Prueba de la razón de verosimilitud (RV) (III)

La idea básica detrás de la prueba RV es simple: Si la(s) restricción(es) a priori son válidas, los FV(log) restringida y no restringida no deben ser diferentes, en cuyo caso λ en (3) será cero. Pero si ese no es el caso, las dos FV divergirián. Puesto que cuando la muestra es grande sabemos que λ sigue una distribución ji cuadrado, podemos averiguar si la divergencia es estadísticamente significativa, es decir a un nivel de significancia de 1 o 5%. O de lo contrario, podemos encontrar el valor p del λ estimado.

Para continuar con el ejemplo, utilizando la versión MICRO TSP 7.0, se obtiene la siguiente información:

FLVNR = -132.3601 y FLVR = -136.5061

Por consiguiente,

λ = 2[-132.3601 - (-136.50610)] = 8.2992


Asintóticamente, su distribución es igual a la ji cuadrado con 1 g de l (porque solamente se tiene una restricción impuesta)+. El valor p de obtener una valor ji cuadrado de 8.2992 o superior es de 0.004 aproximadamente, lo cual es una baja probabilidad. Por lo tanto se puede rechazar la hipótesis nula de que el precio d elos claveles no tenga efecto sobre la demanda de rosas, es decir, en la ecuación (8.9.3) la variable X3 debe conservarse. No es sorprendente que el valor de t del coeficiente de X3 en esta ecuación sea significativo.

Debido a la complejidad matemática de las prubas de Wald y LM no se estudiarán aquí. Pero como se anotó anteriormente, asintóticamente las pruebas de RV, Wald y LM dan respuestas idénticas; la escogencia entre una u otra prueba depende de la conveniencia computacional.

Prueba de la razón de verosimilitud (RV) (II)

Ahora supóngase que nuestra hipótesis nula Ho es que α3, el coeficiente de la variable precios de claveles, X3, es cero. En este caso, la función log de verosimilitud dada en (1) se convertirá en

La ecuación (2) se conoce como la función logarítmica de verosimilitud restringida (FLVR) por haber sido estimada con la restricción de que a priori α3 es cero, mientras que la ecuación (1) se conoce como la FV logarítmica no restringida (FLVNR) por que a priori no se han impuesto restricciones sobre los parámetros. Para probar la validez de la restricción a priori de que α3 sea cero, la prueba RV produce el siguiente estadístico de prueba:


λ = 2(FLVNR - FLVR)

donde FLVNR y FLVR son, la función logarítmica de verosimilitud no restringida [ecuación (1)] y la función logarítmica de verosimilitud restringida [ecuación (2)], respectivamente. Si el tamaño de la muestra es grande, puede demostrarse que el estadístico de prueba λ dado en (3), sigue una distribución ji cuadrado (X²) con un número de g de l igual al número de restricciones impuestas bajo la hipótesis nula, 1 en el presente caso.

Prueba de la razón de verosimilitud (RV) (I)

La prueba RV está basada en el principio de máxima verosimilitud (MV) estudiado antes, en el cual se muestra la forma como se obtienen los estimadores MV del modelo de regresión con dos variables. ESte principio puede extenderse directamente al modelo de regresión múltiple. Bajo el supuesto de que las perturbaciones ui están normalmente distribuidas, se muestra que para el modelo de regresion con dos variables  los estimadores MCO y MV de los coefecientes de regresión son idénticos, pero las varianzas del error estimado son diferentes. El estimador MCO de σ² es Σû²i/(n-2) pero el estimador MV es Σû²i/n, siendo el primero insesgado y el último sesgado, aun cuando en muestras grandes el sesgo desaparece.

Lo mismo es cierto en el caso de la regresión múltiple. Para ilustrar, considérese la función lineal de demanda de rosas dada en la ecuación (8.9.1). análoga a la ecuación (5) del apéndice 4A, la función log-de verosimilitud para (8.9.1) puede escribirse así:

Como se indica en el apéndice 4A, al diferenciar esta función con respecto a α1, α2, α3 y σ², igualando a cero las expresiones resultantes y resolviendo, se obtienen los estimadores MV de estos parámetros: los estimadores MV de α1, α2 y α3 serán idétnticos a los estimadores MCO que ya se han dado en la ecuación (8.9.3), pero la varianza del error diferirá en que la suma residual al cuadrado (SRC) estará divida por n y no por (n-3) como en el caso de MCO.

El camino a seguir

Con este capítulo se concluyó nuestra exposición del modelo clásico de regresión lineal iniciada en el capítulo 2. Como se señalo en ocasiones, el modelo clásico está basado en algunos supuestos ideales o riguroros. Pero ha proporcionado una norma o posición estándar frente a la cual podemos juzgar a otros modelos de regresión que tratan de inyectar "realismo' relajando uno o más supuestos del modelo clásico. La labor en el restos del blog será encontrar  lo que sucede si se incumple uno o más supuestos del modelo clásico. Agradaría saber qué tan "robusto" o "sólido" es el modelo clásico  en el caso de que se adopten supuestos menos rigurosos. Interesaría saber, por ejemplo, lo que sucede si se incumple el supuesto de normalidad, o si se permite la presencia de heteroscedasticidad o de correlación serial o de errores de especificación.

Pero antes de dedicarse a esta investigación, en el capítulo 9 se introducirá el modelo clásico en notación matricial. Este capítulo proporiciona un resumen conveniente de los capítulos 1 al 8 y muestra además la razón por la cual el álgebra matricial es una herramienta tan útil, una vez se sale de los modelos de regresión con dos o tres variables; si se permite que con ésta se maneje el modelo de regresión con variables sería un trabajo muy desordenado.

Debe anotarse que en el capítulo 9 no es esencial para entender el resto del texto. Se ha incluido para beneficio de los estudiantes con mayor formación matemática. Sin embargo con las bases de álgebra matricial dadas en el apéndice B el lector sin conocimiento previo del álgebra matricial  encontrará de utilidad estudiar el capítulo. Pero permítanme reiterar, este capítulo no es crítico para entender el resto del blog; puede ser omitido sin pérdida de continuidad.

La tríada de las pruebas de hipótesis: Razón de verosimilitud (RV), WALD (W) y multiplicador de Lagrange (ML)

En este capítulo y en los anteriores se han utilizado, generalmente, las pruebas t, F y ji-cuadrado para probar una diversidad de hipótesis en el contexto de los modelos de regresión líneal (en parámetros). Pero una vez se sale del mundo algo cómodo de los modelos de regresión lineal, se necesitan métodos para probar hipótesis con los que se puedan manejar modelos de regresión, lineales o no lineales.

Con la conocida triada de pruebas de verosimilitud, de Wald y del multiplicador de Lagrange, se puede lograr este propósito. Lo interesante de observar es que asintóticamente (es decir, en muestras grandes) las tres pruebas son equivalentes en cuanto a que la estadística de prueba asociada con cada una de estas pruebas sigue la distribución ji cuadrado.

Aun cuando se estudiará la Prueba de la razón de verosimilitud en el apéndice de este capítulo, en general no se utilizará este tipo de pruebas en este libro de texto  por la razón pragmática de que en muestras pequeñas o finitas, que son las que, desafortunadamente, manejan la mayoría de los investigadores, la prueba F que se ha utilizado hasta ahora será suficiente. Como lo anotan Davidson y MacKinnon.

Para modelos de regresión lineal, con errores normales o sin ellos, no hay necesidad de revisar el ML,  W y RV ya que al hacerlo no se gana información adicional a la contenida en F^22.

Predicción con regresión múltiple (III)

El intervalo de confianza 100(1-α) equivalente para la predicción individual, Y1971 es

Recuérdese que los g de l para el valor t es (n-3) para el modelo de tres variables, (n-4) para el modelo de cuatro variables, o (n-k) para el modelo de k variables.

Predicción con regresión múltiple (II)

Así, para 1971 el GCP es alrededor de US$509 mil millones. Por las razones anotadas en la sección  5.1, US$509 mil millones es también el valor de la predicción individual, para 1971, Y1971.

Sin embargo, las varianzas de Y1971 y Y1971 son diferentes. De las fórmulas  dadas en el capítulo  9, puede mostrarse que:

donde se(Y1971) se obtiene de (8.10.3) y donde se supone que esta predicción está basada en los valores dados de X2 y X3 para 1971. Sobra decir, el mismo procedimiento puede repetirse para cualquier otro valor de X2 y X3.

Predicción con regresión múltiple (I)

En la sección 5.10 se mostró cómo el modelo estimado de regresión con dos variables puede ser utilizada para (a) predicción de la media, es decir, predicción puntual sobre la función de regresión poblacional (FRP) y también para (b) predicción individual, es decir, predicción de un valor individual de Y, dado el valor del regresor X=Xo, donde Xo es el valor numérico específico de X.

La regresión múltiple estimada también puede ser utilizada para fines similares y el procedimiento para hacerlo es una extensión directa del caso de dos variables, con excepción de las fórmulas para estimar la varianza y el error estándar de los valores de pronósotico [comparables a (5.10.2) y (5.10.6) de lo del modelo con dos variables] las cuales son más bien complejas y se manejan mejor mediante los métodos matriciales estudiados en el capítulo 9. (Véase sección 9.9).

