Enfoque de Leamer en la selección de modelos (III)

Para ver lo que significan estas búsquedas, se presenta la investigación empíerica de Leamer de la teoría de demanda de un bien o producto. En su forma más sencilla, la teoría de demanda plantea que, ceteris paribus, la cantidad de un bien demandado (por ejemplo, naranjas) depende del ingreso del consumidor y del precio del bien.

Para implementar esta teoría, supóngase, basado en la información para 150 unidades familiares, que el investigador selecciona inicialmente un modelo log-lineal y obitiene los siguientes resultados:

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (II)

De acuerdo con Leamer, hay seis razones diferentes para la búsqueda de la especificación de modelos.

Tipo de búsqueda                             Propósito
1. Prueba de hipótesis                       Seleccionar un modelo "verdadero"
2. Interpretativa                                 Interpretar la información contenida en las diversas variables
                                                            correlacionadas
3. Simplificación                               Construir un modelo "fructífero"
4. Aproximación                              Seleccionar entre medidas que pretendan medir la misma variable
5. Selección de datos                          Seleccionar los datos apropiados para la estimación y la
                                                             predicción.
6. Construcción de modelos                Mejorar un modelo existente
una vez se tienen los datos

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (I)

Aunque Leamer ha contribuido extensamente a la econometría, para los propósitos, se hará referencia solamente a dos de sus contribuciones. Primero, él ha analizado la forma como la metodología REP orienta la búsqueda de especificación (es decir, la selección de modelos) y cómo, al utilizar la estadística bayesiana, es posible mejorar este proceso de búsqueda. Segundo, el ha sugerido la forma como pueden fortalecerse los resultados de la regresión realizando un análisis de cota extrema (ACE). Se analizarán estos puntos brevemente.

Diseño de Modelos econométricos: Metodologías econométricas alternativas (III)

Este enfoque tiene muchos seguidores. Como lo afirma un practicante de este tema, "La idea d que un modelo deba ser probado antes de ser tomado como base adecuada para el estudio del comportamiento económico ha ganado bastante aceptación"

Obsérvese que esencialmente los defensores de metodologías alternativas están diciendo que antes de recurrir a la metodología REP, es preciso prestar atención cuidadosa a la labor de especificación, es decir, a la selección del modelo apropiado. Una vez que esto se hace, es posible seguir la técnica REP. Este punto fue esencialmente el punto planteado por Darnell y Evans.

A continuación se analiza a fondo el tema de la labor de especificación. Por limitantes de espacio, se estudiarán en este capítulo solamente algunos aspectos de los enfoques de Leamer y de Hendry a este tema. El lector, si desea obtener mayores detalles, puede consultar las referencias.

Diseño de Modelos econométricos: Metodologías econométricas alternativas (II)

La crítica a esta tradición de la REP (regresión económica promedio) sostiene que esta estrategia es ciertamente cuestionable cuando los datos han sido recolectados en forma no experimental, que representa la mayor parte de la investigación económica práctica. Para ellos, una vez el modelo está dado, la estimación de sus parámetros y la labor de prueba de hipótesis es trivial. Pero la labor de determinar cuál es el modelo apropiado para empezar exige mucho esfuerzo. ESta última tarea está sujeta a los specimetrics (labor de especificación). De acuerdo con Leamer.

La labor de especificación describre el proceso mediante el cual se conduce a un investigador a seleccionar la especificación de un modelo en lugar de otro; además, trata de identificar las inferencias que pueden obtenerse apropiadamente de un conjunto de datos cuando el mecanismo de generación de datos es ambiguo.

Diseño de Modelos econométricos: Metodologías econométricas alternativas (I)

Las tres reglas de oro de la econometría son: probar, probar y probar.

Es un pecado no saber por qué se está pecando. El pecado sin sentido debe evitarse.

Como se anotó en el capítulo anterior, la metodología econométrica tradicional supone un modelo econométrico particular y trata de ver si éste se ajusta a un conjunto de datos dado. Así, si el modelo es la función de consumo keynesiana (donde el consumo observado es una función del ingreso observado) o la función de consumo de Friedman (donde el consumo permanente es función del ingreso permanente), el investigador tomará una de estas funciones de consumo como dadas y tratará de averiguar si los datos disponibles la apoyan. La decisión de rechazar o no rechazar la función de consumo particular está basada en el diagnóstico de regresión usual, tal como el R², el t, el F y el estadístico d de Durbin-Watson.

