Parsimonia

Un modelo nunca puede llegar a ser una descripción completamente precisa de la realidad; para describir la realidad, es preciso desarrollar un modelo tan complejo que éste sería de poca utilidad práctica. En cualquier construcción de modelos es inevitable  hacer abstracción  o simplificación en alguna medida. El principio de la hoja de afeitar de Occam, o principio de parsimonia, establece que un modelo se debe conservar tan simple como sea posible, o , como diría Milton Friedman, "Una hipótesis [modelo] es importante si ésta 'explica' mucho, con poco...." Esto significa que se deben introducir en el modelo unas pocas variables claves que capturen la esencia del fenómeno bajo estudio relegando toda influencia menor y aleatoria al término de error ut.

Punto de vista tradicional Sobre la modelización econométrica: regresión económica promedio (REP) (III)

En este capítulo se averigua la forma como la metodología REP maneja las diversas clases de errores de especificación o los sesgos mencionados anteriormente. Más específicamente, se analizan las siguientes temas:

1. Naturaleza de los errores de especificación.
2. Consecuencias de los errores de especificación.
3. Cómo detectar los errores de especificación.
4. Una vez detectados los errores de especificación, qué remedios pueden adoptarse y con qué beneficios.

Antes de proceder a estudiar los diversos errores de especificación, la pregunta importante es: Cómo fue inicialmente seleccionado el modelo por la metodología clásica, o la REP? Frecuentemente, se utilizan criterios como los siguientes.

Punto de vista tradicional Sobre la modelización econométrica: regresión económica promedio (REP) (II)

Si por ejemplo, el sesgo resulta por la omisión de variables, el investigador empieza por agregar "nuevas" variables al modelo y trata de "reconstruir" sobre el modelo. Este enfoque tradicional del diseño de modelos econométricos se denomina enfoque de abajo hacia arriba porque se empieza a construir el modelo con un número dado de regresores y con base en el diagnostico, se procede a agregar más variables al modelo. Este enfoque se conoce también como Regresión Económica Promedio (REP), término atribuido a Gilbert, porque esta es la forma como se realiza en la práctica la mayor parte de la investigación económica.

En años recientes, esta metodología tradicional REP ha estado sujeta a fuertes críticas. Pero antes de considerar metodologías alternativas, se puede ver más de cerca la metodología REP pues, para muchos investigadores, ésta continúa siendo la metodología estándar. Además econometristas como DArnell y Evans sostienen con fuerza que fue modificando un poco la metodología econométrica tradicional (dada en la figura 1.4), la metodología REP puede continuar siendo la estrategia preferida.

Punto de vista tradicional Sobre la modelización econométrica: regresión económica promedio (REP) (I)

El supuesto 9 del modelo clásico de regresión lineal (MCRL) plantea que el modelo de regresión seleccionado para el análisis empírico está "correctametne" especificado. Con este supuesto, nuestra preocupación principal hasta ahora ha sido la estimación de los parámetros del modelo seleccionado  y la prueba de hipótesis con respecto a ellos. Si los estadísticos de diagnóstico, tales como R², t y F y el d de Durbin-Watson se consideran satisfactorios, el modelo seleccionado obtiene un reconocimiento de aprobación.

Por otra parte, si hay uno o más estadísticos de prueba que no son satisfactorios, el investigador busca métodos más sofisticados de estimación, por ejemplo, el procedimiento de estimación en dos etapas de Durbin para resolver el problema de autocorrelación. Si las pruebas de diagnóstico son aún no satisfactorias, el investigador se empieza a preocupar  por la existencia de errores de especificación o de sesgos en el modelo seleccionado: Habrán sido omitidas del modelo algunas variables importantes? Algunas variables de poca importancia habrán sido incluidas en el modelo? La forma funcional del modelo seleccionado será la correcta? Estará el error estocástico correctamente especificado? Habrá más de un error de especificación?

Diseño de Modelos econométricos I: Metodología econométrica tradicional

La búsqueda de los economistas por la "verdad" a través de los años ha dado origen a la versión de que los economistas son personas que andan buscando un gato negro que no existe dentro de un cuarto oscuro; con frecuencia, se acusa a los econometristas de encontrar uno".

Debido a su importancia teórica y práctica, en este capítulo y en el siguiente se analizará con alguna profundidad el enfoque tradicional y algunos enfoques alternativos para construir un modelo econométrico.

