Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (VIII)

8. Si bien el análisis hasta el momento se ha limitado a modelos de regresión con dos variables los capítulos subsiguientes mostrarán, que en muchos casos, la extensión a modelos de regresión múltiple simplemente involucran más álgebra sin introducir necesariamente más conceptos fundamentales. Por esta razón, es muy importante que el lector tenga un concepto claro del modelo de regresión de dos variables.

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (VII)

7. Al seleccionar las diversas formas funcionales, debe prestarse gran atención al término de perturbación estocástica ui. Como se anotó en el capítulo 5, el MCRL supone explícitamente que el valor de la media del término de perturbación estocástico es cero y su varianza es constante (homoscedástica) y no está correlacionado con el(los) regresor(es). Es bajo estos constante (homoscedástica) y no está correlacionado con el(los) regresor(es). ES bajo estos supuestos que los estimadores MCO son MELI. Además najo el MCRLN, los estimadores MCO están también normalmente distribuidos. Por consiguiente, se debe verificar si estos supuestos se mantienen en la forma funcional escogida para el análisis empírico. Después, de realizar la regresión, el investigador debe aplicar pruebas de diagnóstico, tales como la prueba de la normalidad, estudiada en el capítulo 5. Este punto no puede ser sobreenfatizado, ya que las pruebas de hipótesis clásicas, tales como la t,F y X², descansan en el supuesto de que las perturbaciones están normalmente distribuidas. Esto es especialmente crítico si el tamaño de la muestra es pequeño.

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (VI)

6. En los modelos recíprocos, el regresado o el regresor está expresado en forma recíproca o inversa para capturar  relaciones no lineales entre variables económicas, como sucede en la conocida curva de Phillips.

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (V)

5. En el modelo semilog, el regresado o el(los) regresor(es) están en forma log. En el modelo semilógaritmico, en el cual el regresado es logarítmico y el regreso X es tiempo, el coeficiente de la pendiente estimado (multiplicado por 100) mide la tasa de crecimiento  (instantánea) del regresado. Tales modelos se utilizan frecuentemente para medir la tasa de crecimiento de muchos fenómenos económicos. En el modelo semilogarítmico, si el regresor es logarítmico, su coeficiente mide la tasa de cambio absoluta en el regresado por un cambio porcentual dado en el valor del regresor. 

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (IV)

4. En el modelo log-lineal, el regresado y el(los) regresor(es) están(n) expresados en forma logarítimica. El coeficiente de regresión asociado al log de un regresor es interpretado como la elasticidad del regresado con respecto al regresor.

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (III)

3. Es igualmente importante la forma funcional de la relación entre el egresado y el(los) regresor(es). Algunas de las formas funcionales importantes estudiadas en este capítulo son (a) el modelo log-lineal o de elasticidad constante, b) los modelos de regresión semilogarítmicos y c) los modelos recíprocos.

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (II)

2. Las unidades y la escala en las cuales están expresadas el regresado y el (los) regresor (es), son muy importantes puesto que la interpretación de los coeficientes de regresión depende criticamente de estos. En la investigación empírica, el investigador no solamente debe citar la fuente de los datos, sino también describir explícitamente la forma como se miden las variables.

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (I)

1. Algunas veces, un modelo de regresión puede no contener un término explícito de intercepto. Estos modelos se conocen como regresión a través del origen. A pesar de que el álgebra requerida en la estimación de tales modelos es simple, se deben utilizar con cautela. En tales modelos, la suma de los residuos Σûi es diferente de cero; adicionalmente el r² calculado convencionalmente puede no tener significado. A menos que exista una razón teórica fuerte, es mejor introducir el intercepto explícitamente en el modelo.

Nota sobre la naturaleza del término error estocástico: término de error estocástico aditivo vs multiplicativo (III)

Por consiguiente, cuando se realice la regresión (6.8.2a) se tendrá que aplicar las pruebas de normalidad estudiadas en el capítulo 5 a los residuos obtenidos de esta regresión. A propósito obsérvese que si ln ui sigue una distribución normal con media cero y varianza constante, entonces la teoría estadística muestra que ui en (6.8.2) debe seguir la distribución log-normal con media e^(σ²/2) y varianza e^σ²(e^σ² -1)

Como lo muestra el análisis anterior, se tiene que prestar mucha atención al término de error al transformar un modelo para el análisis de regresión. Igual que para (6.8.4), éste es un modelo de regresión no lineal en los parámetros y deberá ser resuelto mediante algún procedimiento computacional iterativo. La estimación del modelo (6.8..3) no debe tener ningún problema.

