Supuesto 11: Normalidad de u (II)

Por supuesto, esto significa que cuando se trata con una muestra finita, se debe realizar la prueba explícita para el supuesto de normalidad. Ya se ha considerado la bondad de ajuste Ji cuadrado y las pruebas de Jarque-Bera de normalidad. Se le sugiere al lector aplicar éstas u otras pruebas de normalidad a los residuales de la regresión. Se debe tener en mente que en muestras finitas sin el supuesto de normalidad los estadísticos usuales t y F pueden no seguir las distribuciones t y F.

Quedan los supuestos 4,5,7,8,9  y 10. Los supuestos 7,8 y 10 están estrechamente interrelacionados y se analizan en el capítulo sobre multicolinealidad (capítulo 10). El supuesto 4 se estudia en el capítulo sobre htereoscedasticidad, (capítulo 11). El supuesto 5 se analiza en el capítulo sobre autocorrelación (capítulo 12). Finalmente, el supuesto 9 se analiza en el capítulo sobre especificación de modelos (capítulo 13) y se trabaja más en detalle en el capítulo 14.

Por razones pedagógicas, en cada uno de estos capítulos se sigue un esquema común , a saber , (1) identificar la naturaleza del problema, (2) examinar sus consecuencias, (3) sugerir métodos para detectarlo y (4)  considerar medidas remediales de tal forma que puedan conducir a estimadores que posean las propiedades estadísticas deseables analizadas en la parte I.

Cabe anotar: Como se mencionó anteriormente, no existen respuestas satisfactorias a todos los problemas que surgen de la violación de los supuestos del MCRL. Además, puede haber más de una solución a un problema particular y frencuentemente no está claro cuál método es el mejor . Además, en una aplicación particular, puede estar involucrada más de una violación del MCRL. Así, el sesgo de especificación, la multicolinealidad y la hereoscedasticidad puede  coexistir e una aplicación y no existe una prueba única opmnipotente que resuelva todos los problemas simultáneamente. Además, una prueba específica, corriente en alguna época, quizá ya no se aplique porque se descubrió que tenía algunas limitaciones. Pero esta es la forma como la ciencia progresa. La cronometraría no es la excepción.

Supuesto 11: Normalidad de u (I)

ESte supuesto no es esencial si el objetivo es solamente la estimación. Como se mencionó en el Capítulo 3, los estimadores MCO son MELI sin importar si las ui están normalmente distribuidas o no. Con el supuesto de normalidad, sin embargo, es posible establecer que los estimadores MCO de los coeficientes de regresión siguen la distribución normal, que (n-k)σ²/σ² sigue la distribución X² y que se podrían utilizar las pruebas t y F para verificar diversas hipótesis estadísticas sin importar el tamaño de la muestra.

Pero qué sucede si las ui no están normalmente distribuidas? Entonces se tiene en cuenta la siguiente extensión del teorema de límite central; recuérdese que fue el teorema de límite central, en primera instancia, el que se utilizó para justificar el supuesto de normalidad:

Si las perturbaciones [ui] son independientes e idénticamente distribuidas con media cero y varianza [constante] σ² y si las variables explicativas son constantes en muestras repetidas, los estimadores MC[O] de coeficientes son asintóticas normales con medias iguales a los β correspondientes.

Por consiguiente, los procedimientos de prueba usuales - las pruebas t y F- son aún válidas asintóticamente, es decir, en la muestra grande, pero no en muestras finitas o pequeñas.

Los estimadores MCO siguen una distribución normal asintóticamente (bajo el supuesto de varianza homoscedástica y X fijas) a pesar de que las perturbaciones no estén normalmente distribuidas. Este hecho es de poca ayuda a los economistas empíricos, quienes frecuentemente no disponen de información de grandes muestras. Por lo tanto, el supuesto de normalidad se hace extremadamente importante  para los fines de prueba de hipótesis y predicción. Entonces, teniendo en mente los problemas de estimación y de prueba de hipótesis  y dado el hecho de que las muestras pequeñas son la regla más que la excepción en la mayoría de los análisis económicos, se debe continuar utilizando el supuesto de normalidad.