Resumen y Conclusiones Autocorrelación (V)

8. Un modelo especial estudiado en este capítulo es el ARCH en el cual la varianza condicional del término de error está correlacionada serialmente con los valores pasados del término de error al cuadrado. Este modelo ha demostrado ser bastante útil en la modelación y predicción de muchas variables financieras, tales como tasas de cambio, tasas de inflación, etc.

Resumen y Conclusiones Autocorrelación (IV)

6. Aun si se utiliza un esquema AR(1), el coeficiente de autocorrelación ρ no se conoce a priori. Consideramos diversos métodos para estimar, tales como el d de Durbin-Watson, el d modificado de Theil-Nagar, el procedimiento de dos etapas de Cochrane-Orcutt (C-O), el procedimiento iterativo C-O y el método de dos etapas de Durbin. En muestras grandes, estos métodos generalmente producen estimaciones similares, aunque en muestras pequeñas estos tienen un desempeño diferente. En la práctica, el método iterativo C-O se ha vuelto bastante popular.

7. Claro está, antes de remediar el problema de autocorrelación es preciso detectarlo. Hay diversos métodos de detección, de los cuales el más conocido es el estadístico d de Durbin-Watson. Aunque son de uso corriente y aparecen en los impresos de la mayoria de los paquetes de software de computador, el estadístico d tiene diversas limitaciones. Muy frecuentemente , el estadístico d es indicador de la presencia de un sesgo de especificación o de efecto ARCH y no de autocorrelación pura.

Resumen y Conclusiones Autocorrelación (III)

4. El mecanismo comúnmente adoptado es el esquema autorregresivo de primer orden de Markov, que supone que la perturbación en el período de tiempo actual está linealmente relacionada con el término de perturbación en el período de tiempo anterior, la medida de interdependencia está dada por el coeficiente de autocorrelación. Este mecanismo se conoce como el esquema AR(1).

5. Si el esquema AR(1) es válido y el coeficiente de autocorrelación se conoce, el problema de correlación serial puede atacarse fácilmente mediante la transformación de los datos siguiendo el procedimiento de diferencia generalizada. El esquema AR(1) puede generalizarse fácilmente a un esquema AR(p). También se puede suponer un mecanismo promedio móvil (MA) o una mezcla de los esquemas AR y MA, conocido como ARMA.

Resumen y Conclusiones Autocorrelación (II)

3. Aunque los estimadores MCO continúan siendo insesgados y consistentes en presencia de autocorrelación, estos dejan de ser eficientes. Como resultado, las pruebas de significancia t y F usuales no pueden aplicarse legítimamente. Por tanto, se hace necesaria la aplicación de medidas remediales.

El remedio depende de la naturaleza de la interpendencia entre las perturbaciones ut. Pero como las ut no son observables, la práctica común es suponer que éstas han sido generadas por algún mecanismo.

Resumen y Conclusiones Autocorrelación (I)

1. Si se viola el supuesto del modelo clásico de regresión lineal de que los errores o las perturbaciones ut, consideradas dentro del modelo de regresión poblacional son aleatorios o no correlacionados, surge el problema de autocorrelación o de correlación serial.

2. La autocorrelación puede surgir por diversas razones, tales como la inercia o lentitud de las series de tiempo económicas, el sesgo de especificación resultante de excluir variables importantes del modelo o de utilizar la forma funcional incorrecta, el fenómeno de la telaraña, el manejo de los datos etc.

Una palabra sobre el estadístico d y el efecto ARCH

Recuérdese que cuando se efectuó la regresión de salarios sobre productividad, se obtuvo un valor d de 0.1380, sugiriendo fuertemente que había una correlación serial de primer orden positiva en el término de error. Pero esta conclusión parece ahora prematura debido al efecto ARCH. En otras palabras, la correlación serial observada en ut puede deberse al efecto ARCH y no a la correlación serial de por sí. Por consiguiente, en los análisis de series de tiempo, especialmente aquellos relacionados con información financiera, se debe hacer la prueba del efecto ARCH antes de aceptar el estadístico d de los listados del computador como el verdadero valor de correlación.

Qué hacer ante la presencia de ARCH?