Para ilustrar el mecanismo de la predicción media e individual, se recuerda la regresión anteriormente estimada del consumo personal para los Estados Unidos durante el periodo 1956-1970.

Ejemplo Demanda de Rosas (III)

Supóngase que se acelera el proceso y se supone que el verdadero modelo es log-lineal. Siguiendo el Paso VI de la prueba MWD, se obtienen los siguientes resultados de la regresión:

El coeficiente de Z2 es estadísticamente significativo a un nivel de significancia del 12% (el valor p es 0.1225). Por consiguiente, se puede rechazar la hipótesis de que el verdadero modelo es log-lineal a este nivel de significancia. Por supuesto, si se utilizan los niveles de significancia converncionales de 1 y 5% entonces no se puede rechazar la hipótesis de que el verdadero modelo es log-lineal. Como lo muestra este complejo, es muy posible que en una situación dada no se puedan rechazar una u otra de las especificaciones.

Ejemplo Demanda de Rosas (II)

Como lo indican estos ressultados, ambos modelos, el lineal  el log-lineal parecen reajustarse a la información razonablemente bien: los parámetros tienen los signos esperados y los valores t y R² son estadísticamente significativos.

Para decidir entre estos modelos con base en la prueba MWD, se prueba primero la hipótesis de que el modelo verdadero es líneal. Luego, siguiendo el Paso IV de la prueba, se obtiene la siguiente resgresión:

Puesto que el coeficiente Z1 no es es estadísticamente significativo (el valor p del t estimado es 0.98), no se rechaza la hipótesis de que el verdadero modelo es lineal.

Ejemplo Demanda de Rosas (I)

Refiérase el ejercicio 7.20  en el cual se ha presentado la información sobre la demanda de rosas en el área metropolitana  de Detroit durante el período 1971-II a 1975-II. Para fines ilustrativos se considerará la demanda de rosas como función solamente de los precios de las rosas y de los claveles, dejando por fuera la variable ingreso por el momento.  Ahora se considerarán los siguientes modelos:

Prueba de la forma funcional de la Regresión: Selección entre modelos de regresión lineal y log-lineal (II)

Paso I: Estímese el modelo lineal y obténgase los valores Y estimados. Llámelos Yf(es decir, Y).
Paso II: Estímese el modelo log-lineal y obténgase los valores ln Y estimados; denomínense ln f (es decir, lnY)
Paso III: Obténgase Z1 = (ln Yf - ln f).
Paso IV: Efectúese la regresión de Y sobre las X y Z1 obtenida en el Paso III. Rechácese Ho si el coeficiente  de Z1 es estadísticamente significativo mediante la prueba t usual.
Paso V: Obténgase Z2 = (antilog de ln f - Yf)
Paso VI: Efectúese la regresión del logaritmo de Y sobre los logaritmos de las X y Z2. Rechácese H1 si el coeficiente  de Z2 es estadísticamente significativo mediante la prueba t usual.

Aun cuando la prueba MWD parece compleja, la lógica de la prueba es bastante simple. Si el modelo lineal es en realidad el modelo correcto, la variable construida Z1 no debería ser estadísticamente significativa en el paso IV, ya que en ese caso los valores Y estimados del modelo lineal y aquellos estimados del modelo log-lineal (después de obtener sus valores antilog para efectos comparativos) no deberían ser diferentes. El mismo comentario se aplica a la hipótesis alternativa H1.

Prueba de la forma funcional de la Regresión: Selección entre modelos de regresión lineal y log-lineal (I)

La selección entre un modelo de regresión lineal (el regresor es una función líneal de los regresores) o un modelo de regresión log-lineal (el lorgaritmo del regresor es función de los logaritmos de los regresores) es la eterna pregunta en el análisis empírico. Se puede utilizar una prueba propuesta por MacKinnon, White y DAvidson, que se denominará, por brevedad la prueba MWD para escoger entre los dos modelos.

Para ilustrar esta prueba, supóngase lo siguiente.

Ho: Modelo Lineal: Y es una función lineal de los regresores, los X
H1:  Modelo Log-lineal: ln Y es función lineal de los logartimos de los regresores, los logaritmos de las X.

en donde, como es usual, Ho y H1 denotan  las hipótesis nula y alterna.

La prueba MWD comprende los pasos que se diran en el siguiente post.

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (VI)

Paso I

Si el nivel α se fija al 5%, el valor crítico F(2,14) = 3.74. Y puesto que el valor F observado de 5.04 excede este valor crítico, se puede rechazar la hipótesis de que la función de ahorro en los dos períodos de tiempo es la misma. A propósito, el valor p del F observado es 0.0224.


Si se acepta la conclusión de que las funciones de ahorro en los dos períodos de tiempo son diferentes, se debe esta diferencia a la diferencia en los valores de los interceptos o a los valores de las pendientes, o a ambos valores? Aun cuando la prueba de Chow puede ser adaptada para responder a estas preguntas, en el capítulo sobre las variables dicotómicas se presentará una alternativa a la prueba de Chow, que puede responder a estas preguntas más fácilmente.

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (V)

Paso IV: Dados los supuestos de la prueba de Chow, puede demostrarse que

sigue la distribución F con g de l = (k,n1 + n2 - 2k). Si la F calculada de (8.8.4) excede el valor F crítico a un el nivel escogido de α, rechácese la hipótesis de que las regresiones (8.8.1) y (8.8.2) son iguales, es decir, rechácese la hipótesis de estabilidad estructural. Alternativamente, si el valor p de F obtenido  de (8.8.4) es bajo, rechácese la hipótesis nula de estabilidad estructural.

Retornando al ejemplo, los resultados son los siguientes: Obsérvese que en el ejemplo n1 = n2 =9

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (IV)

Paso I: Combinando todas las observaciones n1 y n2, se estima (8.8.3) y se obtiene su suma residual al cuadrado (SRC), es decir, S1 con g de l = (n1 + n2 -k), donde k es el número de parámetros estimados, 2 en el presente caso.

Paso II: Estímese (8.8.1) y (8.8.2)  individualmente  y obténgase sus SRC, es decir S2 y S3 con g de l = (n1-k) y (n2-k) respectivamente. Adiciónese estas dos SRC, es decir, S4 = S2 + S3 con g de l = (n1+n2-2k).

Paso III: Obténgase S5 = S1-S4

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (III)

Cómo determinar si hay un cambio estructural en la relación ahorro-ingreso entre los dos períodos? Una prueba corrientemente utilizada para responder esta pregunta se conoce como la prueba de Chow, por Gregory Chow, aun cuando es simplemente la prueba F estudiada anteriormente.

Los supuestos en los cuales se basa la prueba de Chow son dos:

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (II)

Para ver si este cambio es real, supóngase que la función de ahorro para los dos períodos es la siguiente:

donde Y es el ahorro personal, X es el ingreso personal, los u son los términos de perturbación en las dos ecuaciones y n1 y n2 son el número de observaciones en los períodos. Téngase en cuenta que el número de observaciones en los dos períodos puede ser igual o diferente.

Ahora un cambio estructural puede significar que los dos interceptos son diferentes, o que las dos pendientes son diferentes, o que tanto los interceptos como las pendientes son diferentes, o cualquier otra combinación posible de los parámetros. Por supuesto, si no hay cambio estructural (es decir, hay estabilidad estructural) podemos combinar todas las observaciones n1 y n2 y estimar sencillamente la función de ahorro  como

Yt = λ1 + λ2Xt + ut

Comparación de dos regresiones: Prueba de la estabilidad estructural de los modelos de regresión (I)

En la tabla 8.8 se presenta información sobre ahorro personal e ingreso personal en el Reino Unido durante el período 1946-1963.

Supóngase que se desea encontrar la forma como se comporta el ahorro personal en realación con el ingreso personal, es decir, se desea estimar una simple función de ahorro. Una breve mirada a la información dada en la tabla 8.8 muestra que el comportamiento del ahorro, en relación con el ingreso durante el período 1946-1954,  el período inmediatamente posterior a la Segunda Guerra Mundial (puede llamarlo período de reconstrucción), parece diferir el período  1955-1963 (de post reconstrucción). Para expresarlo de otra forma, la función de ahorro ha sufrido un cambio estructural entre los dos períodos, es decir, los parámetros de la función de ahorro han cambiado.

Ejemplo La de Demanda de Pollos en los Estados Unidos, 1960-1982 (III)

Al nivel del 5% claramente, este valor F no es estadísticamente significativo [F0.0.5(2,18) =3.55]. El valor p es 0.3472. Por consiguiente, no hay razón para rechazar la hipótesis  nula - la demanda  de pollo no depende de los precios del cerdo y de la carne de res. En resumen, podemos aceptar la regresión restringida (8.7.24) como la que representa la función de demanda de pollo.

Obsérvese que la función de demanda satisface las expectativas económicas a priori puesto que la elaticidad precio-propio es negativa y la elasticidad ingreso es positiva. Sin embargo la elasticidad precio estimada, en valor absoluto, es estadísticamente menor que la unidad, lo que implica que la demanda por pollo es inelástica al precio. Por qué? Además, la elasticidad ingreso, si bien es positiva, estadísticamente también es menor que la unidad, lo que sugiere que el pollo no es un artículo de lujo; por convección, se dice que un artículo es de lujo si su elasticidad ingreso es mayor que uno.