Para resumir, se debe prestar atención al término de perturbación cuando se transforme un modelo para el análisis de regresión. De lo contrario, una aplicación a ciegas de MCO al modelo transformado no producirá un modelo con las propiedades estadísticas deseables.

Nota sobre la naturaleza del término error estocástico: término de error estocástico aditivo vs multiplicativo (II)

A pesar de que (6.8.2) y (6.8.3) son modelos de regresión lineal y pueden ser estimados por MCO o MV, se debe ser cuidadoso sobre las propiedades del término de error estocástico, considerado en estos modelos. Recuérdese que la propiedad MELI de MCO exige que el valor de la media de ui sea cero, varianza constante y autocorrelación cero. Para la prueba de hipótesis, suponemos además que ui sigue una distribución normal con los valores de la media y la varianza recién estudiados. En resumen, se ha supuesto que ui ~ N(0,σ²).

Ahora, considérese el modelo (6.8.2). Su contraparte estadística está dada en (6.8.2a). Para utilizar el modelo clásico de regresión lineal normal (MCRLN), se debe suponer que.

ln ui ~ N(0,σ²)

Nota sobre la naturaleza del término error estocástico: término de error estocástico aditivo vs multiplicativo (I)

Considérese el siguiente modelo de regresión, que es similar a (6.4.1) pero sin el término de error:

Modelos como (6.8.2) son modelos de regresión intrínsecamente lineales (en los parámetros), en el sentido en que, mediante una apropiada transformación (log), los modelos pueden hacerse lineales en los parámetros α y β2 (Nota: Estos modelos son no lineales en β1.) Pero el modelo (6.8.4) intrinsecamente es no lineal en los parámetros. No hay una manera simple de obtener el log de (6.8.4) porque ln(A+B)≠ ln A + ln B.

Resumen de formas funcionales

En la tabla 6.5 resumimos las características más sobresalientes de las diversas formas funcionales consideradas hasta el momento.

Ejemplo Ilustrativo: Curva de Phillips para el Reino Unido, 1950-1966 (II)

A propósito, obsérvese que el valor de r² es más bien bajo, aunque el coeficiente de la pendiente es estadísticamente diferente de cero y tiene el signo correcto. Esta observación, como lo argumentaremos en el capítulo 7, es una razón por la cual no se debe enfatizar indebidamente el valor de r².

Ejemplo Ilustrativo: Curva de Phillips para el Reino Unido, 1950-1966 (I)

La tabla 6.4 presenta información sobre el cambio porcentual anual en tasas de salario Y y la tasa de desempleo, X para el Reino Unido durante el período 1950-1966.

Un intento de ajustar el modelo recíproco (6.6.1) arrojó los siguientes resultados (veáse el listado SAS en el apéndice 6A.3)

La línea de regresión estimada se gráfica en la figura 6.8 De esta figura es claro que la base salarial es -1.43%, es decir, a medida que X aumenta indefinidamente, disminución porcentual en los salarios no será superior al 1.43% por año.

Modelos Recíprocos (III)

Una aplicación imponente de la figura 6.5c es la curva de gasto de Engel (llamada así por el estadistico alemán alemán Ernst Engel, 1821-1896), que relaciona el gasto del consumidor en un bien frente a su gasto o ingreso total. Sea Y el gasto en un bien y X el ingreso entonces, para algunos bienes se presentan las siguientes caracteristicas: (a) Existe un umbral o nivel crítico de ingreso por debajo del cual el bien no es comprado; en la figura 6.5c este umbral del ingreso se encuentra en el nivel- (β2/β1). (b) Existe un nivel de satisfacción de consumo que el consumidor no traspasará sin importar qué tan alto sea el ingreso. Este nivel no es otra cosa que la asíntota β1 que aparece en esta figura. Para tales bienes, el modelo recíproco representado en la figura 6.5c es el más apropiado.

Modelos Recíprocos (II)

Una de las aplicaciones importantes de la figura 6.5b es la conocida cura de Phillips de macroeconomía. Con base en los datos de tasa cambio porcentual de los salarios nominales (Y) y la tasa porcentual de desempleo (X) para el Reino Unido durante el período 1861 a 1957, Phillips obtuvo una curva cuya forma general se parece a la figura 6.5b y es reproducida en la figura 6.7.

