Prueba de "Las rachas" (III)

Entonces, bajo la hipótesis nula de que los resultados sucesivos (en este caso, residuales) son independientes y suponiendo n1 > 10 y n2 > 10, el número de rachas está (asintoticamente) normalmente distribuido con:

Prueba de "Las rachas" (II)

Es así como hay 8 residuales negativos, seguidos por 13 residuales positivos, seguidos por 1 residual negativo y un residual positivo, seguido por 9 residuales negativos. Se define ahora una racha como una secuencia ininterrumpida de un símbolo o atributo, tal como + o -. Se expresa además la longitud de una racha como el número de elementos en ésta. En la secuencia mostrada en (12.5.1), hay 5 rachas: una racha de 8 signos menos (es decir, la longitud 1), una racha de 1 signo más (es decir, de la longitud 1) y una racha de 9 signos menos (es decir, de longitud 9). Para un mejor efecto visual, hemos presentado las diversas rachas en paréntesis.

Al examinar el comportamiento de las rachas en una secuencia de observaciones estrictamente aleatoria, es posible derivar una prueba de la aleatoriedad de las rachas. SE hace la siguiente pregunta: Las 5 rachas observadas en el ejemplo ilustrativo consistente de 32 observaciones, son muchas o muy pocas en comparación con el número de rachas esperadas en una secuencia de 32 observaciones estrictamente aleatoria?. Si hay muchas rachas, significa que en el ejemplo las û cambian de signo frecuentemente y se indica con esto una correlación serial negativa (compárese con fig. 12.3b) En Forma similar, si hay muy pocas rachas, éstas pueden sugerir autocorrelación positiva, como en la figura 12.3a. Entonces, a priori, la figura 12.7 indicará una correlación positiva en los residuales.

Ahora sea:

n =número total de observaciones =n1 + n2
n1 = número de símbolos +(es decir, residuales +)
n2 = número de símbolos - (es decir, residuales -)
k= número de rachas

Prueba de "Las rachas" (I)

Al reexaminar la figura 12.7, se observa una característica peculiar: inicialmente, se tienen varios residuales que son negativos, luego se presenta una serie de residuales positivos y finalmente se observan muchos residuales, nuevamente negativos. Si los residuales fuesen puramente aleatorios, sería posible observar el patrón? Intuitivamente parece poco probable. Esta intuición puede verificarse mediante la llamada prueba de "las rachas", conocida también algunas veces como la prueba de Geary, una prueba no paramétrica. Para explicar esta prueba, se anotan simplemente los signos (+ o -) de los residuales de la regresión salarios-productividad dados en la tabla 12.4, columna 1.

Método gráfico (III)

Para ver esto en forma diferente, se puede graficar ût frente a ût-1, es decir, el residual en el tiempo t frente a su valor en el tiempo (t-1), una clase de prueba empírica del esquema AR(1). Si los residuales no son aleatorios, se deben obtener gráficas similares a las que aparecen en la figura 12.3. Cuando se gráfica ût frente a ût-1 para la regresión salarios-productividad, se obtiene la gráfica que aparece en la figura 12.8; la información básica está dada en la tabla 12.4. Como lo revela esta figura, la mayoría de los residuales están agrupados en el primero (noreste) y tercer (suroeste) cuadrantes, sugiriendo fuertemente que hay correlación positiva en los residuales. Más adelante, se verá la forma de utilizar este conocimiento para eliminar el problema de autocorrelación.

Por naturaleza, el método gráfico que se acaba de exponer es esencialmente subjetivo o cualitativo. Sin embargo, hay diversas pruebas cuantitativas que pueden ser utilizadas para completar el enfoque puramente cualitativo. A continuación se consideran algunas de estas pruebas.

