Prueba de J de Davidson-Mackinnon (III)

4. Si la hipótesis de que α3 = 0 no es rechazada, se puede aceptar (es decir, no rechazar) el modelo C como el verdadero modelo porque Yi^D incluido en (14.4.5), que representa la influencia de las variables no incluidas en el modelo C, no tiene un poder explicativo adicional a la contribución del modelo C. En otras palabras, el modelo C envuelve al modelo D en el sentido de que el último modelo no contiene información adicional alguna que pueda mejorar al desempeño del modelo C. Consecuentemente, si la hipótesis nula es rechazada, el modelo C no puede ser el verdadero modelo (Por qué?).

5. Ahora se reversan los papeles de las hipótesis o de los modelos C y D. Se estima ahora el modelo C primero, se utilizan los valores Y estimados de este modelo comoregresor en (14.4.5), se repite el paso 4 y se decide si debe aceptarse el modelo D sobre el modelo C. Más específicamente, se estima el siguiente modelo:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (II)

1. Se estima el modelo D y se obtienen los valores Y estimados Yi^D
2. Se agrega el valor de Y predicho en el paso 1 como un regresor adicional al modelo C y se estima el siguiente modelo:

Prueba de J de Davidson-Mackinnon (I)

Debido a los problemas recién enumerados en el procedimiento de la prueba F no anidada, se han conseguido varias alternativas. Una es la Prueba de J de Dadvidson-Mackinnon. Para ilustrar esta prueba, supóngase que se desea comparar la hipótesis o modelo C con la hipótesis o modelo D. La prueba J se realiza de la siguiente manera:

Un ejemplo ilustrativo: El modelo de San Luis (III)

Qué sugieren estos resultados sobre la superioridad de  un modelo sobre el otro? Si se considera  el efecto acumulado de un cambio unitario en

respectivamente, siendo el primero estadísticamente significativo y el segundo no. Esta comparación tendería a apoyar el argumento monetarista de que los cambios en la oferta monetaria son los que determinan los cambios en el PNB (nominal). Se deja al lector el ejercicio de evaluar críticamente este argumento.

Un ejemplo ilustrativo: El modelo de San Luis (II)

A propósito, obsérvese que (14.4.1) y (14.4.2) son ejemplos de modelos de rezagos distribuidos, un tema analizado ampliamente en el capítulo 17. Por el momento, obsérvese simplemente que el efecto de un cambio unitario en la oferta monetaria o en el gasto gubernamental sobre el PNB está distribuido sobre un período de tiempo y no es instantáneo.

Puesto que a priori puede ser difícil decidir entre los dos modelos en competencia, los dos modelos se reúnen como se muestra a continuación:

Un ejemplo ilustrativo: El modelo de San Luis (I)

Para determinar si los cambios en el PNB pueden ser explicados por cambios en la oferta monetaria (monetarismo) o por cambios en el gasto gubernamental (keynesianismo), se consideran los siguientes modelos:

donde

Yt = tasa de crecimiento del PNB nominal en el tiempo t
Mt = tasa de crecimiento de la oferta monetaria (versión M1) en el tiempo t
Et = tasa de crecimiento en pleno o alto gasto gubernamental en empleo en el período t.

Enfoque de discernimiento (II)

Sin embargo, hay problemas con este procedimiento de prueba. (1) Si X2 y Z2 son altamente colineales, entonces, como se anotó en el capítulo sobre multicolinealidad, es muy probable que ni λ2 ni λ3 sean significativamente diferentes de cero, aunque se puede rechazar la hipótesis de que λ2 = λ3 = 0. En este caso, no hay forma de decidir si el modelo correcto es el modelo C o el modelo D. (2) Existe otro problema. Supóngase que se selecciona el modelo C como la hipótesis o el modelo de referencia y se encuentra que todos sus coeficientes son significativos. Se agrega Z2 al modelo y se encuentra, utilizando la prueba F, que su contribución incremental a la suma explicada de cuadrados (SEC) es no significativa. Por consiguiente, se decide seleccionar el modelo C. Pero, supóngase que en su lugar se hubiera seleccionado el modelo D como hipótesis de referencia y se hubiera encontrado que todos sus coeficientes eran estadísticamente significativos. Pero, cuando X2 se agrega a este modelo, utilizando nuevamente la prueba F, se encuentra que su contribución incremental a la SEC no es significativa. Por consiguiente, se hubiera seleccionado el modelo D como el modelo correcto. Por tanto, "la selección de la hipótesis de referencia podría determinar el resultado de la selección del modelo", especialmente cuando hay presencia de una multicolinealidad fuerte en los regresores en competencia. (3) Finalmente, el modelo artificialmente anidado E puede no tener significado económico alguno.