Diseño de Modelos econométricos Resumen y Conclusiones (IV)

7. Aun sí se detectan o sospechan errores de medición, frecuentemente las medidas remediales no son fáciles. El uso de variables instrumentales o aproximadas es teóricamente atractivo pero no siempre práctico. Por tanto, es muy importante en la práctica que el investigador tenga cuidado al establecer las fuentes de su información, en conocer la forma como está fue obtenida, las definiciones utilizadas, etc. La información recolectada por agencias oficiales frecuentemente es presetanda con diversas notas de pie de página y el investigador debe advertir al lector de su existencia.

Diseño de Modelos econométricos Resumen y Conclusiones (III)

5) Par detectar los errores de especificación ecuacional, se consideraron diversas pruebas tales como (1) examen de residuales, (2) estadístico d de Durbin-Watson, (3) Prueba RESET de RAmsey y (4) prueba del multiplicador de Lagange.

6) Una clase especial de error de especificación son los errores de medición en los valores de la variable regresada y de los regresores. Si hay errores de medición en la variable regresada solamente, los estimadores MCO son insesgados como también consistentes, pero son menos eficientes. Si hay errores de medición en los regresores, los estimadores MCO son sesgados lo mismo que inconsistentes.

Diseño de Modelos econométricos Resumen y Conclusiones (II)

3) Cuando se omiten variables legítimas del modelo, las consecuencias pueden ser muy graves: Los estimadores MCO de las variables consideradas en el modelo no solamente están sesgados sino que también son inconsistentes. Adicionalmente, las varianzas y los errores estándar de estos coeficientes están estimados en forma incorrecta, viciando con esto los procedimientos usuales de prueba de hipótesis.

4) Las consecuencias de incluir variables irrelevantes en el modelo afortunadamente son menos graves: Los estimadores de los coeficientes de las variables relevantes al igual que los de las variables "irrelevantes" permanecen insesgados y continúan siendo consistentes y la varianza del error σ² permanece correctamente estimada. El único problema es que las varianzas estimadas tienden a ser más grandes de lo necesario, haciendo con esto menos precisa la estimación de los parámetros. Es decir, los intervalos de confianza tienden a ser más grandes de lo necesario.

Diseño de Modelos econométricos Resumen y Conclusiones (I)

1. El supuesto del MCRL de que el modelo econométrico utilizado en el análisis está correctamente especificado tiene dos significados. Primero, que no hay errores de especificación ecuacionales y segundo, que no hay errores de especificación de modelo. En este capítulo el enfoque principal estuvo sobre los errores de especificación ecuacionales; los segundos se estudian en el capítulo 14.
2. Los errores de especificación ecuacionales analizados en este capítulo fueron (1) omisión de una(s) variable(s) importante(s), (2) inclusión de una(s) variable(s) superflua(s) (3) adopción de la forma funcional equivocada, (4) especificación incorrecta del término de error ui y (5) errores de medición en la variable regresada y en los regresores.

Errores de medición X

Se sabe que la regresión verdadera es (13.5.11). Supóngase ahora que en lugar de utilizar X*i, se utiliza Xi. Los resultados de la regresión son los siguientes.

Errores de medición en la variable dependiente Y solamente (II)

mientras que si utiliza Yi en lugar de Y*i, se obtiene

Como lo indican estos resultados y de acuerdo con la teoría, los coeficientes estimados continúan iguales. El único efecto de los errores de medición en la variable dependiente es que los errores estándar estimados de los coeficientes tienden a ser más grandes [véase (13.5.5)], lo cual puede observarse claramente en (13.5.12). A propósito, obsérvese que los coeficientes de regresión en (13.5.11) y (13.5.12) son los mismos porque la muestra fue generada para cumplir con los supuestos del modelo de errores de medición.

Errores de medición en la variable dependiente Y solamente (I)

Con base en la información dada, la verdadera función de consumo es:

Ejemplo Errores de medición en la variable explicativa X

Se concluye esta sección con un ejemplo construido para resaltar los puntos anteriores.

La tabla 13.2 proporciona información hipotética sobre el gasto de consumo verdadero Y*, el ingreso verdadero X*, el consumo medido Y y el ingreso medido X. La tabla explica también la forma como fueron medidas estas variables.