Método gráfico (II)

Hay diversas formas de examinar los residuales. Se puede simplemente graficarlos frente al tiempo, a través de una gráfica de secuencia de tiempo, como se hizo en la figura 12.7 que muestra los residuales obtenidos de la regresión de salarios sobre la productividad de los Estados Unidos durante el período 1960-1991 a partir de los datos que aparecen en el apéndice 12A, sección 12A.1). Alternativamente, se pueden graficar los residuales estandarizados frente al tiempo, los cuales también se muestran en la figura 12.7 y en la tabla 12.4. Los residuales estandarizados son simplemente las ût divididas por σ, el error estándar de la estimación (= √σ²). Obsérvese que ût al igual que σ están medidos en las unidades en las cuales se mide la variable regresada Y. Los valores para ût/σ serán números puros (desprovistos de unidades de medición) y, por consiguiente, pueden ser comparados con los residuales estandarizados de otras regresiones. Además, los residuales estandarizados, tales como ût, tienen media igual a cero (Por que?) y varianza aproximadamente igual a la unidad. En muestras grandes (ût/σ) está distribuida en forma aproximadamente normal con media cero y varianza unitaria.

Al examinar la gráfica de secuencia de tiempo dada en la figura 12.7, se observa que tanto ût como ût estandarizados presentan un patrón similiar al obtenido en la figura 12.1d, sugiriendo que tal vez las ut no son aleatorias.

Método gráfico (I)

Recuérdese que el supuesto de no autocorrelación del modelo clásico se relaciona con las perturbaciones poblacionales ut, las cuales no pueden ser observadas directamente. En su lugar, se dispone de sus valores aproximados, los residuales ût que pueden obtenerse a partir del procedimiento usual MCO. Aunque las ût no son lo mismo que las ut, con mucha frecuencia un examen visual de las û nos da algunas claves sobre la posible presencia de autocorrelación en las u. Realmente, un examen visual de ût (o ût²) puede proporcionar información útil no solamente sobre autocorrelación, sino también sobre heteroscedasticidad (como se vió en el capítulo anterior), sobre el grado de adecuación del modelo o sobre el sesgo de especificación, como se verá en el siguiente capítulo. Como lo afirma el autor:

La importancia de producir y analizar gráficas [de residuos] como una parte estándar del análisis estadístico no puede ser enfatizada. Éstas, además de proporcionar ocasionalmente un resumen fácil para entender un problema complejo, permiten el examen simultáneo de la información, considerada en su conjunto, mientras que a la vez ilustran claramente el comportamiento de los casos individuales.

Detección de la autocorrelación

Como se demostró en la sección 12.4, la autocorrelación es potencialmente un problema grave. Por consiguiente, las medidas remediales son ciertamente apropiadas. Por supuesto, antes de hacer algo, es esencial averiguar si existe autocorrelación en una situación dada. En esta sección se considerarán algunas pruebas de correlación serial usados comúnmente.

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (IX)

Esta regresión es mucho más cercana a la "verdadera" porque las Y son ahora esencialmente aleatorias. Obsérvese que σ² ha aumentando de 0.8114 (ρ = 0.7) a 0.9752 (ρ = 0). Obsérvese también que los errores estándar de β1 y β2 han aumentado. Este resultado está de acuerdo con los resultados teóricos considerados anteriormente.

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (VIII)

Para tener una mejor idea de hasta dónde se subestima el verdadero valor de σ², supóngase que se lleva a cabo otro experimento de muestreo. Manteniendo los valores de Xt y εt dados en las tablas 12.1 y 12.2, supóngase que ρ = 0, es decir, que no hay autocorrelación. La nueva muestra de valores de Y, así generados, está dada en la tabla 12.3

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (VII)

La figura 12.6 también muestra por qué es probable que la verdadera varianza de ui esté subestimada  por el estimador σ², el cual es calculado a partir de las ui. Las ui generalmente están cerca de la línea ajustada (la cual se debe al procedimiento MCO) pero se desvía sustancialmente de la verdadera FRP. Por tanto, éstas no dan una imagen correcta de ui.

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (VI)

Ahora, utilizando una tabla de números aleatorios normales con media cero y varianza unitaria, se generan los 10 números aleatorios que se muestran en la tabla 12.1 mediante el esquema (12.4.5). Para iniciar el esquema, se necesita especificar el valor inicial de u, por ejemplo, uo = 5.

Graficando las ut generadas en la tabla 12.1, se obtiene la figura 12.5 que muestra que inicialmente en forma sucesiva, cada ut tiene un valor más alto, que su valor anterior y posteriormente éste generalmente es menor que su valor anterior mostrando, en general, una autocorrelación positiva.