Supuesto 3: Valor de la media de ui igual a cero.

Recuérdese el modelo de regresión lineal con ka variables:

Yi =β1 + β2X2i + β3X3i +.....+βkXki + ui (1)

Por consiguiente, si el supuesto 3 no satisface, se ve que no puede estimar el intercepto original β1; loq ue se obtiene es α, el cual contiene a β1 y a E(ui) = w. En resumen, se obtiene un estimado sesgado de β1.

Pero como se ha mencionado en diversas ocasiones, en muchas situaciones prácticas el término intercepto, β1, es de poca importancia; los parámetros con mayor significado son los coeficientes de pendiente, que permaneceran inalterados aún si el supuesto 3 es violado. Además, en muchas aplicaciones el término intercepto no tiene interpretación alguna.

Supuestos 2 y 6: Regresores fijos Vs regresores estocásticos

Recuérdese que el análisis de regresión está basado en el supuesto de que los regresores son no  estocásticos y suponen valores fijos en muestreo repetido. Existe una buena razón para su estrategia. A diferencia de los científicos en las ciencias física, como se menciono en el capitulo 1, los economistas, generalmente, no tienen control sobre los datos que usan, pues dependen de datos secundarios, es decir, información recopilada por otros, tales como el gobierno y las organizaciones privadas. Por consiguiente, la estrategia práctica a seguir es suponer que para el problema que va a ser resuelto, los valores de las variables explicativas están dados aun cuando las variables mismas pueden ser intrinsecamente estocásticas o aleatorias. Por lo tanto, los resultados del análisis de regresión están condicionados a estos valores.

Pero suponga que no podemos considerar las X como realmente no estocásticas o fijas. Este es el caso de los regresores aleatorios o estocásticos. Ahora la situación es más compleja. Las ui por supuesto, son estocásticas. Si las X tambien lo son, entonces se debe especificar la forma como están distribuidas tanto las X como las ui. Si estamos dispuestos a considerar el supuestos 6 ( es decir, las X aunque aleatorias, están distribuidas independientemente de, o  por lo menos no están correlacionadas con, las ui), entonces para todo fin práctico se puede continuar operando como si las X fueran no estocásticas. Como lo anota Kmenta:

Así, la no consideración o la exclusión del supuesto de que X es no estocástica y su reemplazo por el supuesto de que X es estocástica aunque independientemente de [u] no cambia las propiedades deseables y la factibilidad de la estimación de mínimos cuadrados.

Por consiguiente, se conservarán el supuesto 2 o el supuesto 6 hasta que se vuelva a tratar con los modelos de ecuaciones simultáneas en la parte IV.

Supuesto 1: Modelo de regresión lineal en los parámetros

En la sección 6.8 se trataron brevemente los modelos de regresión no lineales en los parámetros. TAles modelos usualmente se estiman mediante algún procedimiento iterativo o de ensayo y error. No se analizó este tipo de modelos en este libro porque algunas de las matemáticas requeridas para justificar su utilización están más allá del alcance de este libro introductorio. Existe también la razón más pragmática de que los modelos de regresion lineales en los parámetros han demostrado tener bastante exito en muchos fenómenos empíricos. Algunas veces, tales modelos son aproximaciones de primer grado a modelos de regresión no lineales más complicados.

Violación de los supuestos del modelo clásico (III)

Con respecto a problemas atribuibles a supuestos sobre la información, también se enfrentan  interrogantes similares. (1) Qué tan grave es un problema particular? Por ejemplo. es la multicolinealidad tan severa que hace muy difícil la estimación y la inferencia? Por ejemplo, cómo se decide si la inclusión o la exclusión de una observación u observaciones que pueden representar observaciones atípicas constituirá una diferencia sustancial en el análisis? 3) Pueden algunos problemas  de información ser fácilmente remediados? Por ejemplo, se puede tener acceso a la información original para encontrar las fuentes de los errores de mediación de la información.