Enfoque de discernimiento (I)

Prueba F no anidada. Considérense los modelos C y D en la sección 14.3. Cómo se selecciona entre los dos modelos? Supóngase que se estima el siguiente modelo anidado o híbrido:

Modelo E: Yi = λ1 + λ2X2i + λ3Z2i + ui

Obsérces que el modelo E anida o envuelve a los modelos C y D. Pero obsérvese que C es no anidado en D y D es no anidado en C, de tal manera que son modelos no anidados.

Ahora, si el modelo C es correcto, λ3 = 0, mientras que si el modelo D es el correcto, λ2 = 0. Por consiguiente, una prueba sencilla sobre modelos que compiten es efectuar la regresión del modelo anidado y buscar la significancia estadística de λ2 y λ3 mediante la prueba t, o en forma más general, mediante la prueba F si se omite más de un regresor de los modelos en competencia; de aquí el nombre de prubas F no anidadas.

El enfoque de discriminación

Considérese los modelos C y D anteriores. Supóngase que se estiman ambos modelos. Entonces, se puede seleccionar entre estos dos (o más) modelos con base en algunos criterios de bondad de ajuste. Por ejemplo, se pueden obtener los valores del R²(=R²) ajustados de los modelos y seleccionar los modelos con R² más elevado. Por supuesto, al comparar los dos valores del R², la variable dependiente debe tener la misma forma (Por qué?). En la teoría hay otros criterios, además del R², para medir la bondad del ajuste, tales como la medida Sp de Hocking, la medida Cp de Mallow, la medida PC de Amemiya y la medida AIC de Akaike más el criterio de Schwarz, el criterio de Hannan-Quinn, y el criterio de Shibata. La exposición de estas medidas estaría por fuera del campo de estudio, por lo cual se hace mención a ésta en las referencias. Los paquetes de computador tales como SHAZAM, ET, Y TSP publican ahora uno o más deestos estadísticos.

Sin importar la medida utilizada, una desventaja del enfoque de discriminación es que éste simplemente órdena los modelos con base en uno de estos criterios y selecciona el modelo que da el valor más alto de la medida seleccionada de bondad de ajuste. Aparentemente, se considera que si un modelo sobresale entre otros términos de, por ejemplo, el valor más alto del R², éste debe ajustar mejor a los datos y, por consiguiente, debe ser el "verdadero" modelo. El sentido común sugiere que ésta podría no ser la mejor estrategia. Por consiguiente, se necesita desarrollar un procedimiento de prueba que preste atención a modelos alternativos en la estimación del modelo bajo consideración. Esta idea es la base del enfoque de discernimiento, que se analiza en seguida.

Prueba de hipótesis no anidadas

De acuerdo con Harvey, en términos generales hay dos enfoques para probar una hipótesis no anidada: (1) el enfoque de discriminación en donde, dados dos modelos o más que compiten, se selecciona el modelo basado en algunos criterios de bondad de ajuste y (2) el enfoque de discernimiento (terminología del autor) donde, al investigar un modelo, se tiene en cuenta la información proporcionada por otros modelos. Se explican estos enfoques brevemente.

Pruebas seleccionadas de diagnóstico: Comentarios Generales (III)

Ahora considérense los siguientes modelos.

Modelo C: Yi = α1 + α2X2i + ui
Modelo D: Yi = β1 + β2Z2i + vi

donde las X y las Z son diferentes conjuntos de variables. Se dice que los modelos C y D son no anidados, porque uno no puede ser derivado como un caso especial del otro. En economía, al igual que en otras ciencias, hay más de una teoría en competencia que puede explicar una fenómeno. Así, mientras los monetaristas enfatizan el papel del dinero en la explicación de los cambios en el PNB, los keynesianos pueden explicarlos mediante los cambios en el gasto gubernamental.

Cómo se prueban tales teorías o hipótesis no anidadas o competidoras? Enseguida se responde a esta pregunta.

Pruebas seleccionadas de diagnóstico: Comentarios Generales (II)

Se dice que el modelo B está anidado dentro del modelo A porque es un caso especial del modelo A: Si se estima el modelo A y se verifica la hipótesis Ho: β4 = 0 y no se rechaza, entonces el modelo A se reduce al modelo B.

Así, si en el modelo A, Y representa la cantidad demandada de un bien, X2 su precio unitario, X3 el ingreso del consumidor y X4 el precio de otro producto, la hipótesis de que β4 =0 significa que el precio del otro producto no tiene efecto sobre la cantidad demandada del producto en cuestión. Se puede probar esta hipótesis mediante la prueba t individual o mediante la prueba F estudiada en el capítulo 8.

Sin llamarlas como tales, las pruebas de error de especificación ecuacional que se estudiaron en el capítulo 13 y la prueba de mínimos cuadrados restringidos estudiada en el capítulo 8 son essencialmente pruebas de hipótesis anidadas. Por consiguiente, no dedicamos más tiempo a estudiarlas aquí, excepto en forma de ejercicios.

Pruebas seleccionadas de diagnóstico: Comentarios Generales (I)

Para el proceso de selección entre modelos que compiten, los econometristas han desarrollado todo un equipo de pruebas de diagnóstico. En términos generales, estas pruebas pueden agruparse en dos categorías:

1. Pruebas de modelos (hipótesis) anidados
2. Pruebas de modelos (hipótesis) no anidados.

Para ilustrar la diferencia entre las dos, considérense los siguientes modelos.

Enfoque de Hendry en la selección de modelos (IV)

Obvimente, al seleccionar tal modelo, se deberán ensayar diversas especificaciones (es decir, seleccionar diferentes valores de m) antes de encontrar finalmente modelo "final" (en busca del Santo Cáliz?).  Es por esto que la metodología de Hendry es conocida también como la TTT methodology, que traduce "prueba, prueba y prueba".

La posiblidad de aplicar este procedimiento estricto en la práctica es debatible. Los practicantes pueden desear tener en mente los criterios  anteriores al buscar que su modelo tenga éxito.

Enfoque de Hendry: Ser envolvente

ES decir, el modelo debe envolver o incluir a todos los modelos rivales en el sentido de ser capaz de explicar sus resultado. En otras palabras, no puede haber otros modelos que se constituyan como mejores con respecto al modelo seleccionado.

Enfoque de Hendry: Presentar coherencia en la información

Es decir, los residuales estimados del modelo deben ser puramente aleatorios (lo cual se conoce técnicamente como ruido blanco). De no ser éste el caso, habrá algún error de especificación en el modelo.

Enfoque de Hendry: Presentar constancia en los parámetros

Es decir, los valores de los parámetros deben ser estables. De lo contrario, la predicción será difícil.

Enfoque de Hendry: Tener regresores exógenos débiles

Es decir, los regresores no deben estar correlacionados con el término de error.

Enfoque de Hendry: Ser consistente con la teoría

ES decir, debe tener buen sentido económico. Así, si la hipótesis, del ingreso permanente se mantiene, el valor del intercepto en la regresión del consumo permanente sobre el ingreso permanente debe ser cero.

Enfoque de Hendry: Tener posibilidad de admitir datos

ES decir, las predicciones hechas por  el modelo deben ser lógicamente posibles

Enfoque de Hendry en la selección de modelos (III)

Los modelos tales como (14.2.2) se conocen como modelos dinámicos porque se está considerando explícitamente el comportamiento de una variable en el tiempo.

El modelo (14.2.2) es un ejemplo de lo que Hendry llama un modelo general en el sentido de que contiene diversos valores rezagados (m) de los regresores. Ese modelo es muy general pues el valor de m debe ser específicado. Si  se tiene información sobre Y y X, por ejemplo, para 100 trimestres, Cuántos valores rezagados se pueden incluir? Recuérdese que a medida que se continúa agregando más regresores a un modelo, se pierde un grado de libertad  por cada regresor adicional. A medida que los grados de libertad se reducen, la inferencia estadística se hace más inseguro.

Entonces, Cómo se hace para pasar de un modelo muy general a uno más específico o más simple (es decir, de arriba hacia abajo)? En otros términos cómo se decide el tamaño del rezago m? De acuerdo con Hendry y Richard, un modelo simplificado debe satisfacer los seis siguientes criterios.

Enfoque de Hendry en la selección de modelos (II)

Hendry y sus colegas asignan a las observaciones el subíndice de tiempo t puesto que la metodología LSE fue desarrollada para tratar principalmente con datos económicos de series de tiempo.

Por supuesto, la relación de largo plazo postulada en (14.2.1) demora algún tiempo para lograrse. Por consiguiente, la metodología LSE propone el siguiente tipo de procedimiento dinámico con el fin de alcanzar (14.2.1)

Enfoque de Hendry en la selección de modelos (I)

El enfoque de Hendry o enfoque del London School of Economics (LSE) al diseño de modelos económicos es comúnmente conocido como el enfoque de arriba hacia abajo o de lo general a lo específico en el sentido de que se empieza con un modelo que tiene diversos regresores y luego se va depurado hasta llegar a un modelo que contiene solamente las variables "importantes".

El punto de partida del LSE es que la teoría económica postula una relación de equilibrio de largo plazo entre las variables económicas, por ejemplo Y (el consumo permanente) y X (el ingreso permanente). Esta relación ser resume como

Yt = αXt

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (XI)

Como ejemplo, supóngase que se desean estudiar los efectos de la educación (E), la edad (A), el coeficiente intelectual IQ, la educación de los padres (EP) y el IQ de los padres (PIQ) sobre las ganancias. Supóngase que se consideran E,A, e IQ como variables clave y EP y PIQ como variables dudosas. Primero, se efectúa la regresión de las ganancias sobre E, A e IQ; luego, se efectúa la regresión sobre E, A, IQ y EP; luego, sobre E, A, IQ y PIQ; y luego, sobre E, A, IQ, EP y PIQ. Así se tienen cuatro estimaciones de cada uno de los coeficientes de E, A e IQ. Supóngase que las cuatro estimaciones del coeficiente de E están dentro de una cota muy estrecha. Este resultado sugeriría que el coeficiente de E no es muy sensible a la inclusión o exclusión de las variables dudosas y por consiguiente, nuestra información produce una estimación robusta  o sólida del coeficiente E.

Aunque algunas veces la decisión de cuáles regresores son variables claves o centrales y cuáles son dudosos no es fácil, el ACE de Leamer tiene un gran valor. Como lo anotan Darnell y Evans sobre el ACE.

Este índuce a los investigadores a reconocer explícitamente la incertidumbre que tienen sobre la especificación de ecuaciones; y a proporcionar una declaración más honesta de sus actividades en el terminal del computador

Al presentar sus informes con los resultados de la regresión,el investigador posiblemente desee tener en mente este consejo. 

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (X)

Para explicar en análisis de cota extrema de Leamer, suponga que en un modelo de regresión hay algunos regresores que el investigador considera como regresores libres (es decir, claves) y considera otros como dudosos (es decir, de importancia secundaria); los términos libre dudosos son de Leamer. Supóngase que se efectúan las regresiones sobre las variables claves incluyendo o excluyendo todas las combinaciones de las variables dudosas. En este ejercicio, los coeficientes de las variables clave cambiarán entre una regresión y otra. Por consiguiente, para el coeficiente de cada variable clave se tendrán diversas estimaciones; los valores más bajos y los más altos de la estimación constituirán una cota o un rango.

Si esta cota es angosta, se puede decir que los datos producen información sólida sobre el coeficiente en cuestión. Si, por otra parte, la cota es muy ancha, se concluye que la información produce una estimación frágil del coeficiente en cuestión. En ese caso se requiere mayor análisis.

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (IX)

Habiendo advertido que la variable precio de la toronja estadísticamente no es significativa y que numéricamente los coeficientes del ingreso y del precio-propio no son muy diferentes, finalmente el investigador estima el siguiente modelo:

La regresión (14.1.18) es un ejemplo de búsqueda de simplificación, cuyo objetivo es obtener un modelo simple (recuérdese la cuchilla de Occam) o económico pero útil.
Leamer continúa para demostrar, más o menos en seis capítulos de su libro, la forma como este procedimiento de búsqueda ad hoc puede fortalecerse utilizando las técnicas estadísticas bayesianas. Puesto que el estudio de las estadísticas bayesianas est;a por fuera del alcance de este libro, el lector interesado puede consultar su libro.

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (VIII)

El investigador recuerda entonces el postulado de homogeneidad de la teoría de demanda de que no hay ilusión monetaria (si el ingreso y los precios cambian todos en la misma proporción, las compras no cambiarán). Se reestima entonces la función de demanda con esta restricción:

Esta regresión es el resultado de la búsqueda interpretativa; en comparación con (14.1.6), la imposición de la hipótesis de homogeneidad ha "mejorado" los resultados de la regresión en el sentido de que las variables precio tienen el signo correcto y tanto las variables ingreso como las de precio-propio son estadísticamente significativas de manera individual.

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (VII)

Al observar que los valores de R² en (14.1.3) a (14.1.5) son bajos, el investigador piensa que el precio de un producto sustituto, por ejemplo, la toronja, debe agregarse a la función de demanda. Así, el investigador reestima la función de demanda y obtiene los siguientes resultados:

donde GP es el precio de la toronja. Esta ecuación es un ejemplo de construcción del modelo posterior a los datos, es decir, se realiza una revisión del modelo original a la luz de los resultados iniciales. Aunque en la regresión (14.1.6) el valor R² se ha incrementado, los dos coeficientes de los precios no solamente no son estadísticamente significativos a manera individual, sino que también tienen los signos equivocados (Por que?)

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (VI)

Considerando que el gasto total E puede ser una mejor medida del ingreso que I, o ingreso monetario, el investigador sustituye E por I y obtiene los siguientes resultados.

Como resultado de esta búsqueda de variable aproximada, el coeficiente de E, la variable ingreso, es ahora más significativa y el R² se ha incrementado.

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (V)

Puesto que la importancia nutricional de las naranjas puede ser máxima en áreas con luz solar limitada, el investigador estima dos regresiones separadas, una para las personas del norte y la otra para las del sur, con los siguientes resultados:

donde los superíndices N y S representan el norte y el sur. La hipótesis de que los coeficientes de las variables ingreso y precio son diferentes no es rechazada al nivel de significancia del 5%. Este es un ejemplo de búsqueda de selección de datos. Obsérvese que se utiliza el mismo modelo, es decir, (14.1.1), excepto que la muestra de 150 observaciones está divida en dos grupos de datos, según correspondan al sur o al norte.

Enfoque de Leamer en la selección de modelos (IV)

Sin suscribirse a este modelo log-lineal, Leamer describe a continuación la forma como se inicia una investigación típica.

Como ejemplo de la búsqueda de prueba de hipótesis, supóngase que el investigador desea probar la hipótesis de que el coeficiente de elasticidad-precio es -1. Impuesta esta restricción, el investigador estima la siguiente regresión restringida.