Recuérdese que se han expuesto diversos métodos para corregir la heteroscedasticidad que básicamente se relacionan con la aplicación de MCO a datos transformados. Recuérdese que MCO aplicado a datos transformados es el método de mínimos cuadrados generalizados (MCG). Si el efecto ARCH se encuentra, se tendrá que utilizar MCG. Para ahorrar espacio, los detalles de la teoria y la mecánica se ésta se econtrarán en las referencias.

A propósito, una generalización del modelo ARCH es el llamado GARCH, en el cual la varianza condicional de u en el tiempo t es dependiente no solamente de las perturbaciones al cuadrado, sino también sobre las varianzas condicionales pasadas. Los detalles al respecto pueden econtrarse en las referencias.

Ejemplo ilustrativo Modelo autorregresivo de heteroscedasticidad condicional (ARCH)

Continúese con el trajinado ejemplo sobre salarios-productividad. Utilizando los residuales obtenidos de este esta regresión, se estimaron los modelos ARCH(I), ARCH(2), ARCH(3), ARCH(4) y ARCH(5). Pero solamente el modelo ARCH(1) resultó ser significativo. Los resultados de este modelo fueron los siguientes:

Aplicando (12.8.5), se observa que nR = (31)(0.4665) = 14.46, que es aproximadamente x² con 1 g de l. De la tabla Ji cuadrado, es claro que la probabilidad de obtener tal valor Ji cuadrado es mucho menor que 0.005 (el valor p es alrededor de 0.000143). Esto sugiere que en el ejemplo, la varianza del error está correlacionado serialmente.

Modelo autorregresivo de heteroscedasticidad condicional (ARCH) (III)

La normalidad de ut no es nueva (Por que?). Lo nuevo es que la varianza de u en el tiempo t depende de la perturbación al cuadrado en el tiempo (t-1), dando así la apariencia de correlación serial. Puesto que en (12.8.2) la varianza de ut depende del término de perturbación al cuadrado en el periodo de tiempo anterior, el proceso se denomina ARCH(1). Pero éste se puede generalizar fácilmente. Es así como un proceso ARCH(p) puede escribirse como:

Modelo autorregresivo de heteroscedasticidad condicional (ARCH) (II)

Puesto que puede suponerse que el comportamiento de los errores de predicción depende del comportamiento de las perturbaciones ut(de la regresión), puede presentarse una situación de autocorrelación en la varianza ut. Para captar esta correlación, Engle desarrolló el modelo autorregresivo de heteroscedasticidad concional  (ARCH). La idea central del  ARCH es que la varianza de u en el timpo t(= σ²t), depende del tamaño del término de error al cuadrado en el tiempo (t-1), es decir, de u²(t-1)

Modelo autorregresivo de heteroscedasticidad condicional (ARCH) (I)

La sabiduría convencional ha determinado que el problema de autocorrelación es una característica de la información de series de tiempo y la heteroscedasticidad una característica de la información de corte transversal. Puede surgir la heteroscedasticidad en información de series de tiempo? Y cómo?

Los investigadores comprometidos en la proyección de series de tiempo financieras, tales como precios de acciones, tasas de inflación, tasas de cambio, etc, han observado que su habilidad para predecir tales variables varía considerablemente de un período de tiempo a otro. Para algunos períodos de tiempo, los errores de proyección son relativamente pequeños, durante otros, ellos pueden ser relativamente grandes y volver luego a ser nuevamente pequeños durante otro período de tiempo. Esta variabilidad podría deberse muy bien a la volatilidad en los mercados financieros, sensibles como ellos son a los rumores, a los trastornos políticos, a cambio en las políticas gubernamentales monetarias y fiscales y a factores similares. Esto sugeriría que la varianza de los errores de predicción no es constante sino que varía de un período a otro, es decir, hay alguna clase de autocorrelación en la varianza de los errores de predicción.

