Figura Diagrama de dispersión de las tasas de desempleo y de la tasa de empleo-vacantes, Gran Bretaña, 1958-IV a 1971-II

Ejemplo Comportamiento del desempleo y de las vacantes sin llenar: Gran Bretaña, 1958-1971 (I)

Al estudiar la relación entre la tasa de desempleo y la tasa de vacantes sin llenar enla Gran Bretaña durante el periodo 1958-IV a 1971-II, el autor obtuvo el diagrama de dispersión que aparece en la figura 15.6. Como se observa en la figura, al principio del cuarto trimestre de 1966, la relación desempleo vacantes parece haber cambiado; la curva que relaciona las dos variables parece haberse desplazado hacia arriba a partir de este trimestre. Este desplazamiento hacia arriba implica que para una tasa dada de empleos-vacantes hay más desempleo en el cuarto trimetre de 1966 que antes. En este estudio, el autor encontró que una posible causa del desplazamiento hacia arriba fue que en octubre de 1966 (es decir, en el cuarto trimestre) el gobierno laborista de entonce promulgó la ley nacional de seguros, remplazando el sistema de tasas constantes de beneficios de desempleo de corto plazo, por un sistema mixto de una tasa fija y otros beneficios (previos) relacionados con los ingresos, lo cual obviamente aumentó el nivel de beneficios para los desempleados. Si los beneficios de los desempleados aumentan, es más probable que el desempleado tome más tiempo para buscar trabajo, reflejando así una mayor cantidad de desempleo para cualquier tasa dada de empleos vacantes.

Comparación de dos regresiones ilustración adicional

Debido a su importancia práctica, se considera otro ejemplo del uso de la técnica de la variable dicótoma para probar la equivalencia de dos (o más) regresiones.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (VIII)

4. Finalmente, puesto que la agrupación aumenta los grados de libertad, ésta puede mejorar la precisión relativa de los parámetros estimados.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (VII)

3. La prueba de Chow no dice explícitamente cuál coeficiente, el del intercepto o el de la pendiente, es diferente o si (como sucede en este ejemplo) ambos son diferentes en los dos períodos, es decir, se puede obtener una prueba de Chow significativa porque sólo la pendiente es diferente o sólo el intercepto es diferente o ambas son diferentes. En otras palabras, no se puede decir, mediante la prueba de Chow, cuál de las cuatro posibilidades señaladas en la figura 15.4 existe en un momento dado. A este respecto, el enfoque de la variable dicótoma tiene una ventaja clara, ya que no solamente dice si las dos regresiones son diferentes, sino que señala la fuente o las fuentes de la diferencia - si ésta se debe al intercepto o a la pendiente o a ambos., En la práctica, el conocimiento de que las dos regresiones difieren en éste o en ese coeficiente es tanto o más importante que el conocimiento simple de que son diferentes.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (VI)

2. La regresión simple puede ser utilizada para probar una diversidad de hipótesis. Así, si el coeficiente del intercepto diferencial α2 no es estadísticamente significativo, se puede aceptar la hipótesis de que las dos regresiones tienen el mismo intercepto, es decir, las dos regresiones son concurrentes (véase figura 15.4c) En forma similar, si el coeficiente diferencial de pendiente β2 no es estadísticamente significativo pero α2 lo es, por lo menos puede no rechazarse la hipótesis de que las dos regresiones tengn la misma pendiente, es decir, las dos línea de regresión son prelela (véase figura 15.4b). La prueba de estabilidad de regresión completa (es decir, α2 = β2 = 0 simultáneamente) puede hacerse mediante la prueba F de significancia global de la regresión estimada estudiada en el capitulo 8. Si esta hipótesis se mantiene, las lineas de regresión serán coincidentes, como se muestra en la figura 15.4a.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (V)

1. Se requiere efectuar solamente una regresión simple porque las regresiones individuales pueden deducirse fácilmente de ésta en la forma indicada por las ecuaciones (15.7.2) y (15.7.3).

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (IV)

Como el lector puede verlo,estas regresiones son iguales a las obtenidas del procedimiento multipaso de Chow, lo cual puede verse de las regresiones dadas en la sección 8.8.

Las ventajas de la técnica de variable dicótoma [es decir, la estimación de (15.7.1)] sobre la prueba de Chow [es decir, la estimación de las tres regresiones (8.8..1). (8.8.2) y la regresión "agrupada" individualmente] pueden verse fácilmente en los siguientes posts.

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (III)

Como lo demuestra esta regresión, tanto los coeficientes diferenciales de intercepto como los coeficientes diferenciales de las pendientes son estadísticamente significativos, dando un fuerte indicio de que las regresiones para los dos periodos son diferentes (vease figura 15.4d). Entonces, siguiendo (15.7.2) y (15.7.3), se pueden derivar la dos regresiones de la siguiente forma (Nota: D=1 para el primer periodo; véas figura 15.5):

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (II)

En (15.7.1), α2 es el intercepto diferencial, igual que antes y ß2 es el coeficiente diferencial de pendiente, indicando en cuánto difiere el coeficiente de pendiente de la función de ahorro del primero periodo del coeficiente de pendiente de la función de ahorro del segundo periodo. Obsérvese como la variable dicótoma D se introduce en forma multiplicativa (D multiplicado por X), permitiendo diferenciar entre los coeficientes de las pendientes de los dos periodos, de la misma manera, la introducción de la variable dicótoma en forma aditiva permite distinguir entre los interceptos de los dos períodos.

Retornando a los datos de ahorro-ingreso dados en la tabla 15.2, se encuentra que la estimación empírica de (15.7.1) es

Comparación de dos regresiones: Enfoque de la variable dicótoma (I)

El procedimiento de multipaso de la prueba de Chow analizado en la sección 8.8 puede ser acortado sustancialmente mediante el uso de las variables dicótomas. Aunque las conclusiones globales  derivadas de las pruebas de Chow y de variables dicótomas en una aplicación dad son las mismas, el método de variables dicótomas tiene algunas ventajas que serán explicadas después de presentar el método utilizando el mismo ejemplo ahorro-ingreso.

Reuniendo todas las observaciones n1 y n2 y estimando la siguiente regresión

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (IV)

Una de dichas técnicas estadísticas es la prueba de Chow analizada en la sección 8.8. La prueba de Chow mostró que lo parámetros de la función de ahorro entre los periodos de reconstrucción y postreconstrucción en efecto cambiaron.

Como alternativa a la prueba de Chow, en la siguiente sección se muestra la forma cómo la técnica de la variable dicótoma maneja el problema de cambio estructural o quiebre y cuáles son algunas de sus ventajas con respecto a la prueba de Chow.

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (III)

De la información dada en la tabla 15.2,  se pueden efectuar las dos regresiones individuales (15.6.1) y (15.6.2) y luego utilizar una o varias técnicas estadíticas para probar todas las posibilidades anteriores es decir, para encontrar si la función de ahorro ha sufrido un cambio estructural entre lo dos periodos de tiempo. Por cambio estructural se entiende que los parámetros de la función de ahorro han cambiado.:

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (II)

Ejemplo Ahorro e ingreso, Reino Unido, 1946 - 1963 (I)

Como lo muestra la tabla, la información está dividida en dos periodos, 1946-1954 (período inmediatamente posterior a la Segunda Guerra Mundial, o de reconstrucción) y el lapso 1955-1963 (de postreconstrucción). Supóngse que se desea averiguar si la relación agregada ahorro ingreso ha cambiado entre los dos periodos. Para ser específico sea:

Prueba de estabilidad estructural de los modelos de regresión

Hasta ahora, en los modelos considerados en este capítulo, se supuso que las variables cualitativas afectan al intercepto pero no al coeficiente de pendiente de los diversos subgrupos de regresión. Pero, Qué sucede si las pendientes también son diferentes? Si las pendientes son en realidad diferentes, la prueba de las diferencias en los interceptos puede ser de poca significancia práctica. Por consiguiente, se requiere desarrollar una metodología general para encontrar i una o más regresiones son diferentes, donde la diferencia pueda estar en los interceptos o en las pendientes o en ambos. Para ver la forma comoesto puede hacerse,  considérese la información sobre ahorro-ingreso para el Reino Unido dada en la tabla 8.8, la cual, por conveniencia, se reproduce  en la tabla 15.2.

Ejemplo La economías del "Doble Empleo" (II)

En el modelo (15.5.1), hay dos variables explicativas cuantitativa, wo y la edad y cuatro variables cualitativas.Obsérvese que los coeficientes de todas estas variables son estadísticamente significativos al nivel del 5%. Lo que es interesante de anotar es que todas las variables cualitativas afectan los salarios del doble empleo significativamente. Por ejemplo, manteniendo todos los demá factores constantes, e espera que el nivel del salario hora sea más alto en un nivel alrededor de 47 centavos para la persona graduada de bachiller que para aquellos sin grado de bachiller.

De la regresión (15.5.1), se pueden derivar diveras regresiones individuales, dos de las cuales son las siguientes: la media de la tasa de salarios hora de personas blancas, no urbanas, de una región no occidental y no graduados con doble empleo (es decir, cuando todas las variables dicótomas son iguales a cero) es:

wm = 37.07  +  0.403wo   +  2.26edad (15.5.2)

La media de la tasa de salarios hora de una persona no blanca, urbana, del occidente, bachiller (es decir, cuando todas las variables dicótomas son iguales a 1) es

wm = 183.47 + 0.403wo  + 2.26 edad   (15.5.3)

Ejemplo La economías del "Doble Empleo" (I)

Una persona que posee los dos o más empleos, uno primario y uno más secundarios se conoce como "doble empleada." Shisko y Rotsker estaban interesados en encontrar cáles factores determinan los salarios de las personas doblemente empleadas. Con base en una muestra de 3.18 personas con doble empleo, ellos obtuvieron la siguiente regresión, la cual se presenta en la notación utilizada por los autores (los errores estándar en paréntesis).

REgresión con una variable cuantitativa y dos variables cualitativas (III)

Una estimación MCO de (15.4.1) permitirá probar una diversidad de hipótesis. Por tanto, sí α3 es etadísticamente significativo, dirá que la raza afecta el salario de los profesores. En forma similar, si α2 es estadísticamente significativo, implicará que el sexo también afecta el salario de los profesores. Si estos dos interceptores diferenciales son estadísticamente significativos, querrá decir que tanto el sexo como el colo son determinantes importantes de los salarios de los profesores.

DEl análisis anterior se deduce que se puede extender el modelo para incluir más de una variable cuantitativa y más de dos variables cualitativas. La única precaución que debe tomarse es que el número de variables dicótomas para cada variable cualitativa debe ser una menos que el número de categoría de esa variable. En la siguiente sección se da un ejemplo de esto.

REgresión con una variable cuantitativa y dos variables cualitativas (II)

Obsérvse que cada una de las dos variables cualitativas, el sexo y la raza, tiene dos categorías y, por tanto, se requiere de una variable dicótoma para cada una. Obsérvese además que la categoría omitida, o base, ahora es "profesora negra".

Suponiendo que E(ui) = 0, se puede obtener la siguiente regresión a partir de (15.4.1):

REgresión con una variable cuantitativa y dos variables cualitativas (I)

La técnica de la variable dicótoma puede extenderse fácilmente para manejar más de una variable cualitativa. Retornando a la regresión de salarios de profesores universitarios (15.2.1), pero suponiendo ahora que adicionalmente a los años de experiencia docente y al sexo, la raza del profesor es también un determinante importante del salario. Por simplicidad, supóngase que la raza tiene dos categorías: negra y blanca. Ahora se puede escribir (15.2.1) como

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos clases (III)

Una vez efectuada la regresión (15.3.1), se puede encontrar fácilmente si los interceptos diferenciales α2 y α3 son estadísticamente significativos a nivel individual, es decir, diferentes al grupo base. Una prueba de la hipótesis de que α2 = α3 = 0 simultáneamente puede hacerse también mediante la ténica ANOVA y la prueba F correspondiente, como se muestra en el capítulo 8.

A propósito, obsérvese que la interpretación de la regresión (15.3.1) cambiaría si se hubiera adoptado un esquema diferente de asignación a las variables dicótomas. Por tanto, si se asigna D2 = 1 a la categoría "educación primaria", y D3 = 1 a la categoría de "educación secundaria", la categoría de referencia será entonces la "educación universitaria" y todas las comparaciones se harán en relación con esta categoría.

Figura Gasto en salud en relación con el ingreso para tres niveles de educación

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos clases (II)

Obsérvese que en la asignación anterior de las variables dicótomas, se considera arbitrariamente la categoría "educación primaria" como la categoría base. Por consiguiente, el intercepto α, reflejará el intercepto para esta categoría. Los interceptos diferenciales α2 y α3 dicen qué tanto difieren los interceptos de las otras dos categorías del intercepto de la categoría base, lo cual puede verificarse fácilmente de la siguiente manera: Suponiendo que E(ut) = 0, se obtiene de (15.3.1)

Regresión sobre una variable cuantitativa y una variable cualitativa con más de dos clases (I)

Supóngase que, con base en la información de corte transversal, se desea efectuar la regresión del gasto anual en salud por parte de un individuo sobre el ingreso y la educación del individuo. Puesto que la variable educación es cualitativa por naturaleza, supóngase que se cosideran tres niveles de educación mutuamente excluyentes: primaria, secundaria y universitaria. Ahroa, a diferencia del caso anterior, se tienen más de dos categorías de la varible cualitativa educación. Por consiguiente, siguiendo la regla de que el número de variables dicótomas sea uno menos que el número de categorias de la variable, se deben introducir dos variables dicótomas para cubrir los tres niveles de educación. Suponiendo que los tres grupos educacionales tienen una pendiente común pero diferentes interceptos en la regresión del gasto anual en salud sobre el ingreso anual, se puede utilizar el siguiente modelo:

Ejemplo 15.2 Son los inventarios sensibles a las tasas de interés? (II)

Aunque todos los coeficientes son estadísticamente significativos y tienen los signos esperados, este análisis se concentrará en la variable dicótoma. Los resultados muestran que la razón de inventario a ventas es más alta (=1.2690 + 0.0734) durante el periodo posterior a la recesión de 1974, que en el periodo previo. Así, la línea de regresión es, en realidad un plano, puesto que el último período es paralelo pero está situado a un nivel más elevado de la línea correspondiente al período previo (compárese con la figura 15.2). Los autores no analizan las razones para esto pero probablemente se está reflejando la severidad de la recesión de 1974.

Ejemplo 15.2 Son los inventarios sensibles a las tasas de interés? (I)

Dan M. Bechter y Stephen H. Pollock estimaron el siguiente modelo para explicar las fluctuaciones de inventario en el sector del comercio al por mayor de la economía de los Estados Unidos durante 1967-IV a 1979-IV (razones t en paréntesis).

I/S = 1.269 - 0.3615C + 0.0215S - 0.0227S
(19.6)   (-2.2)         (5.7)       (-2.4)
               - 0.2552U  + 0.0734DUM
                  ( -2.4)            (4.8)            R²   =  0.71              d = 1.91

donde I/S inventarios en dólares constantes divididos por ventas en dólares constantes, C = tasa mensual a 4 y 6 meses sobre documentos negociables preferenciales menos el cambio porcentual de un año anterior en el índice de precios al productor para los bienes de consumo final,. S = ventas esperadas en el periodo actual, en donde estas ventas esperadas son iguales a la tendencia de las ventajas ajustadas por las desviaciones de la tendencia en el período anterior, todo en dólares constantes, U = incertidumbre en las ventas medida por la volatilidad de las ventas alredor de la tendencia y DUM = variable dicótoma, que adquiere un valor de cero para 1967-IV a 1974-I y de 1 para 1974-II a 1979-IV.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (VIII)

El coeficiente α2 que acompaña a la variable dicótoma D puede llamarse coeficiente de intercepto diferencial porque dice qué tanto difiere el valor del término de intercepto de la categoria que recibe el valor del coeficiente del intercepto de la cateogría base.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (VII)

Frecuentemente se hace referencia al grupo, categoría o clasificación al cual se asigna el valor de 0 como la categoría base, marca fija, control, comparación, referencia o categoría omitida. Esta es la base en el sentido de que se hacen comparaciones con respecto a esa categoría. Así, en el modelo (15.2.1), la profesora es la categoría base. Obsérvese que el término de intercepto (común) α1 es el término de intercepto para la categoría base en el sentido de que si se efectúa la regresión con D = 0, es decir, sobre el sexo femenino solamente, el intercepto será α1. Obsérvese también que sea cual fuera la categoría que sirve como base, éste es un asunto de selección que algunas veces obedece a consideraciones a priori.

Regresión con una variable cuantitativa y una variable cualitativa con dos clases, o categorías (VI)

La asignación de los valores 1 y 0 a las dos categorías, tales como hombres y mujeres, es arbitraria en el sentido de que en el ejemplo se hubiera podido asignar D = 1 para mujeres y D =0 para hombres. En esta situación, las dos regresiones obtenidas de (15.2.1) serán

En contraste con (15.2.2) y (15.2.3) en los modelos anteriores, α2 dice en cuánto difiere el salario promedio de una profesora universitaria del salario promedio de un profesor universitario. En este caso, sí hay discriminación sexual, se espera que α2 sea negativo, mientras que antes se esperaba que fuera positivo. Por consiguiente, al interpretarlos resultados de los modelos que utilizan variables dicótomas, es de gran importancia saber la forma como los valores de 1 y de 0 han sido asignados.