Ahora, supóngase que los valores de X están dados en 1,2,3,....,10. Entonces, dadas estas X, se puede generar una muestra de 10 valores Y de (12.4.3) y los valores de ut dados en la tabla 12.1.

Los detalles se dan en la tabla 12.2. Utilizando la información de la tabla 12.2, si se efectúa la regresión de Y sobre X, se obtiene la siguiente regresión (muestra).

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (V)

Para ver la forma como es probable que MCO subestime σ² y la varianza de β2, se realiza el siguiente experimento de Monte Carlo. Supóngase que en el modelo de dos variables, "se conoce" el verdadero β1 = 1 y β2 = 0.8. Por consiguiente, la FRP estocástica es

donde εt satisface todos los supuestos MCO. Supóngase además, por convenciencia, que los εt están normalmente distribuidos conmedia cero y varianza unitaria (=1). La ecuación (12.4.5) postula que las perturbaciones consecutivas están correlacionadas positivamente, con un coeficiente de autocorrelación de +0.7, un grado más bien alto de dependencia.

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (IV)

Pero aún σ² no es subestimada, var(β2) es un estimador sesgado de var(β2)ARI, lo cual puede verse fácilmente comparando (12.2.6) con (12.2.7), ya que las dos fórmulas no son iguales. En realidad, si ρ es positivo (lo cual es cierto para la mayoría de las series de tiempo económicas) y las X están correlacionadas positivamente (que también es cierto para la mayoría de las series de tiempo económicas), entonces es claro que:

var(β2) < var(β2)ARI

es decir, la varianza MCO usual de β2 subestima su varianza bajo AR(1). Por consiguiente, si se utiliza var(β2), se estará inflando la precisión o exactitud (es decir, se subestima el error estándar) del estimador β2. Como resultado, al calcular la razón t como t = β2/se(β2) (bajo la hipótesis de que β2 = 0), se está sobreestimando el valor de t y, por tanto, la significancia estadística de β2 estimado. La situación tiende a empeorar si adicionalmente, σ² está subestimada, como se anotó anteriormente.

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (III)

Para establecer algunas de estas proposiciones, téngase en cuenta el modelo de  dos variables. Se sabe del capítulo 2, que bajo el supuesto clásico.

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (II)

1. Es probable que la varianza residual σ² = Σu²t/(n-2) subestime la verdadera σ² 
2. Como resultado, es probable que se sobreesime R².
3. Aun si σ² no está subestimada, var(β2) puede subestimar var(β2)ARI[ecuación 12.2.6], su varianza bajo autocorrelación (de primer orden), aun cuando ésta última es ineficiente comparada con var(β2)^MCG
4. Por consiguiente, las pruebas de significancia t y F usuales dejan de ser válidas y, de ser éstas aplicadas, es probable que conduzcan a conclusiones erróneas sobre la significancia estadísticas de los coeficientes de regresión estimados.
   

Estimación MCO ignorando la autocorrelación (I)

La situación es potencialmente muy grave si no solamente se utiliza β2, sino que también se continúa utilizando var(β2) = σ²/Σx²t, con lo cual se ignora completamente el problema de autocorrelación, es decir, se cree erróneamente que los supuestos usuales del modelo clásico se mantienen. Surgirán errores por las siguientes razones:

Estimación MCO permitiendo la autocorrelación

Como se mencionó, β2 no es MELI y aun si se fuera a usar var(β2)ARI, es probable que los intervalos de confianza derivados de allí sean más amplios que aquellos basados en el procedimiento MCG. como lo indica Kmenta, es probable que éste sea el resultado aun si el tamaño de la muestra se incrementa indefinidamente. Es decir, β2 no es asintóticamente eficiente. La implicación de este hallazgo para la prueba de hipótesis es clara: es probable que se declare un coeficiente estadísticamente no significativo (es decir, no diferente de cero) aunque en realidad pueda serlo (es decir, si se basa en el procedimiento MCG correcto). Esta diferencia puede verse claramente de la figura 12.4. En esta figura se muestran intervalos de confianza al 95% MCO [AR(1)] y MCG suponiendo que el verdadero β2 = 0. Considérese una estimación particular de β2, por ejemplo b2. Puesto que b2 cae en el intervalo de confianza MCO, se puede aceptar la hipótesis de que el verdadero β2 es cero un 95% de confianza. Pero, si fuéramos a utilizar el intervalo de confianza MCG (correcto), se podría rechazar la hipótesis nula de que el verdadero β2 es cero, ya que b2 cae dentro de la región de rechazo.

Consecuencias de utilizar MCO en presencia de autocorrelación

Como en el caso de la heteroscedasticidad, en presencia de autocorrelación los estimadores MCO continúan siendo líneales-insesgados al igual que consistentes, pero dejan de ser eficientes (es decir, no tienen mínima varianza) Qué sucede entonces con los procedimientos usuales de prueba de hipótesis si se continúan utilizando los estimadores MCO? Nuevamente, como en el caso de heteroscedasticidad, se distinguen dos casos. Por razones pedagógicas, se continúa trabajando con el modelo de dos variables, aunque el siguiente análisis puede extenderse a regresiones múltiples sin mucho esfuerzo.

Estimador MELI en presencia de autocorrelación (II)

El estimador β2^MCG, como lo sugiere el superíndice, se obtiene por el método MCG. Como se mencionó en el capitulo 11, en MCG se incorpora directamente cualquier información adicional que tengamos (por ejemplo, la naturaleza de la heteroscedasticidad o de la autocorrelación) en el proceso de estimación mediante la transformación de variables, mientras que en MCO, tal información no se tiene en consideración directamente. Como el lector puede ver, el estimador MCG de β2 dado en (12.3.1) incorpora el parámetro de autocorrelación ρ en la formula de estimación, mientras que la fórmula MCO dada en (12.2.5) simplemente lo ignora. Intuitivamente, esta es la razón por la cual es estimador MCG es MELI y el estimador MCO no lo es- el estimador MCG hace uso máximo de la información disponible. No es preciso mencionar que si ρ = 0, no hay información adicional que deba ser considerada y por tanto, los estimadores MCG y MCO son idénticos.

En resumen, bajo autocorrelación, el estimador MCG dada en (12.3.1) es MELI y la varianza mínima está dada ahora por (12.3.2) y no por (12.2.6) y, obviamente, no por (12.2.7)

Que sucede si se continúa trabajando con el procedimiento MCO usual a pesar de la autocorrelación? la respuesta se da en la siguiente sección.

Estimador MELI en presencia de autocorrelación (I)

Continuando con el modelo de dos variables y suponiendo el proceso AR (1), es posible demostrar que el estimador MELI β2 está dado por la siguiente expresión:

donde C es un factor de corrección que puede ser ignorado en la práctica. Obsérvese que el subíndice t varía ahora de t = 2 a t = n. Y su varianza está dada por

donde también D es un factor de corrección que también puede ser ignorado en la práctica.

Estimación MCO en presencia de autocorrelación (V)

Una comparación de (12.2.6) con (12.2.7) muestra que la primera es igual a la última más un término que depende de ρ, igual que de las covarianzas muestrales entre los valores que toma X. En general, no se puede decir que la var(β2) sea menor o mayor que var(β2)AR1. Por supuesto, si ρ es cero, las dos fórmulas coincidirán, como debería ser. Por qué?.

Supóngase que se sigue utilizando el estimador MCO β2 y se ajusta la fórmula de varianza corriente, teniendo en cuenta el esquema AR(1). Es decir, se utiliza β2 y se ajusta la fórmula de varianza corriente, teniendo en cuenta el esquema AR(1). Es decir, se utiliza el β2 dado por (12.2.5) pero se usa la fórmula de varianza dada por (12.2.6). Cómo son ahora las propiedades de β2? Es fácil de probar que β2 es aun lineal e insesgado. En realidad, como se observa en el apéndice 3A, sección 3A.2, no se requiere el supuesto de no correlación serial, ni el supuesto de no heteroscedasticidad, para demostrar que β2 es insesgado. Es β2 aun MELI? Desafortunadamente, no lo es; en la clase de estimadores lineales e insesgados, éste no tiene varianza mínima.

En resumen, aunque β2 es lineal-insesgado, éste no es eficiente (hablando en términos relativos, por supuesto). El lector notará que este hallazgo es bastante similar al hallazgo de que β2 es menos eficiente en presencia de heteroscedasticidad. Allí se vió que el estimador eficiente era el estimador de mínimos cuadrados ponderados, β2, dado en (11.3.8), un caso especial del estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG). En el caso de autocorrelación se puede encontrar un estimador que sea MELI? La respuesta es sí, como puede verse del análisis en la siguiente sección.

Estimación MCO en presencia de autocorrelación (IV)

No sólo eso, se puede suponer que ut se genera por una mezcla de procesos autorregresivos y de medias móviles. Por ejemplo, se puede considerar

ut = ρu(t-1) + vt + λv(t-1)

que es llamado, aproximadamente, esquema ARMA (1,1) puesto que es una combinación de los esquemas autorregresivos de primer orden y de media móvil de primer orden. Por supuesto, los esquemas ARMA de órdenes superiores también pueden ser considerados. En el capítulo sobre series de tiempo econométricas (capítulo 22) se retornará a este tema.

Por el momento, se utiliza el esquema AR(1) dado en (12.2.1), no solamente por su simplicidad, sino también porque en muchas aplicaciones ha demostrado ser bastante útil. Además, se ha realizado una gran cantidad de trabajo teórico y empírico sobre el esquema AR(1).

Ahora, el estimador MCO de β2,como es usual, es

Estimación MCO en presencia de autocorrelación (III)

El esquema (12.2.1) se conoce como un esquema atorregresivo de primer orden de Markov o simplemente un esquema autorregresivo de primer orden y generalmente se denota como AR(1). El nombre autorregresivo es apropiado puesto que (12.2.1) puede ser interpretado como la regresión de ut sobre su propio rezago un período. Es de primer orden porque solamente ut y su valor pasado inmediato están involucrados, es decir, el rezago máximo es 1. Si el modelo fuera ut = ρ1ut(t-1) + ρ2u(t-2)+ εt, sería un AR (2) o esquema autorregresivo de segundo orden y así sucesivamente. A propósito, obsérvese que ρ, el coeficiente de autocovarianza, también puede ser interpretado como el coeficiente de autocorrelación de primero orden, o, en forma más precisa, el coeficiente de autocorrelación del rezago 1o.

Lo que (12.2.1) postula es que el movimiento  o desplazamiento en ut consta de dos partes: una parte ρu(t-1) que corresponde a un desplazamiento sistemático y la otra εt que es puramente aleatoria. Antes de proseguir, obsérvese que no hay razón a priori por la cual no podamos adoptar un AR(2) o AR(3) o cualquier esquema autoregresivo de orden superior al de (12.2.1). De hecho, se hubiera poido suponer que ut es generado por el siguiente mecanismo:

ut = vt  .+ λvt-1

donde v es un término de perturbación aleatorio con media cero y varianza constante y λ es una constante tal que |λ | < 1. El esquema generador de errores (12.2.3) es conocido como un media móvil de primer orden o esquema MA(1) porque comprende la obtención del promedio de dos variables aleatorias adyacentes. ES posible considerar también esquemas MA de órdenes mayores.

EStimación MCO en presencia de autocorrelación (II)

Para orientar el camino, se debe ahora suponer el mecanismo que generan las ut, ya que E(ut, ut+s) ≠ 0 (s≠ 0) es muy general como supuesto para ser de alguna utilidad práctica. Como punto de partida, o primera aproximación, se puede suponer que las perturbaciones se generan de la siguiente manera

EStimación MCO en presencia de autocorrelación (I)

Qué les sucede a los estimadores MCO y a sus varianzas si se introduce autocorrelación en la perturbaciones, suponiendo que E(uiuj) ≠ 0 (i≠ j), pero se conservan todos los demás supuestos del modelo clásico? Una vez más, se vuelve al modelo de regresión con dos variables para explicar las ideas básicas aquí contenidas, a saber, Yt= β1 + β2Xt + ut, donde t denota los datos u observaciones en el tiempo t; obsérvese que ahora se está tratando con información de series de tiempo.

Manipulación de datos (II)

Antes de concluir con esta sección, obsérvese que el problema de autocorrelación es generalmente más común en los datos de series de tiempo, aunque puede presentarse y, de hecho, se presenta en la información de corte transversal. En la información de series de tiempo, las observaciones están ordenadas en orden cronólogico. Por consiguiente, es probable que haya intercorrelaciones entre las observaciones sucesivas especialmente si el intervalo de tiempo entre éstas es corto, como por ejemplo un día, una semana o un mes en lugar de un año. Generalmente, no hay tal orden cronológico en la información de corte transversal, aunque en algunos casos puede existir un orden similar. De esta forma, en una regresión de corte transversal del gasto de consumo sobre el ingreso, donde las unidades de las observaciones son los 50 estados de los EStados Unidos, es posible que la información esté ordenada en forma de grupos tales como sur, suroeste, norte, etc. Puesto que es probable que el patrón de consumo difiera entre una región geográfica y otra, aunque sean sustancialmente similares dentro de una región dada, los residuales estimados de la regresión pueden presentar un patrón sistemático asociado con diferencias regionales. El punto de anotar es que, aunque la incidencia de la autocorrelación está asociada predominantemente con la información de series de tiempo, ésta puede presentarse en la información de corte transversal. Algunos autores denominan la autocorrelación como información de corte transversal autocorrelación espacial, es decir, correlación en el espacio más que el tiempo. Sin embargo, es importante recordar que en el análisis de corte transversa, el ordenamiento de la información debe tener alguna lógica o interés económico para dar sentido a cualquier determinación de si hay o no presencia de autocorrelación.

Debe mencionarse también que la autocorrelación puede ser positiva o negativa, aunque generalmente muchas series económicas de tiempo presentan autocorrelación positiva porque la mayor parte de éstas se mueven hacia arriba o hacia abajo durante períodos prolongados de tiempo. El comportamiento que muestra en la figura 12.3b de movimientos constantes hacia arriba y hacia abajo no es frecuente.

Manipulación de datos (I)

En el análisis empírico, los datos simples son frecuentemente "manipulados". Por ejemplo, en las regresiones de series de tiempo que contienen información trimestral, esa información generalmente se deriva de información mensual agregando simplemente las observaciones de tres meses y dividiendo la suma por 3. Este procedimiento de promediar las cifras introduce cierto suavizamiento en los datos al eliminar las fluctuaciones en la información mensual. Por consiguiente, la gráfica referente a información trimestral aparece mucho más suave que la que contiene la información mensual y este suavizamiento puede, en sí mismo, inducir a un patrón sistemático en las perturbaciones, introduciendo con esto autocorrelación. Otra fuente de manipulación es la interpolación o extrapolación en la información. Por ejemplo, el Censo de población es realizado cada 10 años en los EStados Unidos y fueron efectuados los dos últimos en 1990 y 1980. Ahora bien, si se necesita obtener datos para algún año comprendido en el período intercensal 1980-1990, la práctica común consiste en la interpolación con base en algunos supuestos ad hoc. Todas estas técnicas de "manejo" podrían imponer sobre la información un patrón sistemático que pudiera no estar presente en la información original.

Rezagos

En una regresión de series de tiempo del gasto de consumo sobre el ingreso, no es extraño encontrar que el gasto de consumo en el período actual dependa, entre otras cosas, del gasto de consumo del período anterior. Es decir,

Consumot = β1 + β2 ingresot + β3 consumo (t-1) +ut

Una regresión tal como (12.1.7) se conoce como autorregresión porque una de las variables explicativas es el valor rezagado de la variable dependiente. (Estos modelos se estudiarán en el capítulo 17). El razonamiento para un modelo tal como (12.1.7) es sencillo. Los consumidores no cambian sus hábitos de consumo fácilmente por razones sicológicas, tecnológicas o institucionales. Ahora, si ignoramos el término rezagado en (12.1.7) el término de error resultante reflejará un patrón sistemático debido a la influencia del consumo rezagado sobre el consumo actual.