Comparación de los métodos

Retornando a la pregunta planteada anteriormente: Cuál método de estimación de ρ se debe utilizar en la práctica para efectuar la regresión en diferencia generalizada, o MCG factible? Si se está tratando con muestras grandes (digamos, por encima de 60-70 observaciones), no hay gran diferencia en cuál método sea seleccionado, ya que todos producen más o menos resultados similares. Pero, generalmente este no es el caso en muestras finitas, o pequeñas, ya que los resultados pueden depender de cuál método es preferible? Desafortunadamente, no hay una respuesta definitiva a esta pregunta porque los estudios de muestras pequeñas realizados mediante los diversos métodos, a través de las simulaciones de Monte Carlo, no favorecen consistentemente ninguno de los métodos. En la práctica, sin embargo, el método frecuentemente utilizado es el método iterativo de Cochrane-Orcutt, que ya ha sido incorporado a diversos programas de computador, tales como ET, SHAZAM, TSP y SAS. A medida que el software de computador se hace más sofisticado, se pueden utilizar métodos de estimación de ρ orientados específicamente para tratar con tales muestras pequeñas. De hecho, en la actualidad, paquetes como SAS contienen MV y algunos procedimientos no lineales de estimación de ρ.

Otros métodos para estimar ρ (IV)

Omitiendo la primera observación.

Comparando la regresión original (contaminada de autocorrelación) (12.7.1) con la regresión transformada (12.7.2) y la regresión Prais-Winsten (12.7.3), se observa que los resultados son generalmente comparables. La pregunta práctica es: se ha resuelto el problema de la autocorrelación? Si se toman los valores de Durbin-Watson estimados reportados en (12.7.2) y (12.7.3) por sus valores observados, parecería que ya no hay autocorrelación de (primer orden) (Por qué) Sin embargo, como lo anota Kenneth White en su SHAZAM, las tablas de Durbin-Watson pueden no ser apropiadas para probar la presencia de correlación serial en la información, que ya ha sido ajustada por autocorrelación. Por consiguiente, se puede utilizar una de las pruebas no parámetricas analizadas anteriormente. Para la regresión (12.7.2) puede demostrarse que con base en la prueba de rachas, no se puede rechazar la hipótesis de que no hay correlación serial en los residuales de esa regresión. Para la regresión Prais-Winsten (12.7.3) puede también deostrarse que los residuales estimados de esta regresión están libres del problema de autocorrelación serial. (Verífiquese esto explícitamente, Como información; hay 11 residuales positivos, 13 residuales negativos y el número de rachas es 12.

Si se desea probar hipótesis sobre los parámetros, se puede proceder en la forma usual. Pero obsérvese que como se esta estimando  ρ, las pruebas usuales de significancia serán estrictamente válidas solamente en muestras grandes. En muestras pequeñas, los resultados de las pruebas serán solo aproximados. Por ejemplo, de (12.7.2) se puede concluir que el verdadero coeficiente de pendiente es estadísticamente diferente de cero. Pero se debe tener cautela aquí puesto que nuestra muestra de 23 observaciones no es demasiado grande. 

Otros métodos para estimar ρ (III)

Como puede ver el lector, el d de Durbin-Watson. el d modificado de Theil-Nagar, el paso I del procedimiento de dos etapas de Cochrane-Orcutt y el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt todos producen estimaciones de ρ que son bastante similares; pero la obtenida de Durbin, dos etapas, es bastante diferente.

La pregunta práctica es entonces: Cuál método de estimación de ρ se debe seleccionar en la práctica? Se dará respuesta a esta pregunta en breve. Por el momento, se continuará con nuestro ejemplo y se ilustrará la forma de estimar la ecuación en diferencia generalizada (o estimación MCG factible) utilizando uno de estos ρ.

Se utiliza la aproximación de d en muestras pequeñas de Theil-Nagar. Utilizando la fórmula dada en el ejercicio 12.6 se obtiene ρ = 0.5554. Con esta estimación, se transforma la información de la siguiente manera

Otros métodos para estimar ρ (II)

De la regresión estimada, se observa que el d de Durbin-Watson indica la presencia de correlación serial positiva: Para 24 observaciones y 1 variable explicativa la tabla Durbin-Watson al 5 % muestra que dL = 1.27 y dU = 1.45 y el d estimado es de 0.9108 y está por debajo del límite crítico.

Puesto que la regresión (12.7.1) está contaminada de correlación serial, no se puede confiar en los errores estándar estimados y en las razones t por los argumentos ya anotados. Por consiguiente, es necesario aplicar medidas remediales. El remedio, por supuesto, depende de que ρ pueda ser estimado mediante uno o más de los métodos ya analizados. Para nuestro ejemplo ilustrativo el ρ estimado a partir de los diversos métodos es el siguiente.