Errores de medición en la variable explicativa X (V)

Otro remedio sugerido es el uso de variables instrumentales o aproximadas que, aunque están altamente correlacionadas con las variables X originales, no están correlacionadas con los términos de error ecuacional y de medición (es decir, ui y wi). Si es posible encontrar tales variables aproximadas, entonces se puede obtener una estimación consistente de β. Pero es mucho más fácil hablar sobre esta labor que hacerla. En la práctica, no es fácil encontrar buenas variables "proxies" o aproximadas; frecuentemente estamos en una sitaución de queja sobre el mal clima sin sercapaces de hacer mucho al respecto. Además, no es fácil encontrar si la variable instrumental seleccionada es en realidad independiente de los términos de error ui y wi.

En la teoría, hay otras sugerencias para resolver el problema. Pero la mayoría de estas son específicas a la situación dada y están basadas en supuestos restrictivos. Realmente, no hay respuesta satisfactoria al problema de errores de medición. Por esto es tan crucial que la medición de los datos sea lo más precisa posible.

Errores de medición en la variable explicativa X (IV)

Puesto que se espera que el término entre corchetes sea menor que 1 (13.5.10) indica que aun si el tamaño de la muestra aumenta indefinidamente, β no convergirá hacia β. De hecho, sí se supone que β es positivo, β subestimará a β, es decir, es sesgado hacia cero. Por supuesto, si no hay errores de medición en X (es decir, σ²w= 0), β servirá como estimador consistente de β.


Por consiguiente, los errores de medición constituyen un grave problema cuando están presentes en la(s) variable(s) explicativa(s) porque su presencia hace imposible la estimación consistente de los parámetros. Por supuesto, como se vió, si éstos están presentes solamente en la variable dependiente, los estimadores permanecen insesgados y por tanto, son igualmente consistentes. Si los errores de medición están presentes en las variable(s) explicativas, Cuál es la solución? La respuesta no es fácil. En un extremo, se puede suponer que si σ²w es pequeña comparada con σ²x, para todos los fines prácticos se puede suponer "que no existe" el problema y proceder con la estimación usual MCO. Por supuesto, el tropiezo aquí es que no es posible observar o medir σ²w y σ²x, fácilmente y por consiguiente, no hay forma de juzgar sus magnitudes relativas.

Errores de medición en la variable explicativa X (III)

Así, la variable explicativa y el término de error en (13.5.8) están correlacionados, lo cual viola el supuesto básico del modelo clásico de regresión lineal de que la variable explicativa no está correlacionada con el término de perturbación estocástico. Si este supuesto se viola, puede demostrarse que los estimadores MCO no solamente están sesgados sino que son también inconsistentes, es decir, permanecen sesgados aun si el tamaño de la muesta, n, aumenta indefinidamente.

Para el modelo (13.5.8), se demuestra en el ápendice 13A, sección 13A.2 que

Errores de medición en la variable explicativa X (II)

Ahora bien, aun si se supone que wi tiene media cero, es serialmente independiente y no está correlacionado con ui, no se puede ya suponer que el término de error compuesto zi es independiente de la variable explicativa Xi por que [suponiendo que E(zi) = 0]

Errores de medición en la variable explicativa X (I)

Supóngase ahora que en lugar de (13.5.1), se tiene el siguiente modelo

Errores de medición en la variable dependiente Y (III)

Obviamente, la última varianza es más grande que la primera. Por consiguiente, aunque los errores de medición en la variable dependiente aún producen estimaciones insesgadas de los parámetros y de su varianzas, las varianzas estimadas son ahora más grandes que en el caso en el cual no existen tales errores de medición.

Errores de medición en la variable dependiente Y (II)

Por simplicidad, supóngase que E(ui) = E(εi) = 0, conv(Xi, ui) =0 (que es el supuesto de la regresión lineal clásica) y la cov(Xi, εi) =0; es decir, los errores de medición en Y*i no están correlacionados con Xi y la cov(ui, εi) =0; es decir, el error ecuacional y el error de medición no están correlacionados. Con estos supuestos, puede verse que el β estimado de (13.5.`) o (13.5.3) será un estimador insesgado del verdadero β (véase ejercicio 13.8) es decir, los errores de medición en la variable dependiente Y no destruyen la propiedad de insesgamiento de los estimadores MCO. Sin embargo, las varianzas y los errores estándar de β estimado de (13.5.1) y (13.5.3) serán diferentes porque, empleando las fórmulas usuales, se obtiene.

Errores de medición en la variable dependiente Y (I)

Considérese el siguiente modelo

donde vi = ui +  εi es un término de error compuesto, que contiene el término de perturbación poblacional (que puede llamarse el término de error ecuacional) y el término de error de medición.

