Variable dependiente dicótoma (III)

Cómo se tratan los modelos que contienen variables de respuesta dicótoma? Es decir, Cómo se estiman? Hay problemas de estimaciómy/o de inferencia especiales asociadas con tales modelos? o pueden ser ellos tratados dentro del procedimiento usual de MCO? Para responder a estas preguntas y a inquietudes relacionadas, se consideran en este capítulo los cuatro enfoques utlizados más comúnmente para la estimación de tales modelos:

1. El modelo lineal de probalidad (MLP)
2. El modelo logit
3. El modelo probit
4. El modelo tobit (regresión censurada)

Variable dependiente dicótoma (II)

Hay diversos ejemplos de este tipo en los cuales la variable dependiente es dicótoma. Así, una familia posee una casa o no la posee, tiene seguro de incapacidad física o no lo tiene, ambos cónyuges están en la fuerza laboral o solamente uno de ellos lo está. En forma similar, una determinada droga es efectiva para curar una enfermedad o no lo es. Una empresa decide declarar ciertos dividendos de acciones o decide no hacerlo, un senador decide votar a favor de la enmienda de derechos igualitarios o decide no hacerlo, el Presidente decide vetar un proyecto de ley, o decide aceptarlo, etc.

Una característica única de todos estos ejemplos es que la variable dependiente es del tipo que produce una respuesta de sí o no; es decir, es dicótoma por naturaleza.

Variable dependiente dicótoma (I)

Supóngase que se desea estudiar la participación de la fuerza laboral de hombres adultos en función de la tasa de desempleo, de la tasa de salarios promedio, del ingreso familiar, de la educación, etc.. Una persona o bien está en la fuerza laboral o no lo está. Por tanto, la variable dependiente que es la participación en la fuerza laboral, solamente puede adquirir dos valores: 1 si la persona está en la fuerza laboral y 0 si él o ella no lo está.

Considérese otro ejemplo. Supóngase que se desea estudiar la condición de pertenencia a un sindicado de profesores universitarios en función de diversas variables cuantitativas y cualitativas. Ahora bien, un profesor universitario o bien pertenece al sindicado o no pertenece a éste. Por consiguiente, la variable dependiente, que es la condición de pertenencia al sindicato, es una variable dicótama que toma los valores de 0 o  1, donde el 0 significa la no pertenencia al sindicato y el 1, su pertenencia a éste.

Regresión con la variable dependiente dicótoma: los modelos MLP, LOGIT, PROBIT y TOBIT

En los modelos de regresión con variable dicótoma considerados en el capítulo 15, se supuso implícitamente que la variable dependiente Y era cuantitativa mientras que las variables explicativas podían ser cuantitativas o cualitativas o una mezcla de las dos. En este capítulo se consideran modelos de regresión en los cuales la variable dependiente o de respuesta puede ser en sí misma de naturaleza dicótoma, tomando un valor de 1 o de 0 y se señalan algunos problemas interesantes de estimación asociados con tales modelos.

Matriz de información para regresión (II)

Matriz de información para regresión (I)

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (IV)

5. Puesto que las variables dicótomas no son estaocásticas, éstas no presentan problemas especiales en la aplicación de MCO. Sin embargo, debe tenerse cuidado al transformar información que contiene variables dicótomas. En particular, los problemas de autocorrelación y heteroscedasticidad necesitan ser manejados muy cuidadosamente.

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (III)

4. En este capítulo se consideraron sólo algunas de las diversas aplicaciones de la técnica de variables dicótomas. Estas incluyeron (1) comparación de dos (o más) regresiones, (2) desestacionalización de datos de series de tiempo, (3) combinación de información de series de tiempo y de corte transversal y (4) modelos de regresión lineal por tramos.

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (II)

3. Aunque es una herramienta versátil, la técnica de variable dicótoma debe ser manejada cuidadosamente. Primero, si la regresión contiene un término constante, el númerode variables dicótomas debe ser menor que el número de clasificaciones de cada variable cualitativa. Segundo, el coeficiente que acompaña las variables dicótomas siempre debe ser interpretado con relación al grupo base  o de referencia, es decir, con el grupo que adquiere el valro de cero. Finalmente, si un modelo tiene diversas variables cualitativas con diversas categorías, la introducción de las variables dicótomas puede consumir un gran número de grados de libertad. Por consiguiente, siempre se debe ponderar el número de variables dicótomas que van a ser introducidas por el número total de observaciones disponibles para el análisis.

REsumen y Conclusiones regresión con variables dicótomas (I)

1. Las variables dicótomas que tienen valores de 1 y 0 (o sus transformaciones lineales) son un medio de introducir regresores cualitativos en el análisis de regresión.
2. Las variables dicótomas son un mecanismo de clasificación de información ya que permiten dividir una muestra en diversos subgrupos con base en cualidades o atributos (sexo, estado civil, raza, religión, etc) e implicitamente permiten se efectúen regresiones individuales para cada subgrupo. Si hay diferencias en la respuesta de la variable regresada a la variación en las variables cuantitativas en los diversos subgrupos, éstas se reflejarán en las diferncias en los interceptos o en los coeficientes de las pendientes o en ambos, de las diversas regresiones de subgrupo.

Regresión con variables dicótomas TEmas para estudio posterior (III)

Se requieren técnicas especiales de estimación para tratar con lo que se conoce como situaciones de desequilibrio, es decir, situaciones en donde los mercados no son claros (es decir, la demanda no es igual a la oferta). El ejemplo clásico es el de demanda y de oferta de un bien. LA demanda de un bien es función de su precio y de otras variables y la oferta de ese bien es también función de su precio y de otras variables, algunas de las cuales son diferentes de aquellas que hacen parte de la función de demanda. Ahora, la cantidad realmente comprada y vendida del bien no necesariamente debe ser igual a la obtenida igualando la demandaa la oferta, llevando así a un desequilibrio. Para un análisis completo de modelos de desequilibrio, el lector puede referirse a Quandt.

Regresión con variables dicótomas TEmas para estudio posterior (II)

En el modelo de variable dicótoma que utiliza interceptos diferenciales al igual quependientes diferenciales, se supone implícitamente que se conoce el punto de quiebre. Así, en la regresión de ahorro-ingreso del Reino Unido, se identifico el año 1946-1954 como el periodo de reconstrucción y 1955-1963 como el periodo de posreconstrucción. Pero, Qué sucede si no se sabe si el quiebre tuvo lugar en 1955, en 1954 o en 1956? La técnica de modelos "switching" de regresión maneja esta situación, permitiendo que el punto de quiebre sea en sí mismo aleatorio. El trabajo original en esta área se atribuye a Goldfeld y Quandt.

Regresión con variables dicótomas TEmas para estudio posterior (I)

En la teoría se analizan diversos temas relacionados con las variables dicótomas que son relativamente avanzados, incluyendo (1) modelos de parámetros aleatorios o variables (2) modelos "switching de regresión" y (3) modelos de desequilibrio.

En los modelos de regresión considerados en este texto, se supone que los parámetros, los β, son desconocidos pero fijos. Los modelos de coeficientes aleatorios - de los cuales hay diversas vesiones - suponen que los β pueden ser aleatorios también. El trabajo principal de referencia en ésta área es el realizado por Swamy.

Variables dicótomas y autocorrelación (V)

Como se señala en el análisis anterior, la observación crítica es la primera observación en el segundo periodo. Si se maneja en la forma sugerida, la estimación de regresiones tal como (15.3.6) sujetas a autocorrelación como está especificada en (15.13.7) no deben tener problema.

Variables dicótomas y autocorrelación (IV)

2. La variable Xt se transforma en (Xt - ρX(t-1)). Obsérvese que se pierde una observación en esta transformación, a menso que se acuda a la transformación de Prais-Winsten.

3. El valor de DtXt es cero para todas las observaciones en el primer periodo (Nota: Dt es cero, en el primero periodo); en el segundo periodo la primera observación toma el valor de DtXt = Xt y las observaciones restantes en el segundo periodo son de forma que (DtXt - DtX(t-1)) = (Xt - ρX(t-1)).
(Nota: el valor de Dt en el segundo periodo es 1).