Desafortunadamente, no se pueden dar respuestas satisfactorias a todas estas preguntas. Lo que se hará en lo que resta de la parte II es mirar algunos de los supuestos en forma más crítica, aunque no todos serán objeto de un escrutinio completo. En particular, no se analizarán a fondo los supuestos 1,2,3,6 y 11 .. por las siguientes razones.

Violación de los supuestos del modelo clásico (II)

Antes de proseguir, se observa que la mayoría de los libros de texto enumeran menos de 11 supuestos. Por ejemplo, los supuestos 7 y 8 se dan por cumplidos en lugar de expresarlos explícitamente. Se decidió hacerlos explícitos pues parece razonable distinguir entre los supuestos requeridos para que los MCO tengan las propiedades estadísticas deseables (como es la de MELI)  y las condiciones requeridas para que los MCO sean útiles. Por ejemplo, los estimadores MCO son estimadores MELI aun si el supuesto 8 no satisface. Pero en ese caso los errores estándar de los esitmadores MCO serán grandes comparativamente frente a sus coeficientes (es decir, razones y pequeñas), con lo cual se hace difícil evaluar la contribución de un o más regresores a la suma explicada de cuadrado.

Como lo menciona Wetherill, en la práctica surgen dos tipos de  problemas grandes al aplicar el modelo clásico de regresión lineal: (1) aquellos debidos a supuestos sobre la especificación del modelo y sobre las perturbaciones ui y (2) aquellos debidos a los supuestos sobre la información. En la primera categoría están los supuestos 1,2,3,4,5,9 y 11. Aquellos en la segunda categoría incluyen los supuestos 6,7,8 y 10. Adicionalmente, los problemas de información, tales como las observaciones atípicas (o inusuales) y los errores de medición en la información también se encuentran en la segunda categoría.

Con respecto a problemas que surgen debido a los supuestos sobre las perturbaciones y las especificaciones del modelo, aparecen tres grandes interrogantes: (1) Qué tan severo es el alejarse de un supuesto particular para que este realmetne importante? Por ejemplo, si las ui no siguen exactamente una distribución exactamente normal, qué nivel de alejamiento de este supuesto se puede aceptar sin que se destruya la propiedad MELI de los estimadores MCO? (2) Cómo averiguar si un supuesto particular ha sido realmente violado en un caso concreto? Así, cómo se verifica si las perturbaciones están normalmente distribuidas en una aplicación dada? Ya se han estudiado las pruebas de normalidad ji cuadrado y de Jarque-Bera (3) Qué medidas remediales se pueden adoptar si uno o más supuestos son falsos? Por ejemplo, si se encuentra que el supuesto de homoscedasticidad en una aplicación es falso, qué se hace entonces?

Violación de los supuestos del modelo clásico (I)

En la parte I se consideró extensamente el modelo clásico de regresión lineal normal y se mostró la forma como esté puede ser utilizado para manejar dos problemas de inferencia estadística, a saber, la estimación y la prueba de hipótesis; lo mismo que el problema de predicción. Pero recuérdese que este modelo está basado en diversos supuestos simplificadores que son los siguientes:

Supuesto 1. El modelo de regresión es lineal en los parámetros
Supuesto 2. Los valores de los regresores, las X, son fijos en muestreo repetido.
Supuesto 3. Para X dadas, el valor medio de la perturbación ui es cero.
Supuesto 4. Para X dadas, la varianza ui es constante u homoscedástica.
Supuesto 5. Para X dadas, no hay autocorrelación en las perturbaciones
Supuesto 6. Si las X son estocásticas en término de perturbación  y las X ( estocásticas) son independientes o, al menos, no están correlacionadas.
Supuesto 7. El número de observaciones debe ser mayor que el número de regresores
Supuesto 8. Debe haber suficiente variabilidad en los valores que toman los regresores.
Supuesto 9. El modelo de regresión está correctamente especificado
Supuesto 10. No hay relación lineal exacta (es decir no ha multicolinealidad) en los regresores.
Supuesto 11. El término estocástico (de perturbación) ui está normalmente distribuido.