Varianzas y errores estándar consistentes con heteroscedasticidad de White. (II)

Como lo demuestran los resultados anteriores, los errores estándar bajo la corrección de heteroscedasticidad (de White) resultan considerablemente más grandes que los errores estándar MCO y, por consiguiente, los valores t estimados son mucho menores que aquellos obtenidos por MCO. Con base en estos últimos, ambos regresores son estadísticamente significativos al nivel del 5%, mientras que con base en los estimadores de White, éstos no lo son. Sin embargo, debe señalarse que los errores estándar corregidos por heterosedasticidad de White puede ser más grande o más pequeño que los errores estándar sin corregir.

Puesto que los estimadores de las varianzas consistentes con heteroscedasticidad de White están disponibles ahora en paquetes de regresión, se recomienda que el lector les reporte.

Varianzas y errores estándar consistentes con heteroscedasticidad de White. (I)

White ha demostrado que ésta estimación puede realizarse de tal forma que la inferencia estadística sea asintóticamente válida (es decir, para muestras grandes) sobre los verdaderos valores de los parámetros. No se presentarán aquí los detalles matemáticos ya que no están al alcance de este blog. Sin embargo hay diversos paquetes de de computadores (por ejemplo, TSF, ET, SHAZAM) que presentan varianzas y errores estándar bajo la corrección de heteroscedasticidad de White en forma simultánea con las varianzas y los errores estándar MCO usuales.

donde Y = gasto pér capita en colegios públicos por estado en 1979 e Ingreso = ingreso per cápita por estado en 1979. La muestra consistió en 50 estados más Washington, D.C.

Cuando σi² es no conocida

Como se anotó anteriormente, si las verdaderas σi² se conocen, se puede utilizar el método MCP para obtener estimadores MELI. Dado que las verdaderas σi² raramente se conocen, existe alguna forma de obtener estimaciones consistentes (en el sentido estadístico) de las varianzas y convarianzas de los estimadores MCO aun si hay heteroscedasticidad? La respuesta es sí.

Ejemplo Ilustración del Método de mínimos cuadrados ponderados (II)

Antes de proseguir a analizar los resultados de la regresión, obsérvese que (11.6.1) no tiene término de intercepto (Por que?). Por consiguiente, se debe utilizar el modelo de regresión a través del  origen para estimar β1* y β2* un tema analizado en el capítulo 6. Per, hoy en día, la mayoría de los paquetes de computadores dan la opción de suprimir el término del intercepto (veáse SAS por ejemplo). Obsérvese también otra característica interesante de (11.6.1): Ésta tiene dos variables explicativas, (1/σi) y (Xi/σi), mientras que si fueramos a utilizar MCO, la regresión del salario sobre el tamaño del empleo tendría una sola variable explicativa, Xi.

Ejemplo Ilustración del Método de mínimos cuadrados ponderados (I)

Para ilustrar el método, supóngase que se desea estudiar la relación entre la compensación salarial y el tamaño de empleo para los datos presentados en la tabla 11.1. Por simplicidad, se mide el tamaño del empleo por la siguientes categorias 1(1-4 empleados), 2 (5-9 empleados),....9(1000-2499 empleados), aunque éste también se podría medir utilizando el punto medio de las diversas clases de empleo dadas en la tabla (véase el ejercicio 11.21).

Ahora sea Y la compensación salarial promedio por empleado (US$) y X el tamaño de empleo, se efectúa la siguiente regresión

Cuando σi² es conocida: Método de mínimos cuadrados ponderados

Como se vió en la sección 11.3, si se conoce σi², el método más directo de corregir la heteroscedasticidad es a través de los mínimos cuadrados ponderados, ya que los estimadores obtenidos mediante este método son MELI.

Medidas Remediales

Como se ha visto, la heteroscedasticidad no destruye las propiedades de insesgamiento y consistencia de los estimadores MCO, sin embargo, estos ya no son eficientes, ni siguiera asintóticamente (es decir, en muestras grandes). Esta falta de eficiencia resta credibilidad a los procedimientos corrientes de prueba de hipótesis. Por consiguiente, se hace necesario introducir medidas remediales. Existen dos enfoques para remediar el problema de heteroscedasticidad: cuando σi² es conocida y cuando no lo es

Otras pruebas de heteroscedasticidad

Hay muchas otras pruebas de heteroscedasticidad cada una basada en supuestos determinados. El lector interesado quizá desee consultar las referencias.

Ejemplo Prueba de heteroscedasticidad de White (III)

Conviene hacer un comentario relacionado con la prueba de White. Si un modelo tiene muchos regresores, entonces la introducción de todos los regresores, de sus términos elevados al cuadrado (o a potencias más elevadas) y de sus productos cruzados pueden consumir grados de libertad rapidamente. Por consiguiente, se debe tener cautela al utilizar la prueba. Algunas veces, es posible omitir los términos de los productos cruzados. En los casos en los cuales el estadístico de prueba es significativo, la heteroscedasticidad puede no ecesariamente ser la causa, sino los errores de especificación, los cuales se tratarán en mayor detalle mas adelante. En otras palabras la prueba de White puede ser una prueba de heteroscedasticidad (pura) o de error de especificación o de ambos.

Ejemplo Prueba de heteroscedasticidad de White (II)

Los resultados empíricos apoyaron las hipótesis. PAra el propósito, el punto importante es averiguar si hay heteroscedasticidad en los datos. Puesto que los datos son de corte transversal e involucran una heterogeneidad de países, se puede esperar a priori la presencia de heteroscedasticidad en la varianza del error. Mediante la aplicación de la prueba de heteroscedasticidad de White a los residuales obtenidos de la regresión (11.5.23) se obtuvieron los siguientes resultados.

Ejemplo Prueba de heteroscedasticidad de White (I)

Basado en información de corte transversal de 41 paises, Stephen Lewis estimó el siguiente modelo de regresión.

lnYi = β1 + β2lnX2i +β3linX3i +ui

donde Y = razón entre impuestos arencelarios (impuestos sobre importaciones y exportaciones) y recaudos totales de gobierno, X2 = razón entre la suma de exportaciones e importaciones y el PNB y X3 = PNB per cápita: y ln representa el logaritmo natural. Sus hpótesis fueron que Y y X2 estarían relacionadas positivamente (a mayor volumen de comercio exterior, mayor recaudo arencelario) y que Y y X3 estarían negativamente relacionados (a medida que aumenta el ingreso, el gobierno encuentra más sencillo recolectar impuestos directos- es decir, el impuesto sobre la renta - que depende de los impuestos sobre el comercio exterior.)

Prueba general e heteroscedasticidad de White (IV)

Paso 4.

Si el valor ji cuadrado obtenido en (11.5.22) excede al valor ji cuadrado crítico al nivel de significancia seleccionado, la conclusión es que hay heteroscedasticidad. Si éste no excede el valor ji cuadrado crítico, no hay  heteroscedasticidad, lo cual quiere decir que en la regresión auxiliar (11.5.21), α2 =α3 = α4 = α5 = α6 = 0.

Prueba general e heteroscedasticidad de White (III)

Paso 3

Bajo la hipótesis nula de que no hay heteroscedasticidad, puede demostrarse que el tamaño de la muestra (n) multiplicado por el R², obtenido de la regresión auxiliar asintóticamente sigue la distribución ji-cuadrado con g de 1 igual al numero de regresores (excluyendo el término constante) en la regresión auxiliar es decir:

donde los g de l son iguales a los definidos anteriormente. En nuestro ejemplo, hay 5 g de l puesto que hay 5 regresores en la regresión auxiliar.

Prueba general e heteroscedasticidad de White (II)

Para realizar la prueba de White, se procede de la siguiente forma:

Paso 1. Dada la información, estímese (11.5.20) y obténgase los residuales ûi.

Paso 2. Efectúese la siguiente regresión (auxiliar):

Prueba general e heteroscedasticidad de White (I)

A diferencia de la prueba de Goldfeld-Quandt que requiere el reordenamiento de las observaciones con respecto a la variable X que supuestamente ocasiona la heteroscedasticidad propuesta por White no se apoya en el supuesto e normalidad y es fácil de implementar. Como ilustración de las idea básica, considérese el siguiente modelo de regresión con tres variables (la generalización al modelo con k variables  es directa):

Ejemplo la prueba de Breusch- Pagan-Godfrey (II)

Bajo los supuestos de la prueba BPG, Θ en (11.5.19) sigue asintóticamente la distribución Ji cuadrado con 1 g de l. Ahora, de la tabla Ji cuadrado se encuentra para 1 g de l, el valor crítico Ji cuadrado al 5% es 3.8414 y el valor F crítico al 1% es 6.6349. Por nivel del 1%. Por consiguiente, se llega a la misma conclusión obtenida mediante la prueba Goldfeld-Quandt. Pero téngase en mente que, estrictamente hablando, la prueba BPG es asintótica o de muestras grandes y en el ejemplo presente, la muestra de 30 observaciones puede no ser una muestra grande. Debe señalarse también que en muestras pequeñas, la prueba es sensible al supuesto de que las perturbaciones ui ésten normalmente distribuidas. Por supuesto, se puede probar el supuesto de normalidad mediante la prueba ji cuadrado o la prueba de Bera-Jarque analizadas anteriormente.

Ejemplo la prueba de Breusch- Pagan-Godfrey (I)

A manera de ejemplo, reconsidérese la información de la tabla 11.3 utilizada para ilustrar la prueba de heteroscedasticidad de Goldfeld-Quandt. Al efectuar la regresión de Y sobre X, se obtiene la siguiente

Prueba de Breusch-Pagan-Godfrey

El éxito de la prueba de Goldfeld-Quandt depende, no solamente del valor c (el número de observaciones centrales que van a ser omitidas), sino también de la identificación de la variable X correcta que servirá de referencia para el ordenamiento de las observaciones. Dicha limitación de esta prueba puede evitarse si se considera la prueba de Breusch-Pagan-Godfrey (BPG).

Para ilustrar esta prueba, considérese el modelo de regresión lineal con k variables

Ejemplo La prueba de Goldfeld-Quandt (II)

El valor F crítico para 11 g de l en el numerador y 11 g de l en el denominador al nivel del 5% es 2.82. Puesto que el valor F(=λ) estimado excede al valor crítico, se puede concluir que hay heteroscedasticidad en la varianza del error. Sin embargo, si el nivel de significancia es fijado al 1% no se puede rechazar el supuestos de homoscedasticidad. Obsérvese que el vapor de p del λ observado es 0.014.

Ejemplo La prueba de Goldfeld-Quandt (I)

Para ilustrar la prueba de Goldfeld-Quandt, se presenta en la tabla 11.3 información sobre el gasto de consumo con relación al ingreso para un corte transversal de 30 familias. Supóngase que se postula que el gasto de consumo está relacionado linealmente con el ingreso pero que hay heteroscedasticidad en los datos. Se postula además que la naturaleza de la heteroscedasticidad es como la que se ha dado en (11.5.9). En la tabla 11.3 se presenta también el reordenamiento necesario de los datos para la aplicación de la prueba.

Eliminando las 4 observaciones de la mitad, las regresiones MCO basadas en las primeras 13 observaciones y en las últimas 13, y sus sumas de residuales al cuadrado asociadas se presentan a continuación (los errores estándar se indican entre paréntesis).

Regresión basada en las primeras 13 observaciones

Incorporación de la técnica de la cota superior (III)

Si en una aplicación el λ(=F) calculado es superior al F crítico al nivel de significancia seleccionado, se puede rechazar la hipótesis de homoscedasticidad, es decir, se puede afirmar que la presencia de heteroscedasticidad es muy probable.

Antes de ilustra la prueba, conviene dar alguna explicación sobre la omisión de las observaciones centrales c. Estas observaciones son omitidas para agudizar o acentuar la diferencia entre el grupo de varianza pequeña (es decir, SRC1) y el grupo de varianza grande (es decir, SRC2). Pero la capacidad de la prueba de Goldfeld-Quandt para hacer esto exitosamente depende de la forma como c sea seleccionada. Para el modelo con dos variables, los experimentos de Monte Carlo realizados por Goldfeld y Quandt sugieren que es alrededor de 8 si el tamaño de la muestra alrededor de 30 y es alrededor de 16 si el tamaño de la muestra es alrededor de 60. Sin embargo, Judge et al, han encontrado satisfactorios en la práctica los niveles de c = 4 si n=30 y c = 10 si n es alrededor de 60.

Antes de proseguir, puede mencionarse que en caso de que haya más de una variable X en el modelo, el ordenamiento de las observaciones, que es el primer paso en la prueba, puede adelantarse de acuerdo con cualquiera de ellas. Por tanto, en el modelo: Yi = β1 +β2X2i + β3X3i+ β4X4i + ui se pueden ordenar  los datos de acuerdo con cualquiera de estas X. Si, a priori, no hay seguridad sobre cuál variable X es la apropiada, podemos realizar la prueba sobre cada una de las variables X o aplicar la prueba de Park, por turno, sobre cada X.

Prueba de Goldfeld-Quandt (II)

Si (11.5.9) es la relación apropiada, significaría que σi² sería mayor entre mayores fueran los valores de Xi. Si éste resulta ser el caso, es muy probable que haya heteroscedasticidad en el modelo. Para probar esto explícitamente, Goldfeld y Quandt sugieren los siguientes pasos:

Prueba de Goldfeld-Quandt (I)

Este popular método es aplicable si se supone que la varianza heteroscedástica, σi² está relacionada positivamente con una de las variables explicativas en el modelo de regresión. Por simplicidad, considérese el modelo usual con dos variables:

El supuesto (11.5.9) postula que σi² es proporcional al cuadrado de la variable X. En su estudio presupuestos familiares, Prais y Houthakker han encontrado bastante útil ese supuesto.

Prueba de correlación por rango para heteroscedasticidad

Ejemplo Ilustración de la prueba de correlación por rango

Para ilustrar la prueba de correlación por rango, considérense los datos dados en la tabla 11.2, los cuales son una submuestra de los datos de la tabla relacionada con el ejercicio 5.16 que pide estimar la línea de mercado de capitales a la cual hace referencia la teoría del portafolio, a saber Ei = β1+β2σi donde E es el retorno esperado sobre el portafolio y σ es la desviación estándar de dicho retorno. Puesto que la información se relaciona con 10 fondos mutuos de tamaños y metas de inversión diferentes, a priori se podrá esperar la presencia de heteroscedasticidad. Para probar esta hipótesis, aplicamos la técnica de correlación por rango. Los cálculos necesarios también se muestran en la tabla 11.2

Aplicando la fórmula (11.5.5), se puede obtener

Prueba de correlación por grado de Spearman (II)

Si el valor t calculado excede el valor t crítico, se puede aceptar la hipótesis de heteroscedasticidad; de lo contrario, ésta puede rechazarse. Si el modelo de regresión considera más de una variable X, rs puede ser calculada entre |ûi| y cada una de las variables X separadamente, probando la significancia estadística mediante la prueba t dada en la ecuación (11.5.6).

Prueba de correlación por grado de Spearman (I)

En el ejercicio 3.8 se definió el coeficiente de correlación por rango como:

Prueba de Glejser (II)

Nuevamente, como un asunto empírico o práctico, se puede utilizar el enfoque de Glejser. Sin embargo, Goldfeld Quandt señalan que el término de error vi tiene algunos problemas ya que su valor esperado es diferente de cero, está serialmente correlacionado (véase capítulo 12) e irónicamente es heteroscedástico. Una dificultad adicional del método Glejser es que modelos tales como

no son lineales en los parámetros y, por consiguiente, no pueden ser estimados mediante el procedimiento MCO usual.

Glejser ha encontrado que para muestras grandes, los cuatro primeros modelos anteriores generalmente dan resultados satisfactorios en la detección de la heteroscedasticidad. En la práctica, por consiguiente, la técnica de Glejser puede ser utilizada para muestras grandes y en muestras pequeñas pueden ser utilizada escrictamente como herramienta cualitativa para obtener una noción sobre la heteroscedasticidad. Para una aplicación del método de Glejser, véase...

Prueba de Glejser (I)

La prueba de Glejser es similar en concepción a la prueba de Park. Después de obtener los residuales ûi de la regresión MCO, Glejser sugiere regresar los valores absolutos de ûi sobre la variable X que se cree que está muy asociada con σi². En sus experimentos, Glejser utilizó las siguientes formas funcionales:

donde vi es el término de error

Ejemplo Relación entre compensación salarial y productividad (II)

Los resultados revelan que el coeficiente de pendiente estimado es significativo al nivel del 5% con base en una prueba t de una cola. La ecuación muestra que a medida que la productividad laboral aumenta, por ejemplo, en un dólar, la compensación laboral aumenta, en promedio alrededor de 23 centavos de dólar.

Los residuales obtenidos de la regresión (11.5.3) fueron regresados sobre Xi como lo sugiere la ecuación (11.5.2), dando los siguientes resultados:

Ejemplo Relación entre compensación salarial y productividad (I)

Para ilustrar el enfoque de Park, se utiliza la información dada en la tabla 11.1 para correr la siguiente regresión:

Yi = β1+ β2Xi + ui

donde Y = compensación promedio en miles de dólares, X = productividad promedio en miles de dólares e i = iésimo tamaño de empleo del establecimiento. Los resultados de la regresión fueron los siguientes: