Propiedad MELI de los estimadores MCO

Matriz de varianza-covarianza de β

Derivación matricial de las ecuaciones normales

A partir de (9.3.7) se obtiene

Derivación de k ecuaciones normales o simultáneas

Diferenciando

Modelo de regresión con k variables en unidades originales y en forma de desviación.

Resumen y Conclusiones Enfoque Matricial en el modelo de regresion lineal

El próposito principal de este capítulo era introducir el enfoque matricial al modelo clásico de regresión líneal. Aun cuando se introdujeron muy pocos conceptos nuevos del análisis de regresión, la notación matricial proporciona un método compacto para tratar con los modelos de regresión lineal que contienen cualquier número de variables.

Al concluir este capítulo obsérvese que si las variables X y Y están medidas en forma de desviaciones, es decir, como desviaciones de sus medias muestrales, hay pocos cambios en las fórmulas presentadas anterioresmente. Estos cambios se enumeran enl atabla 9.6 . Como lo muestra la sigueinte tabla, en forma de desviaciones la correción para la medida nY. se elimina de STC y de SEC. Por qué? Esta pérdida resulta de un cambio en la f'órmula para R². Por lo demás, la mayoría de las f'órmulas desarrolladas en las unidades originales de medición se mantienen para la forma de desviación.

Resumen del enfoque matricial: Un ejemplo ilustrativo (V)

En la sección 9.9 se estudió el mecanismo de proyección, media e individual. Supóngase que para 1971 la cifra del IDPP es US$2610 y se desea proyectar el GCPP correspondiente a esta cifra. Entonces, la proyección media como la individual del GCPP para 1971 es la misma y está dada por

Resumen del enfoque matricial: Un ejemplo ilustrativo (IV)

Pero recuérdese que una hipótesis nula como β2 = β3 = 0, simultáneamente, puede ser probada mediante la técnica de análisis de varianza y la tradicional prueba F, las cuales fueron introducidas en el cap. 8. Para el problema, la tabla del análisis de varianza es la tabla 9.5. Bajo los supuestos usuales, se obtiene

F = (414,072.3893/164.73797) = 2513.52

cuya distribución es igual a la distribución F con 2 y 12 g de l. El valor F calculado es, obviamente, muy significativo; se puede rechazar la hipótesis nula de que β2 = β3 = 0, es decir que, el gasto de consumo personal per capita no está relacionado linealmente con el ingreso disponible per cápita ni con la tendencia.

Resumen del enfoque matricial: Un ejemplo ilustrativo (III)

La interpretación de (9.10.14) es esta: si tanto X2 como X3 reciben un valor de cero, el valor promedio del gasto de consumo persona per cápita se estima alrededor de US$300. Como es usual, esta interpretación mecánica del intercepto debe tomarse con cautela. El coeficiente de regresión parcial de 0.74198 significa que, manteniendo todas las otras variables constantes, un incremento en el ingreso per cápita de un dólar, por ejemplo, es acompañado por un incremento en el gasto de consumo personal per cápita medio de alrededor de 74 centavos de dólar. En resumen, se estima que la propensión marginal a consumir sea de alrededor de 0.74, o 74%. En forma similar, manteniendo constantes todas las otras variables, el gasto de consumo personal per cápita medio aumentó a una tasa de alrededor de US$ 8 por año durante el período del estudio, 1956-1970. El valor R² de 0.9976 muestra que la dos variables explicativas mostraron más del 99% de la variación en el gasto de consumo per cápita en los EStados Unidos durante el período 1956-1970. Aun cuando R² se reduce ligeramente, éste continúa siendo muy elevado.

Volviendo a la significancia estadística de los coeficientes estimados, a partir de (9.10.14) se observa que cada uno de los coeficientes estimados es estadísticamente significativo individualmente, a un nivel de significancia del 5% por ejemplo: Las razones entre los coeficientes estimados y sus errores estándar (es decir, las razones t) son 3.83421, 15.61077 y 2.69598, respectivamente. Utilizando una prueba t de dos colas al nivel de significancia del 5%, se observa que el valor t crítico para 12 g de l es 2.179. Cada uno de los valores t calculados excede este valor crítico. Por tanto, a nivel individual, se puede rechazar l ahipótesis nula de que el verdadero valor poblacional del coeficiente relevante es cero.

Como se anotó anteriormente, no es posible aplicar la prueba t usual para verificar la hipótesis de que β2 = β3 = 0 simultaneamente, porque el procedimiento de prueba t supone que se toma una muestra independiente cada vez que se aplica una prueba t. Si se utiliza la misma muestra para probar la hipótesis sobre β2 y β3 simultáneamente, es probable que los estimadores β2 y β3 estén correlacionados, violando así el supuesto en el cual se basa el procedimiento de la prueba t^9. En realidad, la matriz de varianza-covarianza de β dada en (9.10.9) muestra que los estimadores β2 y β3 están correlacionados negativamente (la covarianza entre las dos es -0.13705). Por tanto, no se utiliza la prueba t para probar la hipótesis nula de que β2 = β3 = 0.