Como lo muestra la figura 6.7, existe asimetría en la respuesta de los cambios salariales al nivel de desempleo: si la tasa de desempleo está por debajo de U^N (denominada por los economistas tasa natural de desempleo) por cada unidad de cambio en el desempleo, los salarios aumentan con mayor rapidez de lo que caen debido a un cambio equivalente cuando la tasa de desempleo está por encima del nivel natural, β1 indicando la base asintótica para el cambio salarial. Este hecho particular de la curva de Phillips puede deberse a factores institucionales, tales como el poder de negociación de los sindicatos, los salarios mínimos, compensaciones por desempleo, etc.

Modelos Recíprocos (I)

Los modelos del siguiente tipo se conocen como modelos recíprocos.

A pesar de que este modelo es no lineal en la variable X por que entra inversamente o en forma recíproca, el modelo es lineal en β1 y β2 y, por consiguiente, es un modelo de regresión lineal.

Este modelo tiene las siguientes características: A medida que X aumenta indefinidamente, el término β2(1/X) se acerca a cero (nota: β2 es una constante) y Y se aproxima al valor límite o asintótica β1. Por consiguiente, modelos tales como (6.6.1) han construido en ellos un valor asintótico o límite que tomará la variable dependiente cuando el valor de la variable X aumente indifinidamente.

Algunas formas probables de la curva correspondientes (6.6.1) se muestran en la figura 6.5. Un ejemplo de la figura 6.5a está dado en la figura 6.6, que relaciona el costo fijo promedio (CFP) de producción con el nivel de la producción. Como lo muestra esta figura, el CFP desciende continuamente a medida que aumenta la producción (porque el costo fijo se distribuye entre un gran número de unidades) y, en este caso, se vuelve asintótico en el eje de la producción al nivel β1.

El modelo Lin-Log (III)

Con la interpretación realizada de la manera recién descrita, el coeficiente de la pendiente alrededor de 2585 significa que en el período muestral un incremento en la oferta monetaria de 1% era, en promedio, seguido por un incremento en el PNB cercano a US$25.85 mil millones (nota: Divida el coeficiente de la pendiente estimada por 100).

Antes de continuar, obsérvese que si se desea calcular el coeficiente de elasticidad para los modelos log-lin o lin-log, esto puede hacerse a partir de la definición del coeficiente de elasticidad dado anteriormente, a saber (dY/dX)(X/Y). De hecho, una vez se conozca la forma funcional de un modelo, se pueden calcular elasticidades aplicando la definición anterior. La tabla 6.5, dada más adelante, resume los coeficientes de elasticidad de los diversos modelos que se han considerado en este capítulo.

El modelo Lin-Log (II)

Esta ecuación plantea que el cambio absoluto en Y(=ΔY) es igual a β2 veces el cambio relativo en X. Si éste último es multiplicado por 100, entonces (6.5.13) da el cambio absoluto en Y ocasionado por un cambio porcentual en X. Así, si ΔX/X cambia en 0.01 unidades (o 1%), el cambio absoluto en Y es 0.01(β2). Por tanto, si en una aplicación se encuentra que β2 = 500, entonces el cambio absoluto en Y es (0.01)(500), o 5.0. Por consiguiente, cuando se utiliza MCO para estimar regresiones como en (6.5.11), se debe multiplicar el valor del coeficiente de la pendiente estimado, β2, por 0.01 o, lo que es lo mismo dividirlo por 100.

Volviendo a los datos dados en la tabla 6.3, se pueden escribir los resultados de la regresión de la siguiente manera:

El modelo Lin-Log (I)

Suponga que tiene la información dada en la tabla 6.3, donde Y es PNB y X es la oferta monetaria (M2). Supóngase luego que se está interesado en encontrar en qué magnitud (en valor absoluto) aumenta el PNB si la oferta monetaria se incrementa digamos, en un porcentaje.

A diferencia del modelo de crecimiento recién estudiado, en el cual se estaba interesado en encontrar el crecimiento porcentual en Y, ante un cambio unitario absoluto en X, ahora hay interés en encontrar el cambio absoluto en Y debido a un cambio porcentual en X. Un modelo que puede lograr este propósito puede escribirse como