Errores de medición

Todo el tiempo se ha supuesto implícitamente que las mediciones de la variable dependiente Y y de las variables explicativas, las X,  se realizan sin error. ASí, en la regresión del gasto de consumo sobre el ingreso y la riqueza de las unidades familiares, se supone que la información sobre estas variables es "precisa"; que no se trata de estimaciones supuestas, extrapolaciones, interpolaciones o aproximaciones realizadas en forma sistemática, tales como la aproximación a la centésima de dólar más cercana y así sucesivamente. Desafortunadamente, este ideal no se cumple en la práctica por una diversidad de razones, tales como la presencia de errores de no respuesta, errores en los informes y errores de reputación. Cualesquiera que sean las razones, el error de medición es un problema potencialmente complicado ya que constituye aun otro ejemplo de sesgo de especificación con las consecuencias que se anotan en seguida.

Prueba del multiplicador de Lagrange (ML) para agregar variables (IV)

Cuando los residuales de (13.4.13) son regresados como se acaba de sugerir en el paso 3, se obtienen los siguientes resultados:

Aunque el tamaño de la muestra es de 10, es decir no grande, apenas para ilustrar el mecanismo ML, se obtiene nR² = (10)(0.9896) = 9.896. De la tabla ji cuadrado, se observa que para 2 g de l, el valor ji cuadrado crítico al 1% es alrededor de 9.21. Por consiguiente, el valor observado de 9.896 es significativo al nivel del 1% y la conclusión sería rechazar la regresión restringida  (es decir, la función lineal de costos). Con base en la RESET de Ramsey se llegó a una conclusión similar.

Prueba del multiplicador de Lagrange (ML) para agregar variables (III)

4. Para un tamaño de muestra grande, Engle ha demostrado que n (el tamaño de la muestra) multiplicado por el R² estimado en la regresión (auxiliar) (13.4.11) sigue una distribución ji cuadrado con g de l iguales al número de restricciones impuestas por la regresión restringida, dos en el ejemplo presente puesto que los términos Xi² y Xi³ son eliminados del modelo, simbólicamente , se escribe

Prueba del multiplicador de Lagrange (ML) para agregar variables (II)

1. Estímese la regresión restringida (13.4.6) mediante MCO y obténgase los residuales, ui.
2. Si la regresión no restringida (13.4.4) resulta ser la verdadera regresión, los residuales obtenidos en (13.4.6) deben estar relacionados con los términos de la producción elevada al cuadrado y al cubo, es decir Xi² y Xi³.
3. Esto sugiere que se efectúe la regresión de los ui obtenidos en el paso 1 sobre todos los regresores (incluyendo los de la regresión restringida), lo cual, en el presente caso, significa que

donde v es un término de error con las propiedades usuales.

Prueba del multiplicador de Lagrange (ML) para agregar variables (I)

Esta es una alternativa para la prueba RESET de Ramsey. Para ilustrar esta prueba, se continúa con el ejemplo ilustrativo anterior.

Si se compara la función líneal de costos (13.4.6) con la función cúbica de costos (13.4.4), la primera es una versión restringida de la última (recuérdese el análisis de mínimos cuadrados restringidos del capítulo 8). La regresión restringida (13.4.6) supone que los coeficientes de los términos de producción elevados al cuadrado y al cubo son iguales a cero. Para probar esto, la prueba ML se realiza de la siguiente manera:

Prueba RESET de Ramsey (IV)

El lector puede verificar fácilmente que este valor F es altamente significativo, indicando que el modelo (13.4.8) está mal especificado. Por supuesto, se ha llegado a la misma conclusión con base en el examen visual de los residuales como también con el valor d de Durbin-Watson.

Una ventaja de RESET es que es fácil de aplicar, ya que no requiere de la especificación del modelo alterno. Sin embargo, éste también es su desventaja pues saber que el modelo está mal específicado no necesariamente proporciona ayuda en la selección de una alternativa mejor.

Prueba RESET de Ramsey (III)

Considerando nuevamente el ejemplo ilustrativo, se tienen los siguientes resultados (errores estándar en paréntesis)

Prueba RESET de Ramsey (II)

1. A partir del modelo seleccionado, por ejemplo el (13.4.6), obténgase el Y, estimado, es decir Yi.
2. Nuevamente, efectúese la regresión (13.4.6) introduciendo Yi, en alguna forma, como uno o varios regresores adicionales. En la figura 13.2 se observa que hay una relación curvilínea entre ui y Yi, sugiriendo que se pueden introducir Yi² y Yi³ como regresores adicionales. Así, se efectúa la regresión.