Resumen del enfoque matricial: Un ejemplo ilustrativo (II)

De la información anterior, se obtienen los siguientes resultados

Resumen del enfoque matricial: Un ejemplo ilustrativo (I)

Para resumir el enfoque matricial el análisis de regresión, se presentará un ejemplo numérico que contiene tres variables, recuérdese el ejemplo ilustrativo del capítulo 8, sobre la regresión del gasto de consumo personal agregado sobre el ingreso disponible personal agregado y el tiempo para el período 1956-1970. Se planteó allí que la variable de tendencia t puede representar, entre otras cosas, la población total o agregada: se espera que el gasto de consumo agregado aumente a medida que la población aumenta. Una forma de aislar la influencia de la población es convertir las cifras de gasto de consumo agregado y de ingreso agregado a una base per cápita, dividiéndolas por la población total. Una regresión del gasto de consumo per cápita sobre el ingreso per cápita dará entonces la relación entre  gasto de consumo e ingreso neto de cambios poblacionales (o del efecto escala). La variable tendencia puede aún mantenerse en el modelo para capturar todas las demás influencias que afectan el gasto de consumo (por ejemplo, tecnología). Para fines empíricos, por consiguiente, el modelo de regresión es

Varianza de la predicción individual

La fórmula para la varianza de una predicción individual es la siguiente:

Varianza de la predicción media

Predicción individual

Como se sabe de los capítulos 5 y 8, la predicción individual de Y, Yo, está dad generalmente por (9.9.3) o también por (9.9.4) específicamente. Es decir:

Predicción media

Sea

Predicción utilizando regresión múltiple: formulación matricial

En la sección 8.10 se analizó, utilizando notación escalar, la forma como la regresión múltiple estimada puede ser utilizada para predecir (1) la media y (2) los valores individuales de Y, dados los valores de los regresores  X. En esta sección se muestra la forma de expresar estas predicciones en forma matricial. También se presentan las fórmulas para estimar las varianzas y los errores estándar de los valores proyectados: en el cap. 8 notamos que estas fórmulas se trabajan mejor mediante notación matricial, ya que las expresionesescalares o algebraicas de estas fórmulas se hacen inmanejables.

Prueba de restricciones lineales: prueba F global utilizando notación matricial

En la sección 8.7 se introdujo la prueba general F, para verificar la validez de las restricciones lineales impuestas sobre uno o más parámetros del modelo de regresión lineal de k variables. La prueba apropiada se dio en (8.7.9) [o su equivalente (8.7.10)]. La matriz correspondiente a (8.7.9). puede derivarse facilmente.

Sea

Prueba de significancia global de la regresión: Análisis de varianza en notación matricial (II)

Por consiguiente, la tabla ANOVA 9.2 puede ser expresada como tabla 9.3. Una ventaja de la tabla 9.3 sobre la tabla 9.2 es que la totalidad del análisis puede hacerse en términos de R²; no se requiere considerar el término (yý-nY²), pues este se cancela en la razón F.

Prueba de significancia global de la regresión: Análisis de varianza en notación matricial (I)

En el capítulo 8 se desarrolló la técnica ANOVA (1) para probar la significancia global de la regresión estimada, es decir, para probar la hipótesis nula de que los verdaderos coeficientes de pendiente (parciales) son simultáneamente iguales a cero, y (2) para evaluar la contribución incremental de una variable explicativa. La técnica ANOVA puede ampliarse fácilmente al caso de k variables. Recuérdese que la técnica ANOVA consiste en descomponer la STC en dos componentes: la SEC y la SRC. Las expresiones matriciales para estas tres sumas de cuadrados ya han sido dadas en (9.3.16), (9.3.17) y (9.3.18), respectivamente. Los grados de libertad asociados con estas sumas de cuadrados son n-1, k-1 y n-k, respectivamente. (Por qué?) Entonces, siguiendo el capítulo 8, tabla 8.2, se puede elaborar la tabla 9.2.

Suponiendo que las perturbaciones ui están normalmente distribuidas y la hipótesis nula es β2 = β3 = .......βk = 0, y de acuerdo con el capítulo 8, se puede demostrar que

Prueba de hipótesis sobre coeficientes individuales de Regresión en notación matricial (II)

Puesto que en la práctica σ² es desconocida, ésta se estima mediante σ². Entonces por el desplazamiento usual hacia la distribución t, se cumple que cada elemento de β sigue la distribución t con n-k g de l. Simbólicamente

Por consiguiente, la distribución t puede ser utilizada para probar hipótesis sobre el verdadero βi y para establecer intervalos de confianza sobre éste. El verdadero mecanismo ya ha sido ilustrado en los capítulos 5 y 8. Para un ejemplo completo.