Prueba de hipótesis sobre coeficientes individuales de Regresión en notación matricial (I)

Por las razones expresadas en los capítulos anteriores, si el objetivo es la inferencia al igual que la estimación , se tendra que suponer que las perturbaciones ui siguen alguna distribución de probabilidad. Además por las razones dadas anteriormente, en el análisis de regresión usualmente se supone que cada ui sigue una distribución normal con media cero y varianza constante σ². en notación matricial, se tiene:

u ~ N(0,σ²I) (9.6.1)

donde u y 0 son vectores de las columnas nx1 e I es una matriz identidad (nxn), siendo 0 el vector nulo.

Dado el supuestos de normalidad, sabemos que en los modelos de regresión lineal de dos y tres variables (1) los estimadores MCO, βi, y MV, βi son idétnticos, pero el estimador MV σ² es sesgado, aun cuando este sesgo puede eliminarse utilizando el estimador MCO insesgado σ²; y (2) los estimadores MCO βi también están normalmente distribuidos. Generalizando, en el caso de k variables podemos demostrar que:

Es decir, cada elemento de β está normalmente distribuido con media igual al elemento correspondiente el verdadero β y la varianza está dada por σ² veces el elemento correspondiente de la diagonal de la matriz inversa (X'X)^-1