Fenómeno de la telaraña (II)

Supóngase que al final del periodo t, el precio Pt resulta ser inferior a P(t-1). por consiguiente, es muy probable que los agricultores decidan producir en el período t+1 menos de lo que produjeron en el período t. Obviamente, en esta situación no se espera que las perturbaciones ui sean aleatorias por que los agricultores producen excedentes en el año t, es probable que reduzcan su producción en t+1 y así sucesivamente, conduciendo a un patrón de telaraña.

Fenómeno de la telaraña (I)

La oferta de muchos productos agrícolas refleja el llamado fenómeno de la telaraña en donde la oferta reacciona al precio con un rezago de un período de tiempo debido a que la implementación de las decisiones de oferta toman tiempo (período de gestación). Por tanto, en el siembra de cosechas al principio de este año, los agricultores están influenciados por el precio prevaleciente el año anterior, de tal forma que su función de oferta es:

Ofertat = β1 + β2P(t-1) +ut (121.6)

Sesgo de especificación: forma funcional incorrecta

Supóngase que el modelo "verdadero" o correcto en un estudio de costo-producción es el siguiente:

La curva de costo marginal correspondiente al "verdadero" modelo se muestra en la figura 12.2 junto con la curva "incorrecta" de costo lineal.

Como se muestra en la figura 12.2, entre los puntos A y B, la curva de costo marginal líneal sobreestimará consistentemente al costo marginal verdadero, mientras que más allá de estos puntos ésta lo subestimará consistentemente. Este resultado es de esperarse porque el término de perturbación vi es, en realidad, igual a la producción² +ui, y, por lo tanto, capta el efecto sistemático del término producción² sobre el costo marginal. En este caso, vi reflejará autocorrelación por el uso de una forma funcional incorrecta. En el capítulo 13 se considerarán diversos métodos para detectar sesgos de especificación.

Sesgo de especificación: caso de variables excluídas

En el análisis empírico, el investigador frecuentemente empieza con un modelo de regresión razonable que puede no ser el más "perfecto". Después del análisis de regresión, el investigador haría el "examen post-mortem" para encontrar si los resultados están de acuerdo con las expectativas a priori. De no ser así, se iniciaría "la cirugía". Por ejemplo, el investigador puede graficar los residuales ui obtenidos de la regresión ajustada y puede observar patrones tales como los presentados en las figuras 12.1a a d. Estos residuales (que son aproximaciones de las ui) pueden sugerir algunas variables que fueron originalmente candidatas pero  que no estuvieron incluídas en el modelo por una diversidad de razones, deben ser incluídas. Este es el caso del sesgo de especificación ocasionado por la variable excluida. Frecuentemente, la inclusión de tres variables elimina el patrón de correlación observado entre los residuales. Por ejemplo, supóngase que se tiene el siguiente modelo de demanda:

Inercia

Una característica relevante de la mayoría de las series de tiempo económicas es la inercia o lentitud. Como bien se sabe, las series de tiempo tales como el PNB, los índices de precios, la producción, el empleo y el desempleo presentan ciclos (económicos). Empezando en el fondo de la recesión, cuando se inicia la recuperación económica, la mayoría de estas series empieza a moverse hacia arriba. En este movimiento hacia arriba, el valor de una serie en un punto del tiempo es mayor que su valor anterior. Así, hay un "momentum" construido en ellas y éste continuará hasta que algo suceda (por ejemplo, un aumento en la tasa de interés o en los impuestos o ambos) para reducirlo. Por consiguiente, en las regresiones que consideran datos de series de tiempo, es probable que las observaciones sucesivas sean interdependientes.

Naturaleza del problema (IV)

Se pueden visualizar algunos de los patrones razonables de autocorrelación y de no autocorrelación, los cuales están dados en la figura 12.1. Las figuras 12.1 a a d muestran que hay un patrón distinguible entre las u. La figura 12.1a muestra un patrón cíclico; las figuras 12.1b y c sugieren una tendencia lineal hacia arriba o hacia abajo en las pertubaciones; y la figura 12.1d indica que tanto término de tendencia lineal como de tendencia cuadrática están presentes en las perturbaciones. Solamente la figura 12.1e indica que no hay un patrón sistemático, apoyando el supuesto de no autocorrelación del modelo clásico de regresión lineal.

La pregunta natural es: Por qué razón ocurre la correlación serial? Hay diversas razones, algunas de las cuales son las siguientes:

Naturaleza del problema (III)

Antes de encontrar la razón de la existencia de la autocorrelación, es esencial aclarar algunos aspectos de terminología. Aunque, hoy en día, es práctica común tratar como sinónimos los términos autocorrelación y correlación serial, algunos autores prefieren diferenciar los dos términos. Por ejemplo, Tintner define autocorrelación como "correlación rezagada de una serie dada consigo misma, rezagada por un número de unidades de tiempo", mientras que reserva el término correlación serial para "correlación rezagada entre dos series diferentes" Así, la correlación entre dos series de tiempo tales como u1, u2,.....u10 y u2, u3........., u11 donde la primera es igual a la última rezagada un período de tiempo, es autocorrelación, mientras que la correlación entre dos series de tiempo tales como u1, u2,......u10 y v2, v3, .....v11 donde u y v son dos series de tiempo diferentes, se denomina correlación serial. Aunque la distinción entre los dos términos puede ser de utilidad, en este libro se considerarán como sinónimos.

Naturaleza del problema (II)

Sin embargo, si tal dependencia existe, se tiene autocorrelación. Simbólicamente

E(uiuj)  ≠ 0 i ≠ j (12.1.1)

En esta situación, la interrupción ocasionada por una huelga este trimestre puede afectar muy fácilmente la producción del siguiente trimestre, o los incrementos en el gasto de consumo de una familia pueden inducir muy fácilmente a otra familia a aumentar su gasto de consumo par año quedarse atrás de la primera.

Naturaleza del problema (I)

El término autocorrelación se puede definir como la "correlación entre miembros de series de observaciones ordenadas en el tiempo [como en información de series de tiempo] o en el espacio [como en información de corte transversal]". En el contexto de regresión, el modelo clásico de regresión lineal supone que no existe tal autocorrelación en las perturbaciones ui. Simbólicamente,

E(uiuj) = 0 i ≠ j  (12.1.1)

Expresado en forma sencilla, el modelo clásico supone que el término de perturbación relacionado con una observación cualquiera no está influenciado por el término de perturbación relacionado con cualquier otra observación. Por ejemplo, si se está tratando con información trimestral de series de tiempo, para efectuar una regresión de la producción sobre los insumos de trabajo y capital y si, por ejemplo, hay una huelga laboral que afecta la producción de un trimestre, no hay razón para pensar que esta interrupción afectará la producción del trimestre siguiente. Es decir, si la producción es inferior, este trimestre. En forma similiar, si se está tratando con información de corte transversal que involucra la regresión del gasto de consumo familiar sobre el ingreso familiar, no se espera que el efecto de un incremento en el ingreso de una familia sobre su gasto de consumo incida sobre el gasto de consumo de otra.

Autocorrelación (II)

El lector encontrará en este capítulo, similitudes en muchos aspectos con el capítulo anterior sobre heteroscedasticidad, puesto que en presencia de autocorrelación y de heteroscedasticidad, los estimadores MCO corrientes, a pesar de ser insesgados, dejan de tener mínima varianza entre todos los estimadores lineales insesgados. En resumen, dejan de ser MELI.

Autocorrelación (I)

No existe una forma universalmente efectiva para evitar la mala interpretación de la función de regresión mal especificada ante la presencia de los errores serialmente correlacionados.

Un supuesto importante del modelo clásico lineal presentado en la parte I es que no hay autocorrelación o correlación serial entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional. En este capítulo, se examinará en forma crítica este supuesto con el fin de buscar respuestas a las siguientes preguntas.

1. Cuál es la naturaleza de la autocorrelación?
2. Cuáles son las consecuencias teóricas y práctica de la autocorrelación?
3. Puesto que el supuesto de no autocorrelación se relaciona con las perturbaciones no observables ui Cómo se sabe que hay autocorrelación en cualquier situación dada?
4. Cómo se puede remediar el problema de la autocorrelación?

Resumen y Conclusiones de Heteroscedasticidad (V)

8.  De lo contrario, se puede hacer "educated guesses" del patrón probable de heteroscedasticidad con base en los residuales MCO y transformar la información original de tal manera que en la información transformada no haya heteroscedasticidad.

9. Finalmente, las perturbaciones reisudales MCO no solamente pueden resultar heteroscedásticas sino que también pueden estar autocorrelacionadas. Para resolver este problema, puede emplearse una técnica conocida como modelo autorregresivo de heteroscedasticidad condicionar, ARCH. Esta técnica se tratará mas adelante.

Resumen y Conclusiones de Heteroscedasticidad (IV)

6. La documentación sobre las consecuencias de la heteroscedasticidad es más fácil que su detección. Existen diversas pruebas de diagnóstico disponibles, pero no se puede decir con seguridad cuál funcionará en una situación dada.

7. Aún si se sospecha y se detecta la heteroscedasticidad no es fácil corregir el problema. Si la muestra es grande, se puede obtener los errores estándar de los estimadores MCO corregidos por el método de corrección de heteroscedasticidad de White y realizar inferencia estadistica basados en ellos.

Resumen y Conclusiones de Heteroscedasticidad (III)

5. En presencia de heteroscedasticidad, las varianzas de los estimadores MCO no se obtienen con las formulas usuales de MCO. Sin embargo, si se persiste en utilizar las fórnulas MCO usuales, las pruebas t y F basadas en éstas pueden conducir a grandes desatinos que darán por resultado conclusiones erróneas.

Resumen y Conclusiones de Heteroscedasticidad (II)

3. Sin embargo, estos estimadores dejan de tener varianza minima, es decir, de ser eficientes. Por consiguiente, no son MELI.
4. Los estimadores MELI son proporcionados po el método de mínimos cuadrados ponderados, siempre que las varianzas heterocedásticas de error, σi² se conozcan.

Resumen y Conclusiones de Heteroscedasticidad (I)

1. Un supuesto crítico del modelo clásico de regresión lineal es que todas las perturbaciones ui tienen la misma varianza σ². Si este supuesto no satisface, hay heteroscedasticidad
2. La heteroscedasticidad no destruye las propiedades de insesgamiento y consistencia de los estimadores MCO.

Jerarquía de los planes de la organización (III)

Si se multiplica (11.7.6) por √Ventas, a ambos lados, se obtienen resultados comparables a la regresión original (11.7.1). Hay muy poca diferencia entre los dos coeficientes de pendiente. Pero obsérvese que comparado con (11.7.1), el error estándar del coeficiente de pendiente es (11.7.6) es más pequeño, lo cual sugiere que la regresión MCO (original) realmente sobreestimó el error estándar. Como se anotó anteriormente, en presencia de heteroscedasticidad, los estimadores MCO de los errores estándar están sesgados y no se puede predecir la dirección en la cual irá el sesgo. En este ejemplo, el sesgo es hacia arriba, es decir, éste sobreestimó el error estándar. A propósito, obsérvese que (11.7.6) representa los mínimos cuadrados ponderados (Por qué).

En el ejercicio 11.25 se pide al lector obtener los errores estándar corregidos por heteroscedasticidad de White para el ejemplo anterior y comparar los resultados con los dados en (11.7.6).

Jerarquía de los planes de la organización (II)

Como lo sugieren las ecuaciones (11.7.3) y(11.7.4), el supuesto de varianzas homoscedásticas puede rechazarse. Por consiguiente, los errores estándar estimados y los valores t no pueden ser aceptados por su valor presentado. En el ejercicio 11.23, se le pide al lector que aplique las pruebas de heteroscedasticidad de Breusch-Pagan y de White a los datos en la tabla 11.5.

Puesto que parece existir duda sobre el supuesto de homoscedasticidad, veáse si se pueden transformar los datos de tal forma que se reduzca la severidad de la heteroscedasticidad, si es que ésta no se elimina totalmente. Al graficar los residuales obtenidos de la regresión (11.7.1), puede verse que la varianza del error es proporcional a la variable de ventas y por tanto, siguiendo el supuesto 2 analizado anteriormente, se puede utilizar la transformación raíz cuadrada para obtener los siguientes resultados:

Ejemplo 11.8: Gasto de I&D en los Estados Unidos, 1988. (II)

Como se esperaba, los gastos y las ventas de I&D están positivamente correlacionados. El valor t calculado "parece" ser estadísticamente significativo al nivel del 0.002 (prueba de dos colas). Por supuesto, en presencia de heteroscedasticidad, no podemos confiar en los errores estándar estimados o en los valores t estimados. Al aplicar la prueba de Park sobre los residuales estimados de (11.7.1), se obtienen los siguientes resultados:

Ejemplo 11.8: Gasto de I&D en los Estados Unidos, 1988. (I)

En la tabla 11.5 se reproduce la información sobre gastos de investigación y desarrollo (I&D) para 18 grupos de industrias en relación con las ventas y las utilidades. Puesto que la información de corte transversal presentada en la tabla 11.5 es bastante heterogénea, en una regresión de I&D sobre las ventas (o utilidades) es probable la presencia de heteroscedasticidad. Los resultados obtenidos al regresar I&D sobre las ventas fueron los siguientes:

Ejemplo para concluir

Para concluir nuestro análisis de heteroscedasticidad presentamos un ejemplo en el cual se ilustran los diversos métodos de detección y algunas de las medidas remediales.

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (IX)

1. Cuando se va más allá del modelo con dos variables puede no saberse a priori cuál de las variables X debe ser seleccionada para transformar los datos.
2. La transformación logarítmica como se analiza en el supuesto 4 no es aplicable si algunos de los valores de Y o de X son cero o negativos.
3. Entonces hay un problema de correlación espúrea. Este término, atribuido a Karl Pearson, se refiere a la situación e la cual se ha encontrado la presencia de correlación entre las razones de variables, aun cuando las variables originales no estén correlacionadas o sean aleatorias. Así, en el modelo Yi = β1 + β2Xi + ui, Y y X pueden no estar correlacionados pero en el modelo de transformado, Yi/Xi = β1(1/Xi) +β2, frecuentemente se encuentra que Y/xi y 1/Xi si lo están.
4. Cuando las σi² no se conocen directamente y son estimadas a partir de una o más de las transformaciones ya analizadas, todos nuestros procedimientos de prueba utilizando las pruebas t, las pruebas F, etc, son estrictamente hablando válidas sólo para muestras grandes. Pro consiguiente, se debe tener cuidado al interpretar resultados basados en las diversas transformaciones cuando las muestras son pequeñas o finitas.

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (VIII)

ESte resultado surge porque la transformación logarítmica comprime las escalas en las cuales están medidas las variables, reduciendo una diferencia entre dos valores de diez veces a una diferencia de dos veces. Así, el número 80 es diez veces el número 8, pero el ln 80(=4,3280) es casi dos veces tan grande como ln 8(=2.0794).

Una ventaja adicional de la transformación logarítmica es que el coeficiente de pendiente β2 mide la elasticidad de Y con respecto X, es decir, el cambio porcentual en T ante un cambio porcentual en X. Por ejemplo, si Y es el consumo y X es el ingreso, β2 en (11.6.12) medirá la elasticidad-ingreso, mientras que en el modelo original, β2 mide solamente la tasa de cambio del consumo medio por cambio unitario en el ingreso. Esta es una de las razones por las cuales los modelos logarítmicos son bastante populares en la econometría empírica.

Para concluir la exposición sobre medidas remediales, nuevamente se hace énfasis en que todas las transformaciones analizadas anteriormente son ad hoc; esencialmente, se está especulando sobre la naturaleza de σi². Cuál de las transformaciones estudiadas anteriormente será la que funcione, dependará de la naturaleza del problema y de la severidad de la heteroscedasticidad. Hay algunos problemas adicionales con las transformaciones que se considera deben ser tenidos en cuenta:

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (VII)

La transformación (11.6.10) es, sin embargo, inoperacional porque E(Yi) depende de β1 y β2, los cuales no se conocen. Por supuesto, se conoce Yi = β1 + β2Xi, que es un estimador E(Yi). Por consiguiente, se puede proceder en dos etapas: Primero, se efectúa la regresión MCO usual, sin considerar el problema de heteroscedasticidad y se obtiene Yi. Luego, utilizando el Yi estimado, se transforma el modelo de la siguiente manera:

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (VI)

La ecuación (11.6.9) postula que la varianza de ui es proporcional al cuadrado del valor esperado de Y. Ahora

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (V)

Dado el supuesto 2, se puede verificar fácilmente que E(vi²) = σ², una situación homoscedástica. Por consiguiente, se puede proceder a aplicar MCO a (11.6.8), efectuando la regresión de Yi/√Xi sobre 1/√Xi y √Xi.

Obsérvese una característica importante del modelo transformado: Éste no tiene término de intercepto. Por consiguiente, será necesario utilizar el modelo de regresión a través del origen para estimar β1 y β2. Habiendo efectuado la regresión (11.6.8), se puede retornar al modelo original simplemente multiplicando (11.6.6.8) por √Xi.

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (IV)

Se cree que la varianza de ui, en lugar de ser proporcional al cuadrado de Xi, es proporcional a la propia Xi, entonces el modelo original puede ser transformado de la siguiente manera

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (III)

Por tanto, la varianza de vi es ahora homoscedástica y se puede proceder a aplicar MCO a la ecuación  transformada (11.6.6), regresando Y/Xi sobre 1/X.

Obsérvese que en la regresión transformada, el término de intercepto β2 es el coeficiente de pendiente en la ecuación original y el coeficiente β1 e el término de intercepto en el modelo original. Por consiguiente, para retomar al modelo original, será preciso multiplicar el estimado (11.6.6) por Xi. Un aplicación de esta transformación esta dada en el ejercicio 11.17.

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (II)

Si, por razones de "especulación", por los métodos gráficos, o  por los enfoques de Park y Glejser, se cree que la varianza de ui es proporcional al cuadrado de la variable explicativa X (véase figura 11.9) se puede transformar el modelo original de la siguiente manera. Dividir el modelo original a ambos lados por Xi.

Supuestos razonables sobre el patrón de heteroscedasticidad (I)

Una desventaja del procedimiento de White, además de ser un procedimiento de muestra grandes, es que los estimadores obtenidos por este medio pueden no ser tan eficientes como aquellos obtenidos por métodos que transforman la información para reflejar tipos específicos de heteroscedasticidad. Para ilustrar esto, se debe recordar el modelo de regresión con dos variables:

Varianzas y errores estándar consistentes con heteroscedasticidad de White. (III)

Como lo anotan Wallace y Silver:
En términos generales, probablemente es buena idea utilizar la ópcion White [disponible en los programas de regresión] sistemáticamente, tal vez comparar estos resultados con los resultados MCO regulares es una forma de verificar si la heteroscedasticidad es un problema grave en un conjunto particular de datos.