Variables dicótomas y autocorrelación (III)

Ahora, del capítulo 12, se sabe cómo transformar un modelo de regresión para deshacerse de la autocorrelación (de primer orden) (recuérdese el método generalizado en diferencia): Suponiendo que ρ se conoce o es estimado, se utiliza (Yt - ρY(t-1)) como la variable regresada yy (Xt - ρX(t-1)) comoel regresor. Pero la presencia del regresor dicótomo D plantea un problema especial: Obsérvese que la variable dicótoma sencillamente clasifica una observación como perteneciente al primero o al segundo periodo. Entonces. Cómo se puede transformar? Maddala sugiere el siguiente procedimiento:

1. En (15.13.6), los valores de D son cero para todas las observaciones en el primer periodo; en el periodo 2, el valor de D para la primera observación es 1/(1-ρ) en lugar de 1, y es 1 para todas las demás observaciones.

Variables dicótomas y autocorrelación (II)

Supóngase además que el término de error ut en (15.13.6) es generado por el esquema autorregresivo de primer orden de Markov, el esquema AR(1), a saber

ut = ρu(t-1) + εt (15.13.7)

donde ε satisface los supuestos estándar.

Variables dicótomas y autocorrelación (I)

Considérese el modelo siguiente que contiene información de series de tiempo:

Yt = β1 + β2Dt + β3Xt + β4(DtXt) + ut (15.13.6)

donde Dt = 0 para las observaciones en el primer periodo de tiempo y 1 para aquellas en el segundo periodo de tiempo. Supóngase que hay n1 observaciones en el primer periodo de tiempo y n2 en el segundo. Obsérvese que (15.13.6), el cual permite intercepto y pendiente diferencial dicótoma, es precisamente el modelo (15.7.1) utilizadopara estudiar la relación ahorro-ingreso del Reino Unido.

Variables dicótomas y heteroscedasticidad

Considérese nuevamente el ejemplo del ahorro-ingreso del Reino Unido estudiado en la sección 15.6. Al utilizar la técnica de variable dicótoma para combinar las dos regresiones (15.6.1) y (15.6.2) como en (15.7.1), se supuso implícitamente que var (u1i) = var(u2i) = σ², es decir, homoscedasticidad.

Si este supuesto no es válido, es decir, si las dos varianzas de error son dierentes, es muy probable que se encuentre que los dos interceptos y los dos coeficientes de las pendientes no son estadísticamente diferentes aunque se encontrará que el coeficiente de la variable dicótoma en la regresión (15.7.1) es estadísticamente significativo. Por consiguiente, al aplicar la técnica de la variable dicótoma (o la prueba de Chow para ese fin) se debe verificar que un caso dado no se está enfrentando al problema de la heteroscedasticidad. Pero, a estas alturas, ya se sabe cómo tratar este problema.

Otro método para evitar la trampa de la variable dicótoma (III)

Si se hubiera seguido esta estrategia, se habrían obtenido los siguientes resultados de regresión:

que son los mismos de (15.1.3), pero en una presentación diferente.

La práctica común es asignar las variables dicótomas de tal manera que si una variable tiene m categorías, se introducen solamente (m-1) variables dicótomas. La ventaja de este esquema es que muy frecuentemente se desea comparar los resultados en términos de una categoría de referencia. Además, al mantener un intercepto común, se obtiene el valor usual de R², mientras que con el modelo intercepto de cero, el R² convencional frecuentemente no es significativo. Por consiguiente, se seguirá la práctica común.

Otro método para evitar la trampa de la variable dicótoma (II)

Obsérvese que como resultado de deste cambio, se requiere interpretar en forma diferente α2 y α3.
Estos han dejado de ser coeficientes diferenciales del intercepto; ahora dan estimaciones directas de los interceptos en las diversas categorias. Así, en el caso presente, sin α1, α2 dará el valor del intercepto de la regresión del salario de los profesores hombres y α3 el valor del intercepto de la regresión del salario de las profesoras. Pero, obsérvese que para estimar (15.13.3), se tendrá que utilizar el procedimiento de estimación de la regresión a través del origen, expuesto en el capítulo 6. Por supuesto, l mayoría de los paquetes de software han sistematizado este proceso.

Retornando a la regresión (15.1.3), se hubiera podido estimar que una regresión como

Yi = α2D2i + α3D3i +ui (15.13.4)

donde D2i = 1 para los profesores hombres y 0 en otro caso y D3i = 1 para las profesoras y 0 en otro caso. (Nota: no hay intercept común en esta regresión)

Otro método para evitar la trampa de la variable dicótoma (I)

Hay otra forma de evitar la trampa de la variable dicótoma. Para ver esto, continúese con el modelo (15.2.4) para escríbase el modelo como:

Yi = α2D2i + α3D3i + βXi + ui

con las variables dicótomas como aparecen definidas en la ecuación (15.2.4). Obsérvese que en (15.13.3) se ha eliminado el término intercepto α1. Ahora no e caeráen la trampa de la variable dicótoma porque ya no se tiene colinealidad perfecta, como puede verse de la matriz de datos dada en seguida de la ecuación (15.2.4, al eliminar la columna de unos.

Regresión semilogarítmica con variable dicótoma (II)

Como lo indican estos resultados y manteniendo otras cosas iguales (en este caso el sexo de los profesores), el salario promedio o medio aumenta en 5.46% por año. Pero no se puede decir que, manteniendo constante la experiencia docente, el salario promedio sea superior en 13.41% para los profesores hombres.

Siguiendo a Halvorsen y Palmquist, se enceuntra el antilog de 0.1341 = 1.1435. Restando 1 de este valor, se obtiene 0.1435 o 14.35%; el salario promedio de los profesores es entonces más alto (que para las profesoras) en 14.35%. En el ejercicio 15.33 se le pide comparar los resultados de la regresión dados en (15.13.2) con los obtenidos del modelo líneal.

Regresión semilogarítmica con variable dicótoma (I)

A manera de ilustración, considérese la información dada en la tabla 15.5 que relaciona el salario de iniciación (Y) con años de expericiencia docente (X2) y el sexo (D=1 para los profesores hombres). Suponiendo el modelo (15.13.1), se obtienen los siguientes resultados

Interpretación de las variables dicótomas en regresiones semilogarítmicas (II)

Siguiendo el capítulo 6, se interpreta el coeficiente β2 como el que da el cambio relativo (o cambio porcentual cuando se multiplica el cambio relativo por 100) en el valor de la media de Y por un cambio unitario en X. Por tanto, en el presente ejemplo, si la experiencia docente aumenta en un año, el cambio relativo en el salario de iniciación promedio será igual a β2. Esta interpretación puede aplicarse  a un cambio en el valor de cualuier regresor, siempre y cuando el regresor sea una variable continua y no dicótoma como es el caso de la varible dicótoma, Pero se puede obtener el cambio relativo en la media de Y aun para variables dicótomas mediantes el mecanismo sugerido por Halvorsen y Palmquist: tome el antilog(base e) del coeficiente dicótomo estimado y reste 1 de éste.

Interpretación de las variables dicótomas en regresiones semilogarítmicas (I)

Recuérdese el análisis con respecto  los modelos de regresión log-lin donde la variable regresada es logarítmica y los regresores son lineales. Para ser específicos, considérese el siguiente modelo:

ln Yi = β1  + β2Xi + β3Di + ui

donde Y = es el salario de iniciación de los profesores de universidad, X = años de experiencia docente y D = 1 para hombres e igual a cero de lo contrario.

  

Algunos aspectos técnicos del método de la variable dicótoma

En esta sección se analizan algunos puntos específicos sobre el uso de las variables dicótomas en el análisis de regresión.

Ejemplo, Funciones de inversión para las compañias General Motors y Westinghouse

Utilizando la información dada en la tabla 15.4, se obtienen las siguientes estimaciones de (15.10.4)

Como lo indican estos resultados, puesto que el intercepto diferencial dicótomo no es estadísticamente significativo, se puede concluir que las funciones de inversión de la G.M. y de la Westinghouse tienen estadísticamente los mismos interceptos. Por supuesto, esta conclusión debe tomarse con un poco de reserva, puesto que solamente hemos permitido que difieran los interceptos y no las pendientes. El hecho de que el estadístico Durbin-Watson sea bajo sugiere que probablemente hay errores de especificación en (15.2.4) Es de admitir que la regresión (15.2.4) fue seleccionada solamente para demostrar el uso de la variables dicótomas en la información agrupada.

Regresión agrupada: manejo de series de tiempo e información de corte transversal, agrupadas (V)

Con estos supuestos, se escribe (15.12.3) como

donde D1t = 1 para observaciones sobre G.M. y 0 de lo contrario. Así, si β4 en (15.12.4) es estadísticamente significativo, quiere decir que el valor del intercepto de la función de inversión de G.M. es diferente de aquél de la función de inversión de la Westinghouse. En otras palabras, β4 es el valor del intercepto diferencial. En el ejercicio 15.32 se le pide al lector introducir los coeficientes diferenciales de pendiente.

Regresión agrupada: manejo de series de tiempo e información de corte transversal, agrupadas (IV)

Considérense ahora los problemas de estimación de (15.12.3). Supóngase que se estima mediante el procedimiento usual MCO: Simplemente se ordenan las observaciones de la G.M. y de la Westinghouse, de tal manera que las primeras 20 observaciones corresponden a G.M. y las últimas 20 correspondan a la Westinghouse. Es este procedimiento equivocado?

Tal procedimiento supone implícitamente que los parámetros de regresión no cambian en el tiempo (estabilidad temporal) y que no difieren entre las diversas unidades de corte transversal (estabilidad de corte transversal). También está implícito en ese procedimiento el supuesto de que la varianza del error, de las funciones de inversión de la G.M. en el tiempo t no está correlacionado con el término de error en la función de inversión de la Westinghouse en el tiempo t. Estos son obviamente supuestos poco probables. Existen diversas formas de suavizar estos supuestos y de incorporarlos al procedimiento de estimación. Desafortunadamente, el tiempo, el espacio y las limitantes matemáticas impiden avanzar más con ellos. Se presentará solamente un caso en donde se supone que los valores del intercepto en las funciones de inversión de la G.M. y de la Westinghouse son diferentes (cuestión de estabilidad de corte transversal) pero que los coeficientes de las pendientes son los mismos. También se supone que el término de error en la regresión agrupada tiene las propiedades MCO usuales para todas las observaciones de series de tiempo y de corte transversal.

Regresión agrupada: manejo de series de tiempo e información de corte transversal, agrupadas (III)

Tercero, por qué no agrupar todas las 40 observaciones (20 observaciones de series de tiemp para cada una de las dos firmas) y estimar la siguiente regresión?

donde i representa la firma iésima y t representa al periodo de tiempo iésimo. En nuestro ejemplo i = 2 y t = 20, dando así un total de 40 observaciones. La ecuación (15.12.3) es un ejemplo de una regresión agrupada en donde las observaciones de series de tiempo y de corte transversal han sido combinadas o agrupadas. Tales regresiones se estiman frecuentemente en situaciones en donde se tienen muy pocas observaciones de corte transversal (como en el presente caso) y un buen número de observaciones de series de tiempo. Como escriben Vinod y Ullah:

Cuando se está trantando con información de corte transversal y de series de tiempo en donde cada muestra individual de corte transversal es pequeña de tal forma que no es posible realizar inferencias precisa sobre los coeficientes, es un práctica frecuente en el trabajo aplicado reunir todos los datos y estimar una regresión común. La motivación básica para agrupar información de series de tiempo y de corte transversal es que si el modelo está apropiadamente especificado, la agrupación proporciona una estimación más eficiente, permite la inferencia y posiblemente la predicción.

Regresión agrupada: manejo de series de tiempo e información de corte transversal, agrupadas (II)

Primero, se puede efectuar la siguiente regresión de series de tiempo para cada empresa separadamente:

Utilizando la técnica de la variable dicótoma o la prueba de Chow, se puede averiguar si los parámetros de las dos funciones de inversión son los mismos.

Segundo, para cada año se puede estimar una regresión de corte transversal. Desafortunadamente, en el caso actual no puede hacerse porque solamente hay dos observaciones de corte transversal (las dos firmas) pero son tres los parámetros que van a ser estimados, lo cual es imposible. Si se tuviera, por ejemplo, información sobre cuatro empresas al menos, se podría estimar dicha regresión de corte transversal para cada uno de los 20 años, dando un total de 20 regresiones de corte transversal.

Regresión agrupada: manejo de series de tiempo e información de corte transversal, agrupadas (I)

Considérese la información dada en la tabla 15.4, tomada de un estudio famoso de la teoría de la inversión propuesto por Y. Grunfeld estaba interesado en averiguar la forma como la inversión bruta (Y) depende del valor de la firma (X2) y de las existencias de capital (X3). En esta tabla hay datos para cada una de estas tres variables para cada año, considerado para General Motors y para Westinghouse (por el momento, ignore la información para General Electric, pero véase el ejercicio 15.31). Estos son un ejemplo de información de corte transversal. Así mismo, para cada firma se tiene datos sobre estas variables durante 20 años. Estos son un ejemplo de datos de series de tiempo. Ahora, para estudiar la respuesta de Y a X2 y X3, se puede proceder en una de tres formas diferentes.

El uso de las variables dicótomas al combinar series de tiempo e información de corte transversal

Para ilustrar la versatilidad de las variables dicótomas, se considera en esta sección aun otra aplicación.

Costo total con relación a la producción (II)

Como lo muestran estos resultados, el costo marginal de producción es de cerca de 28 centavos de dólar por unidad y aunque éste es cerca de 37 centavos (28 + 9) para la producción por encima de 5500 unidades, la diferencia entre los dos no es estadísticamente significativa puesto que la variable dicótoma no es significativa, por ejemplo, al nivel del 5%. Para todos los fines prácticos, entonces, se puede efectuar la regresión del costo total sobre la producción total, eliminando la variable dicótoma.

Costo total con relación a la producción (I)

Como ejemplo de aplicación de la regresión lineal por tramos, considérese la información hipotética sobre costo total-producción total dada en la tabla 15.3. Se dice que el costo total puede cambiar su pendiente al alcanzar un nivel de producción de 5500 unidades.

Regresión lineal por tramos (III)

Asi, β1 corresponde a la pendiente de la línea de regresión en el segmento I y β1 + β2 corresponde a la pendiente de la línea de regresión en el segmento II de la regresión lineal por trmos que aparace en la figura 15.8. Es fácil realizar una prueba sobre la hipótesis de que no existe, en la regresión, una discontinuidad en el valor del umbral X* observando la significancia estadística del coeficiente estimado de la pendiente diferencial β2

A propósito, la regresión lineal por tramosque se acaba de exponer es un ejemplo de una clase más general de funciones conocidas como funciones de spline.

Regresión lineal por tramos (II)

(Nota: además de las ventas, hay otros facores que afectan la comisión de las ventas. Supóngase que estos otros factores están represetandos por el término de perturbación estocástico):Más específicamente, se supone que la comisión de ventas aumenta linealmente con las ventas hasta el nivel del umbral X*, después del cual ésta también aumenta linealmente con las ventas pero a una tasa mayor. Por tanto, se tiene una regresión lineal por tramos que consta de dos piezas o segmentos lineales, a los cuales se les da el nombre de I y II en la figura 15.8 y la función de las comisiones cambia su pendiente en el valor del umbral. dada la información sobre comisiones, ventas y el valor del nivel del umbral X*, la técnica de las variables dicótomas puede ser utilizada para estimar las diferentes pendientes de los dos segmentos de la regresión lineal por tramos que aparece en la figura 15.8. Se procede de la siguiente manera:

Regresión lineal por tramos (I)

Para ilustrar una vez más eluso de las variables dicótomas, considérese la figura 15.8, que muestra la forma como una compañia hipótetica remunera a sus representantes de ventas. Ésta paga comisiones con base en las ventas de tal forma que hasta un cierto nivel, meta, o  umbral, el nivel X*, existe una estructura de comisiones (estocástica), mientras que por encima de ese nivel existe otra .

Comportamiento de las utilidades y de las ventas en la industria manufacturera de los Estados Unidos (V)

El lector podrá darse cuenta de que (15.10.3) es una versión restringida de (15.10.2), siendo la restricción que el intercepto para el primero, tercero y cuarto trimestres son iguales. A Juzgar por los resultados de (15.10.2), se podría esperar que éstas restricciones sean válidas pero se sabe, del capítulo 8, como probarlas explícitamente. En el ejercicio 15.21, se pide verificar que estas restricciones sean realmente validas. Por consiguiente, la conclusiones se mantienen igual que antes - hay algún patrón estacional solamente en el segundo trimestre.

En la formulación del modelo (15.10.1) se supuso que solamente el término de intercepto difiere entre trimestre, siendo el coeficiente de la pendiente de la variable ventas el mismo en cada trimestre. siendo el coeficiente de la pendiente de la variable de ventas el mismo en cada trimestre. Pero este supuesto puede probarse por la técnica dicótoma multiplicativa de variable dicótoma analizada anteriormente.

Comportamiento de las utilidades y de las ventas en la industria manufacturera de los Estados Unidos (IV)

Puesto que el segundo trimestre parece ser diferente del resto, si se desea, se podría efectuar nuevamente la regresión (15.10.2) utilizando solamente una variable dicótoma para diferenciar el segundo trimestre del resto de la siguiente manera:

donde D2 = 1 para la observación en el segundo trimestre y cero para las demás.

Comportamiento de las utilidades y de las ventas en la industria manufacturera de los Estados Unidos (III)

Los resultados muestran que solamente el coeficiente de ventas y el intercepto diferencial asociado con el segundo trimestre  son estadísticamente significativos al nivel del 5%. Así, se puede concluir que hay algún factor estacional operando en el segundo trimestre de cada año. El coeficiente de ventas de 0.0383 indica que, después de tener en cuenta el efecto estacional, si las ventas aumentan, por ejemplo en US$ 1, se espera que las utilidades promedio aumenten en cerca de 4 centavos. El nivel promedio de la utilidades en la base o primer trimestre fue US$ 6,688 y en el segundo trimestre fue superior en alrededor de US$ 1,323 o fue alrededor de US$ 8,011.

Comportamiento de las utilidades y de las ventas en la industria manufacturera de los Estados Unidos (II)

Utilizando los datos dados en el apéndice 15A, sección 15A.2, se obtuvieron los siguientes resultados (la cifras de utilidades y de ventas están expresadas en millones de dólares):

Comportamiento de las utilidades y de las ventas en la industria manufacturera de los Estados Unidos (I)

Obsérvese que se está suponiendo que la variable "estación" tiene cuatro categorías, los cuatro trimestres de un año, requiriendo con esto el uso de tres variables dicótomas. Así, si hay un patrón estacional presente en los diferentes trimestres, los interceptos diferenciales estimados α2, α3 y α4 serán estadísdicamente significativos y lo reflejarán. Es posible que sólo algunos de estos interceptos diferenciales sean estadísticamente significativos, de tal modo que sólo algunos trimestres pueden reflejarlo. Pero el modelo (15.10.1) es suficientemente generalpara acomodar todos estos casos. (Obsérvese que el primer trimestre del año se considera como el trimestre base).

Uso de las variables dicótomas en el análisis estacional (II)

Hay diversos métodos para desestacionalizar una serie de tiempo, pero se considerará solamente uno de ellos, a saber, el método de las variables dicótomas. Para ilustrar la forma como las variables dicótomas pueden ser utilizadas para desestacionalizar las series de tiempo económicas, supóngase quesedesea efectuar la regresión de las utilidades de las corporaciones manufactureras de los Estados Unidos  sobre sus ventas durante el período 1965-1970 con información trimestral. La información relevante, sin ajuste estacional, está dada en el apéndice 15A. sección 15A.2 que muestra también la forma como se prepara la matriz de datos para incorporar las variables dicótomas. Una mirada a esta información revela un patrón interesante. Tanto las utilidades como las ventas son más elevadas en el segundo trimestre que en el primero o el tercero de cada año. Posiblemente, el segundo trimestre presenta algún efecto estacional. Para investigar esto, se procede de la siguiente manera.

Uso de las variables dicótomas en el análisis estacional (I)

Muchas series de tiempo económicas basadas en información mensual o trimestral presentan patrones estacionales (movimiento oscilatorio regular). Como ejemplos están las ventas de almacenes de departamento de la época de Navidad, la demanda de dinero (saldos de efectivo) por parte de las familias en épocas de vacaciones, la demanda de helado y de bebidas refrescantes durante el verano y los precios de los cultivos justo después de la época de cosecha. Frecuentemente es útil eliminar el factor o componente etacional de las seris de tiempo con el fin de poderse conecentra en loo demás componentes, tales como al tendencia. El proceso de eliminar el componente estacional de una serie de tiempo se conoce como desestacionalización, o ajuste estacional y la serie de tiempo así obtenida e denomina serie de tiempo desestacionalizada o ajustada estacionalmente. Las series de tiempo económicas importantes, tales como el índice de precios al consumidor, el índice de precios al por mayor y el índice de producción industrial, frecuentemente son publicados en forma ajustada estacionalmente.

Efectos de interacción (III)

De (15.9.2), se obtiene

lo cual muestra que el gasto promedio en vestido de las mujeres profesionales es diferente (por α4) del gasto promedio en vestido de las mujeres o de los profesionales. Si α2, α3 y α4 son todos positivos, el gasto promedio en vestido de las mujeres es más alto (que la categoría base, que se hombre no profesional), pero es mucho más alto si las mujeres también resultan ser profesionales. En forma similar, el gasto promedio en vestido de un profesional tiende a ser superior que el de la categoría bae, pero mucho más si el profesional resulta ser una mujere. Esto muestra cómo la variable dicótoma de interacciónmodifica el efecto de los atributos considerados individualmente.

La significancia estadística del coeficiente de la variable dicótoma de interacción se puede evaluar por medio de la prueba t usual. Si ésta resulta ser significativa, la presencia simultánea de los dos atributos atenuará o reforzará los efectos individuales de estos atributos. Sobra decir que la omisión de un términode interacción significativo llevará a un sesgo de especificación.

Efectos de interacción (II)

En muchas aplicaciones, al supuesto puede ser imposible de mantener. Una mujer profesional puede gastar más en ropa que un hombre profesionale. En otras palabras, puede haber interacción entre dos variables cualitativas D2 y D3 y, por consiguiente, su efecto sobre la media de Y puede no ser aditivo como en (15.9.1) sino multiplicativo, como en el siguiente modelo:

Efectos de interacción (I)

Considérese el siguiente modelo:

En este modelo está implícito el supuesto de que el efecto diferencial de la variable dicótoma sexo D2 es constante a través de los dos niveles de educación y el efecto diferencial de la variable dicótoma D3 educación, es también constante a través de los dos sexos. ES decir, si, por ejemplo, el gasto medio en un vestido es más alto para las mujeres que para los hombres, ésto sucede ya sean ellos profesionales o no. De la misma manera, si por ejemplo, en promedio los profesionales gastan más en ropa que los no profesionales, ésto se tiene yasean ellos hombres o mujeres.

Ejemplo Comportamiento del desempleo y de las vacantes sin llenar: Gran Bretaña, 1958-1971 (IV)

Con base en los criterios usuales, la regresión estimada muestra un ajuste excelente. Obsérvese que tanto el intercepto diferencial como los coeficientes de las pendientes son estadísticamente significativos al nivel del 5% (una cola). Así, se puede aceptar la hipótesis de que definitivamente hubo un desplazamiento en la relación UN-V a partir del cuarto trimestre de 1966.

De la regresión anterior, se pueden derivar las siguientes regresiones:

Ejemplo Comportamiento del desempleo y de las vacantes sin llenar: Gran Bretaña, 1958-1971 (III)

Con base en 51 observaciones para el período 1958-IV a 1971-II, se obtuvieron los siguientes resultados (los datos observados utilizados se presentan en el ápendice 15A, sección 15A.1; si el lector lo desea puede examinar esta información ya que ésta muestra la forma como se introducen las variables dicótomas).

Ejemplo Comportamiento del desempleo y de las vacantes sin llenar: Gran Bretaña, 1958-1971 (II)

Para verificar si la desviación observada en la relación desempleo-vacantes que comenzó a observarse a partir del cuarto trimestre de 1966 era estadísticamente significativa, el autor utilizó el siguiente modelo.

Figura Diagrama de dispersión de las tasas de desempleo y de la tasa de empleo-vacantes, Gran Bretaña, 1958-IV a 1971-II

Ejemplo Comportamiento del desempleo y de las vacantes sin llenar: Gran Bretaña, 1958-1971 (I)

Al estudiar la relación entre la tasa de desempleo y la tasa de vacantes sin llenar enla Gran Bretaña durante el periodo 1958-IV a 1971-II, el autor obtuvo el diagrama de dispersión que aparece en la figura 15.6. Como se observa en la figura, al principio del cuarto trimestre de 1966, la relación desempleo vacantes parece haber cambiado; la curva que relaciona las dos variables parece haberse desplazado hacia arriba a partir de este trimestre. Este desplazamiento hacia arriba implica que para una tasa dada de empleos-vacantes hay más desempleo en el cuarto trimetre de 1966 que antes. En este estudio, el autor encontró que una posible causa del desplazamiento hacia arriba fue que en octubre de 1966 (es decir, en el cuarto trimestre) el gobierno laborista de entonce promulgó la ley nacional de seguros, remplazando el sistema de tasas constantes de beneficios de desempleo de corto plazo, por un sistema mixto de una tasa fija y otros beneficios (previos) relacionados con los ingresos, lo cual obviamente aumentó el nivel de beneficios para los desempleados. Si los beneficios de los desempleados aumentan, es más probable que el desempleado tome más tiempo para buscar trabajo, reflejando así una mayor cantidad de desempleo para cualquier tasa dada de empleos vacantes.

Comparación de dos regresiones ilustración adicional

Debido a su importancia práctica, se considera otro ejemplo del uso de la técnica de la variable dicótoma para probar la equivalencia de dos (o más) regresiones.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (VIII)

4. Finalmente, puesto que la agrupación aumenta los grados de libertad, ésta puede mejorar la precisión relativa de los parámetros estimados.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (VII)

3. La prueba de Chow no dice explícitamente cuál coeficiente, el del intercepto o el de la pendiente, es diferente o si (como sucede en este ejemplo) ambos son diferentes en los dos períodos, es decir, se puede obtener una prueba de Chow significativa porque sólo la pendiente es diferente o sólo el intercepto es diferente o ambas son diferentes. En otras palabras, no se puede decir, mediante la prueba de Chow, cuál de las cuatro posibilidades señaladas en la figura 15.4 existe en un momento dado. A este respecto, el enfoque de la variable dicótoma tiene una ventaja clara, ya que no solamente dice si las dos regresiones son diferentes, sino que señala la fuente o las fuentes de la diferencia - si ésta se debe al intercepto o a la pendiente o a ambos., En la práctica, el conocimiento de que las dos regresiones difieren en éste o en ese coeficiente es tanto o más importante que el conocimiento simple de que son diferentes.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (VI)

2. La regresión simple puede ser utilizada para probar una diversidad de hipótesis. Así, si el coeficiente del intercepto diferencial α2 no es estadísticamente significativo, se puede aceptar la hipótesis de que las dos regresiones tienen el mismo intercepto, es decir, las dos regresiones son concurrentes (véase figura 15.4c) En forma similar, si el coeficiente diferencial de pendiente β2 no es estadísticamente significativo pero α2 lo es, por lo menos puede no rechazarse la hipótesis de que las dos regresiones tengn la misma pendiente, es decir, las dos línea de regresión son prelela (véase figura 15.4b). La prueba de estabilidad de regresión completa (es decir, α2 = β2 = 0 simultáneamente) puede hacerse mediante la prueba F de significancia global de la regresión estimada estudiada en el capitulo 8. Si esta hipótesis se mantiene, las lineas de regresión serán coincidentes, como se muestra en la figura 15.4a.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (V)

1. Se requiere efectuar solamente una regresión simple porque las regresiones individuales pueden deducirse fácilmente de ésta en la forma indicada por las ecuaciones (15.7.2) y (15.7.3).

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (IV)

Como el lector puede verlo,estas regresiones son iguales a las obtenidas del procedimiento multipaso de Chow, lo cual puede verse de las regresiones dadas en la sección 8.8.

Las ventajas de la técnica de variable dicótoma [es decir, la estimación de (15.7.1)] sobre la prueba de Chow [es decir, la estimación de las tres regresiones (8.8..1). (8.8.2) y la regresión "agrupada" individualmente] pueden verse fácilmente en los siguientes posts.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (III)

Como lo demuestra esta regresión, tanto los coeficientes diferenciales de intercepto como los coeficientes diferenciales de las pendientes son estadísticamente significativos, dando un fuerte indicio de que las regresiones para los dos periodos son diferentes (vease figura 15.4d). Entonces, siguiendo (15.7.2) y (15.7.3), se pueden derivar la dos regresiones de la siguiente forma (Nota: D=1 para el primer periodo; véas figura 15.5):

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (II)

En (15.7.1), α2 es el intercepto diferencial, igual que antes y ß2 es el coeficiente diferencial de pendiente, indicando en cuánto difiere el coeficiente de pendiente de la función de ahorro del primero periodo del coeficiente de pendiente de la función de ahorro del segundo periodo. Obsérvese como la variable dicótoma D se introduce en forma multiplicativa (D multiplicado por X), permitiendo diferenciar entre los coeficientes de las pendientes de los dos periodos, de la misma manera, la introducción de la variable dicótoma en forma aditiva permite distinguir entre los interceptos de los dos períodos.

Retornando a los datos de ahorro-ingreso dados en la tabla 15.2, se encuentra que la estimación empírica de (15.7.1) es

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (I)

El procedimiento de multipaso de la prueba de Chow analizado en la sección 8.8 puede ser acortado sustancialmente mediante el uso de las variables dicótomas. Aunque las conclusiones globales  derivadas de las pruebas de Chow y de variables dicótomas en una aplicación dad son las mismas, el método de variables dicótomas tiene algunas ventajas que serán explicadas después de presentar el método utilizando el mismo ejemplo ahorro-ingreso.

Reuniendo todas las observaciones n1 y n2 y estimando la siguiente regresión

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (IV)

Una de dichas técnicas estadísticas es la prueba de Chow analizada en la sección 8.8. La prueba de Chow mostró que lo parámetros de la función de ahorro entre los periodos de reconstrucción y postreconstrucción en efecto cambiaron.

Como alternativa a la prueba de Chow, en la siguiente sección se muestra la forma cómo la técnica de la variable dicótoma maneja el problema de cambio estructural o quiebre y cuáles son algunas de sus ventajas con respecto a la prueba de Chow.

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (III)

De la información dada en la tabla 15.2,  se pueden efectuar las dos regresiones individuales (15.6.1) y (15.6.2) y luego utilizar una o varias técnicas estadíticas para probar todas las posibilidades anteriores es decir, para encontrar si la función de ahorro ha sufrido un cambio estructural entre lo dos periodos de tiempo. Por cambio estructural se entiende que los parámetros de la función de ahorro han cambiado.:

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (II)

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (I)

Como lo muestra la tabla, la información está dividida en dos periodos, 1946-1954 (período inmediatamente posterior a la Segunda Guerra Mundial, o de reconstrucción) y el lapso 1955-1963 (de postreconstrucción). Supóngse que se desea averiguar si la relación agregada ahorro ingreso ha cambiado entre los dos periodos. Para ser específico sea:

Prueba de estabilidad estructural de los modelos de regresión

Hasta ahora, en los modelos considerados en este capítulo, se supuso que las variables cualitativas afectan al intercepto pero no al coeficiente de pendiente de los diversos subgrupos de regresión. Pero, Qué sucede si las pendientes también son diferentes? Si las pendientes son en realidad diferentes, la prueba de las diferencias en los interceptos puede ser de poca significancia práctica. Por consiguiente, se requiere desarrollar una metodología general para encontrar i una o más regresiones son diferentes, donde la diferencia pueda estar en los interceptos o en las pendientes o en ambos. Para ver la forma comoesto puede hacerse,  considérese la información sobre ahorro-ingreso para el Reino Unido dada en la tabla 8.8, la cual, por conveniencia, se reproduce  en la tabla 15.2.

Ejemplo La economías del "Doble Empleo" (II)

En el modelo (15.5.1), hay dos variables explicativas cuantitativa, wo y la edad y cuatro variables cualitativas.Obsérvese que los coeficientes de todas estas variables son estadísticamente significativos al nivel del 5%. Lo que es interesante de anotar es que todas las variables cualitativas afectan los salarios del doble empleo significativamente. Por ejemplo, manteniendo todos los demá factores constantes, e espera que el nivel del salario hora sea más alto en un nivel alrededor de 47 centavos para la persona graduada de bachiller que para aquellos sin grado de bachiller.

De la regresión (15.5.1), se pueden derivar diveras regresiones individuales, dos de las cuales son las siguientes: la media de la tasa de salarios hora de personas blancas, no urbanas, de una región no occidental y no graduados con doble empleo (es decir, cuando todas las variables dicótomas son iguales a cero) es:

wm = 37.07  +  0.403wo   +  2.26edad (15.5.2)

La media de la tasa de salarios hora de una persona no blanca, urbana, del occidente, bachiller (es decir, cuando todas las variables dicótomas son iguales a 1) es

wm = 183.47 + 0.403wo  + 2.26 edad   (15.5.3)

Ejemplo La economías del "Doble Empleo" (I)

Una persona que posee los dos o más empleos, uno primario y uno más secundarios se conoce como "doble empleada." Shisko y Rotsker estaban interesados en encontrar cáles factores determinan los salarios de las personas doblemente empleadas. Con base en una muestra de 3.18 personas con doble empleo, ellos obtuvieron la siguiente regresión, la cual se presenta en la notación utilizada por los autores (los errores estándar en paréntesis).

REgresión con una variable cuantitativa y dos variables cualitativas (III)

Una estimación MCO de (15.4.1) permitirá probar una diversidad de hipótesis. Por tanto, sí α3 es etadísticamente significativo, dirá que la raza afecta el salario de los profesores. En forma similar, si α2 es estadísticamente significativo, implicará que el sexo también afecta el salario de los profesores. Si estos dos interceptores diferenciales son estadísticamente significativos, querrá decir que tanto el sexo como el colo son determinantes importantes de los salarios de los profesores.

DEl análisis anterior se deduce que se puede extender el modelo para incluir más de una variable cuantitativa y más de dos variables cualitativas. La única precaución que debe tomarse es que el número de variables dicótomas para cada variable cualitativa debe ser una menos que el número de categoría de esa variable. En la siguiente sección se da un ejemplo de esto.

REgresión con una variable cuantitativa y dos variables cualitativas (II)

Obsérvse que cada una de las dos variables cualitativas, el sexo y la raza, tiene dos categorías y, por tanto, se requiere de una variable dicótoma para cada una. Obsérvese además que la categoría omitida, o base, ahora es "profesora negra".

Suponiendo que E(ui) = 0, se puede obtener la siguiente regresión a partir de (15.4.1):

REgresión con una variable cuantitativa y dos variables cualitativas (I)

La técnica de la variable dicótoma puede extenderse fácilmente para manejar más de una variable cualitativa. Retornando a la regresión de salarios de profesores universitarios (15.2.1), pero suponiendo ahora que adicionalmente a los años de experiencia docente y al sexo, la raza del profesor es también un determinante importante del salario. Por simplicidad, supóngase que la raza tiene dos categorías: negra y blanca. Ahora se puede escribir (15.2.1) como

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos clases (III)

Una vez efectuada la regresión (15.3.1), se puede encontrar fácilmente si los interceptos diferenciales α2 y α3 son estadísticamente significativos a nivel individual, es decir, diferentes al grupo base. Una prueba de la hipótesis de que α2 = α3 = 0 simultáneamente puede hacerse también mediante la ténica ANOVA y la prueba F correspondiente, como se muestra en el capítulo 8.

A propósito, obsérvese que la interpretación de la regresión (15.3.1) cambiaría si se hubiera adoptado un esquema diferente de asignación a las variables dicótomas. Por tanto, si se asigna D2 = 1 a la categoría "educación primaria", y D3 = 1 a la categoría de "educación secundaria", la categoría de referencia será entonces la "educación universitaria" y todas las comparaciones se harán en relación con esta categoría.

Figura Gasto en salud en relación con el ingreso para tres niveles de educación

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos clases (II)

Obsérvese que en la asignación anterior de las variables dicótomas, se considera arbitrariamente la categoría "educación primaria" como la categoría base. Por consiguiente, el intercepto α, reflejará el intercepto para esta categoría. Los interceptos diferenciales α2 y α3 dicen qué tanto difieren los interceptos de las otras dos categorías del intercepto de la categoría base, lo cual puede verificarse fácilmente de la siguiente manera: Suponiendo que E(ut) = 0, se obtiene de (15.3.1)

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos clases (I)

Supóngase que, con base en la información de corte transversal, se desea efectuar la regresión del gasto anual en salud por parte de un individuo sobre el ingreso y la educación del individuo. Puesto que la variable educación es cualitativa por naturaleza, supóngase que se cosideran tres niveles de educación mutuamente excluyentes: primaria, secundaria y universitaria. Ahroa, a diferencia del caso anterior, se tienen más de dos categorías de la varible cualitativa educación. Por consiguiente, siguiendo la regla de que el número de variables dicótomas sea uno menos que el número de categorias de la variable, se deben introducir dos variables dicótomas para cubrir los tres niveles de educación. Suponiendo que los tres grupos educacionales tienen una pendiente común pero diferentes interceptos en la regresión del gasto anual en salud sobre el ingreso anual, se puede utilizar el siguiente modelo:

Ejemplo 15.2 Son los inventarios sensibles a las tasas de interés? (II)

Aunque todos los coeficientes son estadísticamente significativos y tienen los signos esperados, este análisis se concentrará en la variable dicótoma. Los resultados muestran que la razón de inventario a ventas es más alta (=1.2690 + 0.0734) durante el periodo posterior a la recesión de 1974, que en el periodo previo. Así, la línea de regresión es, en realidad un plano, puesto que el último período es paralelo pero está situado a un nivel más elevado de la línea correspondiente al período previo (compárese con la figura 15.2). Los autores no analizan las razones para esto pero probablemente se está reflejando la severidad de la recesión de 1974.

Ejemplo 15.2 Son los inventarios sensibles a las tasas de interés? (I)

Dan M. Bechter y Stephen H. Pollock estimaron el siguiente modelo para explicar las fluctuaciones de inventario en el sector del comercio al por mayor de la economía de los Estados Unidos durante 1967-IV a 1979-IV (razones t en paréntesis).

I/S = 1.269 - 0.3615C + 0.0215S - 0.0227S
(19.6)   (-2.2)         (5.7)       (-2.4)
               - 0.2552U  + 0.0734DUM
                  ( -2.4)            (4.8)            R²   =  0.71              d = 1.91

donde I/S inventarios en dólares constantes divididos por ventas en dólares constantes, C = tasa mensual a 4 y 6 meses sobre documentos negociables preferenciales menos el cambio porcentual de un año anterior en el índice de precios al productor para los bienes de consumo final,. S = ventas esperadas en el periodo actual, en donde estas ventas esperadas son iguales a la tendencia de las ventajas ajustadas por las desviaciones de la tendencia en el período anterior, todo en dólares constantes, U = incertidumbre en las ventas medida por la volatilidad de las ventas alredor de la tendencia y DUM = variable dicótoma, que adquiere un valor de cero para 1967-IV a 1974-I y de 1 para 1974-II a 1979-IV.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (VIII)

El coeficiente α2 que acompaña a la variable dicótoma D puede llamarse coeficiente de intercepto diferencial porque dice qué tanto difiere el valor del término de intercepto de la categoria que recibe el valor del coeficiente del intercepto de la cateogría base.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (VII)

Frecuentemente se hace referencia al grupo, categoría o clasificación al cual se asigna el valor de 0 como la categoría base, marca fija, control, comparación, referencia o categoría omitida. Esta es la base en el sentido de que se hacen comparaciones con respecto a esa categoría. Así, en el modelo (15.2.1), la profesora es la categoría base. Obsérvese que el término de intercepto (común) α1 es el término de intercepto para la categoría base en el sentido de que si se efectúa la regresión con D = 0, es decir, sobre el sexo femenino solamente, el intercepto será α1. Obsérvese también que sea cual fuera la categoría que sirve como base, éste es un asunto de selección que algunas veces obedece a consideraciones a priori.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (VI)

La asignación de los valores 1 y 0 a las dos categorías, tales como hombres y mujeres, es arbitraria en el sentido de que en el ejemplo se hubiera podido asignar D = 1 para mujeres y D =0 para hombres. En esta situación, las dos regresiones obtenidas de (15.2.1) serán

En contraste con (15.2.2) y (15.2.3) en los modelos anteriores, α2 dice en cuánto difiere el salario promedio de una profesora universitaria del salario promedio de un profesor universitario. En este caso, sí hay discriminación sexual, se espera que α2 sea negativo, mientras que antes se esperaba que fuera positivo. Por consiguiente, al interpretarlos resultados de los modelos que utilizan variables dicótomas, es de gran importancia saber la forma como los valores de 1 y de 0 han sido asignados.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (V)

La primera columna a la derecha de la matriz de datos anterior representa el término de intercepto común α1. Ahora puede verse fácilmente que D2 = 1 - D3 o D3 = 1 - D2; es decir, D2 y D3 son perfectamente colineales. Como se mostró en el capítulo 10, en casos de multicolinealidad perfecta, la estimación MCO usual no es posible. Hay diversas formas de resolver este problema, pero lo más simple es asignar las variables dicótomas en la forma que se hizo para el modelo (15.2.1), a saber, utilícese solamente una variable dicótoma si hay dos niveles o clases de las variable cualitativa. En este caso, la matriz de datos anterior no tendrá la columna titulada D3, evitando así el problema de multicolinealidad perfecta. La regla general es está: Si una variable cualitativa tiene m categorías, introdúzcase solamente m - 1 variables dicótomas. En el ejemplo, el sexo tiene dos categorías y, por tanto, se introdujo solamente una variable dicótoma. Si esta regla no se sigue, se caerá en lo que podría llamarse la trampa de la variable dicótoma, es decir, la situación multicolinealidad perfecta. (Para mayor análisis véase sección 15.13).

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (IV)

1. Para diferenciar las dos categorías, hombres y mujeres, se ha introducido solamente una variable dicótoma  Di, Si Di = 1 siempre representa hombres, se sabe que Di = 0 es mujeres puesto que solamente hay dos resultados posibles. Por tanto, es suficiente una variable dicótoma para diferenciar dos categorías. Supóngase que el modelo de regresión contiene un término de intercepto; si se fuera a escribir el modelo (15.2.1) como

Yi = α1 + α2D2i + α3D3i + βXi + ui (15.2.4)

donde Yi y Xi son como se definieron antes

D2i = 1 es un profesor
= 0 no lo es
D3i = 1 es una profesora
=0 no lo es

entonces, el modelo (15.2.4), como está planteado, no puede ser estimado debido a la presencia de colinealidad perfecta entre D2 y D3. PAra ver esto, supóngase que se tiene una muestra de tres profesores hombres y dos profesores mujeres. La matriz de datos tendrá una apariencia como la siguiente:

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (III)

Si el supuesto de una pendiente común es válido, una prueba de la hipótesis de que las dos regresiones (15.2.2) y (15.2.3) tienen el mismo intercepto (es decir, que no hay discriminación sexual) puede hacerse fácilmente efectuando la regresión (15.2.1) y evaluando la significancia  estadística del α2 estimado con base en la prueba t tradicional., Si la prueba t muestra que α2 es estadísticamente significativo, se rechaza la hipótesis nula de que los niveles de salario anual promedio de los profesores y las profesoras universitarias sean iguales.

Antes de proceder, obsérvense las siguientes características del modelo de regresión con variables dicótomas considerado anteriormente.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (II)

GEométricamente, se tiene la situación que se muestra en la figura 15.2 (como ilustración se supone que α1 > 0). En palabras, el modelo (15.2.1) postula que las funciones salario de los profesores y de las profesoras universitarias con relación a los años de experiencia docente tienen la misma pendiente (β), pero interceptos diferentes. En otras palabras, se supone que el nivel del salario promedio de lo profesores difiere de aquél de las profesoras (en α2), pero la tasa de crecimiento en el salario anual promedio por años de experiencia es el mismo para ambos sexos.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (I)

Como ejemplo del modelo ANCOVA, se modifica el modelo (15.1.1) de la siguiente manera:

Figura Funciones de salario de profesores universitarios mujeres y hombres

Ejemplo Salario de los profesores universitarios por sexo (III)

Los modelos ANOVA del tipo de (15.1.1), aunque son comunes en campos tales como la sociología, la sicología, la educación y la investigación de mercados, no lo son tanto en economía. Típicamente, en la mayor parte de la investigación económica, un modelo de regresión contiene algunas variables explicativas que son cuantitativas y algunas que son cualitativas. Los modelos de regresió que contienen una mezcla de variables cuantitativas y cualitativas se llaman modelos de análisis de covarianza (ANCOVA) y en gran parte de este capítulo, se tratarán tales modelos.

Ejemplo Salario de los profesores universitarios por sexo (II)

Puesto que β es estadísticamente significativo, los resultados indican que los salarios promedio de las dos categorías son diferentes; el salario promedio de los profesores es, en realidad, más bajo que el salario de sus colegas masculinos. Si todas las demás variables se mantienen constantes (una gran condición), es muy probable que hay discriminación por sexos en los salarios. Por supuesto, el presente modelo es muy simple para responder a esta pregunta en forma definitiva, especialmente considerando que la información utilizada en el análisis es de naturaleza hipotética.

A propósito, es inversamente verla regresión (15.1.3) gráficamente, la cual aparece en la figura 15.1. En esta gráfica la información ha sido ordenada agrupándola en dos categoría, profesoras universitarias y profesores universitarios. Como puede verse en esta figura, la función de regresión resultante es una función escalonada, el salario promedio de las profesoras es US$ 18,000 y el salario promedio de los profesores da un salto de US$ 3,280 (=β2) para situarse en US$ 21,280; los salarios de los profesores individuales n los dos grupos se encuentran alrededor de sus respectivos salarios medios.

Ejemplo Salario de los profesores universitarios por sexo (I)

En la tabla 15.1 e presenta información hipotética sobre los salarios de iniciación de 10 profesores universitarios según el sexo del profesor. Los resultados correspondientes a la resgresión (15.1.1) son los siguientes:

Como lo demuestran estos resultados, el salario promedio estimado de las profesoras universitarias es US$ 18,000 (= α) y el de los profesores es US$ 21,280 (α + β); de la información en la tabla 15.1, puede calcularse fácilmente que los salarios promedio de las profesoras universitarias y de los profesores son U@$ 18,000 y US$ 21.280, respectivamente, valores que son exactametne iguales a los estimados.

Naturaleza de las variables dicótomas (IV)

Efectuando la regresión (15.1.1) en la forma usual, puede hacerse fácilmente una prueba de la hipótesis nula de que no hay discriminación por sexo (Ho: β = 0) y es posible averiguar si, con base en la prueba t, el β estimado es estadísticamente significativo.

Naturaleza de las variables dicótomas (III)

Obsérvese que (5.1.1) se parece a los modelos de regresión de dos variables presentados anteriormente, excepto que en lugar de tener una variable cuantitativa X se tiene una variable dicótoma D (en lo sucesivo, se designarán todas las variables dicótomas por la letra D).

El modelo (15.1.1) puede servir para enconrtrar si el sexo es la causa de cualquier diferencia en el salario de un profesor universitario, suponiendo, por supuesto, que todas las demás variables tales como la edad, el grado alcanzado y los años de experiencia se mantienen constantes. Suponiendo que las perturbaciones satisfacen los supuestos usuales del modelo clásico de regresión lineal, de (15.1.1) se obtiene:

es decir, el término intercepto α da el salario promedio de las profesoras universitarias y el coeficiente pendiente β dice en cuánto difiere el salario promedio de un profesor universitario del salario promedio de su colega femenina, estando el salario promedio de un profesor universitario masculino representado por α + β.

Naturaleza de las variables dicótomas (II)

Las variables dicótomas pueden ser utilizadas en los modelos de regresión en forma tan fácil como las variables cuantitativas. De hecho, un modelo de regresión puede contener variables explicativas que son exclusivamente dicótomas, o cualitativas, por naturaleza. TAles modelos se denominan modelos de análisis de varianza (ANOVA). Como ejemplo, considérese el siguiente modelo":

Naturaleza de las variables dicótomas (I)

En el análisis de regresión, la variable dependiente está influenciada frecuentemente no sólo por variables que pueden ser fácilmente cuantificadas sobre una escala bien definida (por ejemplo: ingreso, producción, precios, costos, estatura y temperatura), sino también por variables que son esencialmente cualtitativas por naturaleza (por ejemplo, sexo, raza, color, religión, nacionalidad , guerras, terremotos, huelgas, trastornos políticos y cambios en la política económica gubernamental ). Por ejemplo, manteniendo los demás factores constantes, se ha encontrado que las profesoras universitarias ganan menos que sus colegas masculinos y que las personas de color ganan menos que las blancas. Este patrón puede resultar de la discriminación sexual o racial, pero cualquiera que sea la razón, las variables cualitativas tales como sexo y raza si influyen sobre la variable dependiente y es claro que deben ser incluidas dentro de la explicativas.

Puesto que tales variables cualitativas usualmente indican la presencia o ausencia de una "cualidad" o atributo, tal como femenino o masculino, negro o blanco, o católico o no católico, un método de "cuantificar" tales atributos es mediante la construcción de variables artificiales que pueden adquirir valores de 1 o de 0, el 0 indicando ausencia del atributo y el 1 indicando presencia (o posesión) de este atributo. Por ejemplo, el 1 puede indicar que una persona es sexo masculino y 0 puede designar una de sexo femenino; o el 1 puede indicar que una persona se ha graduado de una universidad y 0 que no lo ha hecho y así sucesivamente. Las variables que adquieren tales valores como 0 y 1 se llaman variables dicótomas. Otros nombres para este término son variables indicadoras, variables categóricas, variables cualitativas y variables dicótomas.

Regresión con variables dicótomas

El propósito de este capítulo es considerar el papel de las variables explicativas cualitativas en el análisis de regresión. Se demostrará que la inclusión de las variables cualitativas, conocidas como variables dicótomas, hace que el modelo de regresión lineal sea una herramienta extremadamente flexible, capaz de manejar muchos problemas interesantes que se presentan en los estudios empíricos.

Temas en Econometría (V)

Con el capítulo 17 se concluye el análisis del modelo de regresión de una sola ecuación inciado en el capítulo 1. Estos 17 capítulos cubren mucho terreno en los modelos econométricos de una sola ecuación, obviamente sin agotarlo. En particular, no se han tratado aún las técnicas de estimación no lineal (en parámetros), ni se ha considerado el enfoque bayesiano de la ecuación lineal única, así como tampoco los modelos econométricos no lineales. Pero en un libro introductorio como  éste, no sería posible hacer justicia a estos temas, pues estos exigen una formación matemática y estadística mucho más avanzada que la supuesta en este libro.

Temas en Econometría (IV)

En el capítulo 17, se consideran los modelos de regresión que incluyen valores de las variables explicativas para el periodo actual, lo mismo que para periodos pasados o rezagados además de modelos que incluyen uno o varios valores rezagados de la variable dependiente que son consideradas variables explicativas. EStos modelos se denominan, modelos de rezago distribuido y modelos autorregresivos. Aunque tales modelos son extremadamente útiles en la econometría empírica, su aplicación conlleva algunos problemas especiales de estimación ya que violan uno o más supuestos del modelo clásico de regresión lineal. Estos problemas especiales se consideran en el contexto de Koyck, del modelo de expectativas adaptivas (EA) y de los modelos de ajuste parcial. Tambiénse resalta la crítica mantenida en contra del modelo EA por parte de los defensores dela llamada escuela de expectativas racionales (ER).

Temas en Econometría (III)

TAmbién se considera el modelo tobit, un modelo que está relacionado con el probit. En el modelo probit se trata, por ejemplo, de encontrar la probabilidad de poseer una casa. En el modelo tobit se trata de encontar la cantidad de dinero que un consumidor gasta en comprar una casa con relación a su ingreso, etc. Pero, por supuesto, si el consumidor no compra la casas, no se dispone de información sobre gastos en vivienda por parte de tales consumidores; se dispone de ese tipo de información solamente para los consumidores que realmente compran casas. Por tanto, se tiene una muestra censurada, es decir, una muestra en la cual no se dispone de información sobra la variable dependiente para algunas observaciones, aunque sí pueda haber información sobre los regresores. El modelo tobit muestra la forma como se pueden estimar los modelos de regresión que consideran muestras censuradas.

Temas en Econometría (II)

En el cap 16, se permite, en un modelo de regresión, que la variable dependiente en sí misma tenga por naturaleza carácter cualitativo. Tales modelos son utilizados en situaciones en las cuales las variables dependiente es del tipo "sí" o "no", tal como ser propietario de una asa, de un automóvil, o de accesorios domésticos o poseer un atributo, tal como la pertenencia a un sindicado o a una sociedad profesional. Los modelos que incluyen variables dependientes del tipo sí-no,se denominan modelos de regresión de variables dependiente dicótoma. Se consideran tres enfoques para la estimación de tales modelos: (1) el modelo lineal de probabilidad (MLP), (2) el modelo logit, y (3) el modelo probit. De estos, el MLP, aunque computacionalmente es fácil, es el menos satisfactorio ya que incumple algunos de los supuestos del MCO. Debido a esto, los modelos logit y probit son utilizados con mayor frecuencia cuando la varible dependiente resulta dicótoma. Estos modelos se ilustran con ejemplos numéricos y prácticos.

Temas en Econometría (I)

En la parte I se introdujo el modelo clásico de regresión lineal con todos sus supuestos. En la parte II se examinaron en detalle las consecuencias cuando uno o más de los supuestos no es satisfecho y lo que puede hacerse con respecto a ello. En la parte III se estudiarán algunas técnicas econométricas selectas pero de uso frecuente.

En el cap. 15, se considera el papel de las variables explicativas cualitativas en el análisis de regresión. Las variables cualitativas, llamadas variables dicótomas, son un mecanismo para incorporar en el modelo de regresión variables tales como el sexo, la religión y el color que aunque no pueden ser cuantificadas fácilmente, influencian el comportamiento de la variable dependiente. Con diversos ejemplos, se muestran la forma como tales variables amplían el alance del modelo de regresión lineal.

Diseño de Modelos econométricos II Resumen y Conclusiones (III)

6. El mensaje principal de este capítulo es que se debe prestar cuidadosa atención a la selección del modelo antes de apurarse a estimarlo. Una vez que el modelo finalmente es seleccionado, las técnicas clásicas de estimación y de prueba de hipótesis pueden ser aplicadas legítimamente. Posiblemente se debería tomar la sentencia del modelo clásico de regresión lineal de que el modelo de regresión está especificado "correctamente", para significar que el modelo seleccionado en el análisis empírico ha pasado por los rigores de la labor de especificación.

Diseño de Modelos econométricos II Resumen y Conclusiones (II)

4. Después de definir lo que constituye un buen modelo, Hendry y sus asociados desarrollaron una estrategia de diseño de modelos de arriba hacia abajo, o general a específica, la cual desarrolla un modelo completo y luego, utilizando diversos diagnósticos, reduce en  última instancia el alcance del modelo utilizado en el análisis final.

5. Al seleccionar modelos, los econometristas han desarrollado una diversidad de pruebas. En este capítulo solamente se estudió la prueba F no anidada y la prueba J David -MacKinnon.

Diseño de Modelos econométricos II Resumen y Conclusiones

Los puntos principales estudiados en este capítulo son los siguientes:

1. El énfasis en la invetigación econométrica se ha desplazado de la simple estimación de un modelo dado a la selección entre modelos que compiten.
2. En este desplazamiento, diversos econometristas, dentro de los cuales sobresalen Leamer y Hendry, han hecho aportes.
3. Leamer ha planteado los tipos de búsqueda que se deben realizar para encontrar el "verdadero" modelo. Él es un defensor del análisis de cota extrema (ACE) y su valor en el informe de resultados del análisis de regresión.

Otras pruebas de selección de modelos

La prueba J recién analizada es solamente una dentro de un grupo de pruebas de selección de modelos. Existen la prueba Cox, la prueba JA, la prueba P, la prueba envolvente de Mizon-Richard y las variantes de estas pruebas. Obviamente, no se puede esperar analizar estas pruebas especializadas, para las cuales, el lector puede desear consultar las referencias citadas en las diversas notas de pie de página.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (XI)

Todo esto dice que ningún modelo es particularmente útil para explicar el comportamiento del gasto de consumo personal per cápita en los Estados Unidos durante el período 1970-1991.

Por supuesto, se han considerado solamente dos modelos competidores. En realidad, puede haber más de dos modelos. El procedimiento de prueba J puede extenderse a comparaciones  de múltiples modelos, aunque el análisis puede hacerse complejo rápidamente.

Este ejemplo muestra vividamente por qué el MCRL supone que el modelo de regresión utilizado en el análisis está correctamente especificado. Obviamente , en el desarrollo de un modelo, es crucial prestar cuidadosa atención al fenómeno que está siendo modelado.

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (X)

Ahora, suponiendo que el modelo B es la hipótesis planteada y que el modelo A es la hipótesis alterna y siguiendo exactamente el mismo procedimiento de antes, se obtienen los siguientes resultados:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (IX)

Pero la sección de (14.4.10) en lugar de (14.4.9) puede no ser apropiada porque, para fines predictivos, no hay mucha diferencia en los dos valores estimados de R².

Para aplicar la prueba J, suponga que se asume el modelo A como la hipótesis nula, es decir, como el modelo planteado y el modelo B como la hipótesis alterna. Ahora, siguiendo los pasos de la prueba J analizados anteriormente, se utilizan los valores de GPCP estimados del modelo (14.4.10) como regresor adicional en el modelo A, con el siguiente resultado: