará el tema de las unidades de medición, es decir, la forma como han sido medidas X y Y y la forma como un cambio en las unidades de medición afecta los resultados de la regresión. Finalmente, se verá el tema de la forma funcional del modelo de regresión lineal. Hasta el momento, se han considerado modelos que son lineales en los parámetros al igual que en las variables. Pero recuérdese que la teoría de regresión desarrollada en los capítulos anteriores solamente exige linealidad en los parámetros; las variables pueden entrar linealmente al modelo o pueden no hacerlo. Al considerar modelos que son lineales en los parámetros pero no necesariamente en las variables, se demuestra en este capítulo la forma como el modelo de dos variables puede tratarse a través de algunos problemas prácticos de interés.

Una vez haya sido entendidas las ideas introducidas en este capítulo, su extensión a los modelos de regresión múltiple es bastante sencilla, como se vera mas adelante.

Otras prueba sobre la bondad del modelo

Recuérdese que el MCRLN tiene muchos otros supuestos adicionales al de la normalidad del término de error. A medida que se desarrolle la teoría econométrica, se considerarán diversas pruebas de la bondad del modelo. Hasta entonces, recuérdese que nuestra elaboración de modelos de regresión está basado en diversos supuestos simplificadores que pueden no mantenerse en todos los casos.

Prueba de normalidad de Jarque-Bera (JB)

La prueba de JB de normalidad es una prueba asintótica, o de grandes muestras. También está basada en los residuos MCO. Esta prueba calcula primero la asimetría y los curtosis o apuntamiento de los residuos MCO y utiliza el siguiente estadístico de prueba:

donde A representa la asimetría y K representa la curtosis o apuntamiento.

Puesto que para una distribución normal el valor de la asimetría es cero y el valor de la curtosis es 3, en (5.12.2)(K-3) representa la curtosis excedente. Bajo la hipótesis nula de que los residuos están normalmente distribuidos, Jarque y Bera demostraron que asintóticamente (es, decir en muestras grandes) el estadístico JB dado en (5.12.2) sigue una distribución Ji cuadrado con 2 g de l. Si el valor p del estadístico ji cuadrado calculado en una aplicación es suficientemente pequeño, se puede rechazar la hipótesis de que los residuos están normalmente distribuidos. Pero si el valor p es razonablemente alto, no se rechaza el supuesto de normalidad.

En el ejemplo consumo-ingreso se encuentra (utilizando los paquetes de SHAZAM, TSP, ET) ek valor JB de 0.7769. Si la muestra fuera razonablemente grande, el valor p de obtener tal valor ji cuadrado para 2 g de l sería alrededor de 0.6781, una probabilidad bastante grande. Por consiguiente, asintóticamente, no se rechaza el supuesto de normalidad.

Prueba de Bondad de Ajuste Ji Cuadrado(X²) (IV)

Volviendo al ejemplo de consumo-ingreso, como se mostró en la tabla anterior, vemos que el valor de X² es alrededor de 0.92. Aunque el tamaño de la muestra es más bien pequeño, solamente para ilustrar el procedimiento aplicaremos la prueba Ji cuadrado. En este ejemplo se tienen seis clases. Parecería que los grados de libertad fueran (6-1) = 5. Pero, como se anotó en la nota de pie de página 21, perdimos 3 g de l más, pues se tuvieron que estimar β1 y β2 antes de poder calcular los residuos ûi y 1 porque se utilizan los datos para estimar la desviación estándar de los residuos. Ahora para 2 g de l, el valor p de obtener un Ji cuadrado mayor o igual que 0.925 es alrededor de 0.63. Puesto que esta probabilidad es bastante, alta la diferencia entre los valores observado y esperado de lso residuos no es lo suficientemente fuerte para rechazar el supuesto de normalidad.

A propósito, antes de aplicar la prueba Ji cuadrado de la forma recién descrita, se puede, en forma sencilla, graficar los residuos observados dados en la tabla anterior en la forma de histogramas como aparece en la figura 5.7. Como lo muestra esta figura, los residuales observados (medidos en términos de unidades de desviación estándar desde cero) parecen aproximarse a la distribución normal. Muy frecuentemente, una gráfica como ésta es una buena manera de aprender informalmente sobre la forma probable de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

Prueba de Bondad de Ajuste Ji Cuadrado(X²) (III)

donde Oi = frecuencia observada en la clase o intervalo i y Ei = la frecuencia esperada en la clase i con base en la distribución hipotética, es decir, la normal. Ahora, si la diferencia entre las frecuencias observada y esperada es "pequeña", esto sugiere que las perturbaciones ui probablemente provienen de la distribución de probabilidad hipotética. Por otra parte, si la discrepancia entre las frecuecias observada y esperada es "grande", podemos rechazar la hipótesis nula de que las perturbaciones provienen, de la distribución de probabilidad hipotética.Por esta razón, el estadístico dado en (5.12.1) es llamado una medida de bondad de ajuste, ya que nos dice qué tan bien se ajusta la distribución de probabilidad hipotética a los datos observados, es decir es el ajuste bueno?.

Qué tan "grande" o "pequeño" debe ser el valor de X² dado en (5.12.1) para hacernos decidir en contra o a favor de la hipótesis nula, es decir, rechazarla o no? Puede mostrarse que si el tamaño de la muestra es razonablemente grande, el estadístico X² dado en (5.12.1) presenta aproximadamente la distribución Ji cuadrado (X²) con (N-1) g de l, donde N es el número de clases o de grupo. Se pierde un grado de libertad debido a la restricción de que el número total de frecuencias observadas y esperadas debe ser el mismo.

Prueba de Bondad de Ajuste Ji Cuadrado(X²) (II)

La fila titulada como residuales observados de la distribución de frecuencia de los residuales para desviaciones estándar específicas por debajo y por encima de cero. En el ejemplo no hay residuales a una distancia de 2 desviaciones estándar por debajo de cero, hay 2 residuales entre 1 y 2 desviaciones estándar por debajo de cero, hay 3 residuales entre 0 y 1 desviaciones estándar por debajo de cero, hay 4 residuales entre 0 y 1 desviación estándar por encima de cero hay 1 residual entre 1 y 2 desviaciones estándar por encima de cero y no hay residuales más allá de 2 desviaciones estándar por encima de cero.

De la fila de residuos esperados se obtiene la distribución de frecuencia de los residuos con base en una distribución de probabilidad hipotética, norma en este caso. En la tercera fila se calcula la diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas, se eleva al cuadrado la diferencia, se divide por la frecuencia esperada y se suman. Algebraicamente, se tiene

Prueba de Bondad de Ajuste Ji Cuadrado(X²) (I)

Esta prueba se realiza de la siguiente forma: Primero se corre la regresión, se obtienen los residuales, ui y se calcula la desviación estándar muestral de ûi. Entonces se ordenan los residuales por rango y se ubican en diversos grupos (en el ejemplo, se han ubicado en seis grupos) correspondientes al número de desviaciones estándar desde cero, Para el ejemplo, se obtienen los siguientes datos, para su análisis.