Otros métodos para estimar ρ (I)

SE han estudiado apenas algunos de los métodos comúnmente utilizados para estimar ρ, pero esta lista, de ninguna manera es exhaustiva. Por ejemplo, se puede usar el método de máxima verosimilitud para estimar los parámetros (12.6.19) directamente sin acudir a algunas de las rutinas iterativas analizadas anteriormente. Pero el método MV comprende procedimiento de estimación no líneales (en los parámetros) que está por fuera del alcance de este texto. Entonces está el procedimiento de búsqueda o exploración de Hildreth-Lu (véase ejercicio 12.7) Pero este método consume mucho tiempo y se ha encontrado que es muy ineficiente comparado con la estimación MV y, por consiguiente, no es muy utilizado hoy en día.

Se concluye esta sección con las siguientes observaciones. Los diversos métodos recién analizados son básicamente métodos de dos etapas: En la etapa 1 se obtiene una estimación del ρ desconocido y en la etapa 2 se utiliza esta estimación para transformar las variables con las cuales se estima la ecuación en diferencia generalizada, que es básicamente MCG. Pero, puesto que se utiliza ρ en lugar del verdadero ρ, todos estos métodos de estimación se conoce en la literatura como métodos de mínimos generalizados estimados (MCGE)  o factibles.

Método de Durbin de dos pasos para estimar ρ (II)

Del ánalisis anterior, es claro que el primer paso en el procedimiento de Durbin de dos etapas es obtener una estimación de ρ y el segundo paso comprende la obtención de los estimados de los parámetros. Más adelante, se harán comentarios sobre este método comparándolo con otros.

Para el ejemplo salarios-productividad, se obtiene la estimación de (12.6.19) de la siguiente manera:

Método de Durbin de dos pasos para estimar ρ (I)

Para ilustrar este método, se escribe la ecuación en diferencia generalizada (12.5.6) equivalente como:

1. Tratesé (12.6.19) como un modelo de regresión múltiple, regresando Yt sobre Xt, Xt-1, y Yt-1 y trátese el valor estimado del coeficiente de regresión de Yt-1 (=ρ) como una estimación de ρ. Aunque sesgada, ésta constituye una estimación consistente de ρ.
2. Habiendo obtenido ρ, transfórmense las variables como Y*t = (Yt - ρYt-1) y X*t = Xt - ρXt-1) y efectúese la regresión MCO sobre las variables transformadas como en (12.6.6).

Procedimiento de dos etapas de Cochrane-Orcutt

Esta es una versión abreviada del proceso iterativo. En la etapa uno, se estima ρ a partir de la primera iteración es decir, de la regresión (12.6.14) y en la etapa dos, se utiliza esta estimación de ρ para efectuar la regresión de la ecuación en diferencia generalizada. Algunas veces, en la práctica, este método de dos etapas produce resultados bastante similares a los obtenidos del procedimiento iterativo más elaborado analizado antes.

Para nuestro ejemplo salarios-productividad, el ρ estimado de (12.6.14) da como resultado 0.944. Utilizando esta estimación y la ecuación en diferencia generalizada (12.6.15), se obtiene

Procedimiento iterativo de Cocharane-Orcutt para estimar ρ (III)

Puesto que no se sabe si esta estimación de ρ de segunda vuelta es la mejor, se puede ir a la estimación de tercera vuelta, y así sucesivamente. Como lo sugieren los pasos anteriores, el método Cocharne-Orcutt es iterativo. Pero, hasta cuando se debe seguir? El procedimiento general es suspender las iteraciones cuando las estimaciones consecutivas de ρ difieren en una cantidad muy pequeña, es decir, en menos de 0.01 o 0.005. Como ejemplo ilustrativo, se mostrará más adelante que en la práctica, con mucha frecuencia, serán suficientes tres o cuatro iteraciones.

Procedimiento iterativo de Cocharane-Orcutt para estimar ρ (II)

1. EStímese el modelo con dos variables siguiendo el procedimiento MCO y obténgase los residuales ût.
2. Utilizando los residuales estimados, efectúese la siguiente regresión:

Procedimiento iterativo de Cocharane-Orcutt para estimar ρ (I)

Una forma alternativa de estimar ρ a partir del d de Durbin-Watson es el método de Cochrane-Orcutt, frecuentemente utilizado, que usa los residuales estimados ut para obtener la información sobre ρ el desconocido.

Para explicar el método, considérese el modelo con dos variables: