Prueba de la razón de verosimilitud (RV) (I)

La prueba RV está basada en el principio de máxima verosimilitud (MV) estudiado antes, en el cual se muestra la forma como se obtienen los estimadores MV del modelo de regresión con dos variables. ESte principio puede extenderse directamente al modelo de regresión múltiple. Bajo el supuesto de que las perturbaciones ui están normalmente distribuidas, se muestra que para el modelo de regresion con dos variables  los estimadores MCO y MV de los coefecientes de regresión son idénticos, pero las varianzas del error estimado son diferentes. El estimador MCO de σ² es Σû²i/(n-2) pero el estimador MV es Σû²i/n, siendo el primero insesgado y el último sesgado, aun cuando en muestras grandes el sesgo desaparece.

Lo mismo es cierto en el caso de la regresión múltiple. Para ilustrar, considérese la función lineal de demanda de rosas dada en la ecuación (8.9.1). análoga a la ecuación (5) del apéndice 4A, la función log-de verosimilitud para (8.9.1) puede escribirse así:

Como se indica en el apéndice 4A, al diferenciar esta función con respecto a α1, α2, α3 y σ², igualando a cero las expresiones resultantes y resolviendo, se obtienen los estimadores MV de estos parámetros: los estimadores MV de α1, α2 y α3 serán idétnticos a los estimadores MCO que ya se han dado en la ecuación (8.9.3), pero la varianza del error diferirá en que la suma residual al cuadrado (SRC) estará divida por n y no por (n-3) como en el caso de MCO.