Método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) (III)

Al elevar al cuadrado ûi, este método da más peso a los residuos tales como û1 y û4 en la figura 3.1 que a los residuos û2 y û3. Como se anotó anteriormente, bajo el criterio de minimización de (Sumatoria) ûi, la suma puede ser pequeña a pesar de que los û1 estén bastante dispersos alrededor de la FRM, La situación anterior no puede presentarse bajo el procedimiento de mínimos cuadrados, ya que entre mayor sea ûi (en valores absolutos), mayor será (Sumatoria) û²i. Una justificación adicional para el método de los mínimos cuadrados reside en el hecho de que los estimadores obtenidos con este método tienen algunas propiedades estadísticas muy deseables, como se verá más adelante.

 Es obvio a partir de (3.1.2.) que

es decir, la suma de los residuos elévados al cuadrado es algún tipo de función de los estiamadores β1 y β2. Para cada conjunto dado de datos con diferentes valores para β1 y β2, se obtendrá como resultado û diferentes y, por consiguiente, valores diferentes de (Sumatoria) û²i. Para ver esto claramente , considérense las cifras hipotéticas de Y y de X dadas en las primeras dos columnas de la tabla 3.1 Realicense ahora dos experimentos. En el experimento 1, sea β1 = 1.572 y β2 = 1.357 (por ahora no preocupa la forma como se obtuvieron  estos valores; es decir, que se adivinaron). Utilizando estos valores β y los valores de X dados en la columna (2) de la tabla 3.1, se puede calcular fácilmente el Yi, estimado que está dado en la columna (3) de la tabla y denotado como Y1i (el subíndice 1 se utiliza para indicar el primer experimento). Ahora realícese otro experimento, pero esta vez utilizando los valores de β1 = 3 y β2 =1. Los valores estimados de Yi a partir de este experimento están dados por Y2i en la columna (6) de la tabla 3.1. Puesto que los valores β en los dos experimentos son diferentes, se obtienen también valores diferentes para los residuos estimados, como se oberva en la tabla; û1i corresponden a los del primero experimento y û2i corresponden a los del segundo. Los cuadrados de estos residuos están dados en las columnas (5) y (8). Obviamente, como se esperaba de (3.1.3), estas sumas de residuales al cuadrado son diferentes puesto que están basados en conjuntos diferentes de valores de β.