viernes, 28 de febrero de 2014

Modelos de tres variables: notación y supuestos (I)

GEneralizando la función de regresión poblacional (FRP) de dos variables (2.4.2) se puede escribir la FRP de tres variables así:

donde Y es la variable dependiente, X2 y X3 las variables explicativas (o regresores), u es el término de perturbación estocástica, e i la iésima observación; en caso de información de series de tiempo, el subíndice t denotará la t ésima observación.

En la ecuación (7.1.1) β1 es el término del intercepto. Como es usual, este término nos da el efecto medio o promedio sobre Y de todas las variables excluidas del modelo, aunque su interpretación  mecánica sea el valor promedio de Y cuando X2 y X3 se hacen iguales a cero. Los coeficientes β2 y β3 se denominan coeficientes de regresión parcial y su significado se explicará en breve.

jueves, 27 de febrero de 2014

Análisis de Regresión Múltiple: Problema de Estimación

El modelo de dos variables, estudiado extensamente en los capítulos anteriores, con frecuencia es inadecuada en la práctica. Es el caso del ejemplo de consumo-ingreso, en donde se supuso implícitamente que solamente el ingreso X afecta al consumo Y. Pero la teoría económica rara vez es tan simple, ya que, además del ingreso, existen muchas otras variables que probablemente afectan el gasto de consumo. Un ejemplo obvio es la riqueza del consumidor. Para citar otro ejemplo, es probable que la demanda de un bien dependa no sólo de su propio precio sino también de los precios de otros bienes competitivos o complementarios, del ingreso del consumidor, de la condición social, etc. Por consiguiente, se necesita ampliar el modelo simple de regresión con dos variables para considerar modelos que contengan más de dos variables. La adición de variables conduce al análisis de los modelos de regresión múltiple, es decir, modelos en los cuales la variable dependiente, o regresada. Y depende de dos o más variables explicativas, o regresores.

El modelo de regresión múltiple más simple posible es la regresión de tres variables, con una variable dependiente y dos variables explicativas. En este capítulo y en el siguiente se estudiará este modelo y, en el capítulo 9, se generalizará a más de tres variables. Durante todo el análisis, se tratará con modelos de regresión lineal múltiple, es decir, modelos lineales en los parámetros; que pueden ser o no lineales en las variables.

miércoles, 26 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (VIII)

8. Si bien el análisis hasta el momento se ha limitado a modelos de regresión con dos variables los capítulos subsiguientes mostrarán, que en muchos casos, la extensión a modelos de regresión múltiple simplemente involucran más álgebra sin introducir necesariamente más conceptos fundamentales. Por esta razón, es muy importante que el lector tenga un concepto claro del modelo de regresión de dos variables.

martes, 25 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (VII)

7. Al seleccionar las diversas formas funcionales, debe prestarse gran atención al término de perturbación estocástica ui. Como se anotó en el capítulo 5, el MCRL supone explícitamente que el valor de la media del término de perturbación estocástico es cero y su varianza es constante (homoscedástica) y no está correlacionado con el(los) regresor(es). Es bajo estos constante (homoscedástica) y no está correlacionado con el(los) regresor(es). ES bajo estos supuestos que los estimadores MCO son MELI. Además najo el MCRLN, los estimadores MCO están también normalmente distribuidos. Por consiguiente, se debe verificar si estos supuestos se mantienen en la forma funcional escogida para el análisis empírico. Después, de realizar la regresión, el investigador debe aplicar pruebas de diagnóstico, tales como la prueba de la normalidad, estudiada en el capítulo 5. Este punto no puede ser sobreenfatizado, ya que las pruebas de hipótesis clásicas, tales como la t,F y X², descansan en el supuesto de que las perturbaciones están normalmente distribuidas. Esto es especialmente crítico si el tamaño de la muestra es pequeño.

lunes, 24 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (VI)

6. En los modelos recíprocos, el regresado o el regresor está expresado en forma recíproca o inversa para capturar  relaciones no lineales entre variables económicas, como sucede en la conocida curva de Phillips.

domingo, 23 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (V)

5. En el modelo semilog, el regresado o el(los) regresor(es) están en forma log. En el modelo semilógaritmico, en el cual el regresado es logarítmico y el regreso X es tiempo, el coeficiente de la pendiente estimado (multiplicado por 100) mide la tasa de crecimiento  (instantánea) del regresado. Tales modelos se utilizan frecuentemente para medir la tasa de crecimiento de muchos fenómenos económicos. En el modelo semilogarítmico, si el regresor es logarítmico, su coeficiente mide la tasa de cambio absoluta en el regresado por un cambio porcentual dado en el valor del regresor. 

sábado, 22 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (IV)

4. En el modelo log-lineal, el regresado y el(los) regresor(es) están(n) expresados en forma logarítimica. El coeficiente de regresión asociado al log de un regresor es interpretado como la elasticidad del regresado con respecto al regresor.

viernes, 21 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (III)

3. Es igualmente importante la forma funcional de la relación entre el egresado y el(los) regresor(es). Algunas de las formas funcionales importantes estudiadas en este capítulo son (a) el modelo log-lineal o de elasticidad constante, b) los modelos de regresión semilogarítmicos y c) los modelos recíprocos.

jueves, 20 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (II)

2. Las unidades y la escala en las cuales están expresadas el regresado y el (los) regresor (es), son muy importantes puesto que la interpretación de los coeficientes de regresión depende criticamente de estos. En la investigación empírica, el investigador no solamente debe citar la fuente de los datos, sino también describir explícitamente la forma como se miden las variables.

miércoles, 19 de febrero de 2014

Resumen y conclusiones Extensiones del Modelo de regresión lineal (I)

1. Algunas veces, un modelo de regresión puede no contener un término explícito de intercepto. Estos modelos se conocen como regresión a través del origen. A pesar de que el álgebra requerida en la estimación de tales modelos es simple, se deben utilizar con cautela. En tales modelos, la suma de los residuos Σûi es diferente de cero; adicionalmente el r² calculado convencionalmente puede no tener significado. A menos que exista una razón teórica fuerte, es mejor introducir el intercepto explícitamente en el modelo.

martes, 18 de febrero de 2014

Nota sobre la naturaleza del término error estocástico: término de error estocástico aditivo vs multiplicativo (III)

Por consiguiente, cuando se realice la regresión (6.8.2a) se tendrá que aplicar las pruebas de normalidad estudiadas en el capítulo 5 a los residuos obtenidos de esta regresión. A propósito obsérvese que si ln ui sigue una distribución normal con media cero y varianza constante, entonces la teoría estadística muestra que ui en (6.8.2) debe seguir la distribución log-normal con media e^(σ²/2) y varianza e^σ²(e^σ² -1)

Como lo muestra el análisis anterior, se tiene que prestar mucha atención al término de error al transformar un modelo para el análisis de regresión. Igual que para (6.8.4), éste es un modelo de regresión no lineal en los parámetros y deberá ser resuelto mediante algún procedimiento computacional iterativo. La estimación del modelo (6.8..3) no debe tener ningún problema.

Para resumir, se debe prestar atención al término de perturbación cuando se transforme un modelo para el análisis de regresión. De lo contrario, una aplicación a ciegas de MCO al modelo transformado no producirá un modelo con las propiedades estadísticas deseables.

lunes, 17 de febrero de 2014

Nota sobre la naturaleza del término error estocástico: término de error estocástico aditivo vs multiplicativo (II)

A pesar de que (6.8.2) y (6.8.3) son modelos de regresión lineal y pueden ser estimados por MCO o MV, se debe ser cuidadoso sobre las propiedades del término de error estocástico, considerado en estos modelos. Recuérdese que la propiedad MELI de MCO exige que el valor de la media de ui sea cero, varianza constante y autocorrelación cero. Para la prueba de hipótesis, suponemos además que ui sigue una distribución normal con los valores de la media y la varianza recién estudiados. En resumen, se ha supuesto que ui ~ N(0,σ²).

Ahora, considérese el modelo (6.8.2). Su contraparte estadística está dada en (6.8.2a). Para utilizar el modelo clásico de regresión lineal normal (MCRLN), se debe suponer que.

ln ui ~ N(0,σ²)

domingo, 16 de febrero de 2014

Nota sobre la naturaleza del término error estocástico: término de error estocástico aditivo vs multiplicativo (I)

Considérese el siguiente modelo de regresión, que es similar a (6.4.1) pero sin el término de error:



Modelos como (6.8.2) son modelos de regresión intrínsecamente lineales (en los parámetros), en el sentido en que, mediante una apropiada transformación (log), los modelos pueden hacerse lineales en los parámetros α y β2 (Nota: Estos modelos son no lineales en β1.) Pero el modelo (6.8.4) intrinsecamente es no lineal en los parámetros. No hay una manera simple de obtener el log de (6.8.4) porque ln(A+B)≠ ln A + ln B.

sábado, 15 de febrero de 2014

Resumen de formas funcionales

En la tabla 6.5 resumimos las características más sobresalientes de las diversas formas funcionales consideradas hasta el momento.

viernes, 14 de febrero de 2014

Ejemplo Ilustrativo: Curva de Phillips para el Reino Unido, 1950-1966 (II)

A propósito, obsérvese que el valor de r² es más bien bajo, aunque el coeficiente de la pendiente es estadísticamente diferente de cero y tiene el signo correcto. Esta observación, como lo argumentaremos en el capítulo 7, es una razón por la cual no se debe enfatizar indebidamente el valor de r².


jueves, 13 de febrero de 2014

Ejemplo Ilustrativo: Curva de Phillips para el Reino Unido, 1950-1966 (I)

La tabla 6.4 presenta información sobre el cambio porcentual anual en tasas de salario Y y la tasa de desempleo, X para el Reino Unido durante el período 1950-1966.

Un intento de ajustar el modelo recíproco (6.6.1) arrojó los siguientes resultados (veáse el listado SAS en el apéndice 6A.3)




La línea de regresión estimada se gráfica en la figura 6.8 De esta figura es claro que la base salarial es -1.43%, es decir, a medida que X aumenta indefinidamente, disminución porcentual en los salarios no será superior al 1.43% por año.

miércoles, 12 de febrero de 2014

Modelos Recíprocos (III)

Una aplicación imponente de la figura 6.5c es la curva de gasto de Engel (llamada así por el estadistico alemán alemán Ernst Engel, 1821-1896), que relaciona el gasto del consumidor en un bien frente a su gasto o ingreso total. Sea Y el gasto en un bien y X el ingreso entonces, para algunos bienes se presentan las siguientes caracteristicas: (a) Existe un umbral o nivel crítico de ingreso por debajo del cual el bien no es comprado; en la figura 6.5c este umbral del ingreso se encuentra en el nivel- (β2/β1). (b) Existe un nivel de satisfacción de consumo que el consumidor no traspasará sin importar qué tan alto sea el ingreso. Este nivel no es otra cosa que la asíntota β1 que aparece en esta figura. Para tales bienes, el modelo recíproco representado en la figura 6.5c es el más apropiado.

martes, 11 de febrero de 2014

Modelos Recíprocos (II)

Una de las aplicaciones importantes de la figura 6.5b es la conocida cura de Phillips de macroeconomía. Con base en los datos de tasa cambio porcentual de los salarios nominales (Y) y la tasa porcentual de desempleo (X) para el Reino Unido durante el período 1861 a 1957, Phillips obtuvo una curva cuya forma general se parece a la figura 6.5b y es reproducida en la figura 6.7.

Como lo muestra la figura 6.7, existe asimetría en la respuesta de los cambios salariales al nivel de desempleo: si la tasa de desempleo está por debajo de U^N (denominada por los economistas tasa natural de desempleo) por cada unidad de cambio en el desempleo, los salarios aumentan con mayor rapidez de lo que caen debido a un cambio equivalente cuando la tasa de desempleo está por encima del nivel natural, β1 indicando la base asintótica para el cambio salarial. Este hecho particular de la curva de Phillips puede deberse a factores institucionales, tales como el poder de negociación de los sindicatos, los salarios mínimos, compensaciones por desempleo, etc.



lunes, 10 de febrero de 2014

Modelos Recíprocos (I)

Los modelos del siguiente tipo se conocen como modelos recíprocos.
A pesar de que este modelo es no lineal en la variable X por que entra inversamente o en forma recíproca, el modelo es lineal en β1 y β2 y, por consiguiente, es un modelo de regresión lineal.

Este modelo tiene las siguientes características: A medida que X aumenta indefinidamente, el término β2(1/X) se acerca a cero (nota: β2 es una constante) y Y se aproxima al valor límite o asintótica β1. Por consiguiente, modelos tales como (6.6.1) han construido en ellos un valor asintótico o límite que tomará la variable dependiente cuando el valor de la variable X aumente indifinidamente.

Algunas formas probables de la curva correspondientes (6.6.1) se muestran en la figura 6.5. Un ejemplo de la figura 6.5a está dado en la figura 6.6, que relaciona el costo fijo promedio (CFP) de producción con el nivel de la producción. Como lo muestra esta figura, el CFP desciende continuamente a medida que aumenta la producción (porque el costo fijo se distribuye entre un gran número de unidades) y, en este caso, se vuelve asintótico en el eje de la producción al nivel β1.

domingo, 9 de febrero de 2014

El modelo Lin-Log (III)

Con la interpretación realizada de la manera recién descrita, el coeficiente de la pendiente alrededor de 2585 significa que en el período muestral un incremento en la oferta monetaria de 1% era, en promedio, seguido por un incremento en el PNB cercano a US$25.85 mil millones (nota: Divida el coeficiente de la pendiente estimada por 100).

Antes de continuar, obsérvese que si se desea calcular el coeficiente de elasticidad para los modelos log-lin o lin-log, esto puede hacerse a partir de la definición del coeficiente de elasticidad dado anteriormente, a saber (dY/dX)(X/Y). De hecho, una vez se conozca la forma funcional de un modelo, se pueden calcular elasticidades aplicando la definición anterior. La tabla 6.5, dada más adelante, resume los coeficientes de elasticidad de los diversos modelos que se han considerado en este capítulo.

sábado, 8 de febrero de 2014

El modelo Lin-Log (II)

Esta ecuación plantea que el cambio absoluto en Y(=ΔY) es igual a β2 veces el cambio relativo en X. Si éste último es multiplicado por 100, entonces (6.5.13) da el cambio absoluto en Y ocasionado por un cambio porcentual en X. Así, si ΔX/X cambia en 0.01 unidades (o 1%), el cambio absoluto en Y es 0.01(β2). Por tanto, si en una aplicación se encuentra que β2 = 500, entonces el cambio absoluto en Y es (0.01)(500), o 5.0. Por consiguiente, cuando se utiliza MCO para estimar regresiones como en (6.5.11), se debe multiplicar el valor del coeficiente de la pendiente estimado, β2, por 0.01 o, lo que es lo mismo dividirlo por 100.

Volviendo a los datos dados en la tabla 6.3, se pueden escribir los resultados de la regresión de la siguiente manera:


viernes, 7 de febrero de 2014

El modelo Lin-Log (I)

Suponga que tiene la información dada en la tabla 6.3, donde Y es PNB y X es la oferta monetaria (M2). Supóngase luego que se está interesado en encontrar en qué magnitud (en valor absoluto) aumenta el PNB si la oferta monetaria se incrementa digamos, en un porcentaje.

A diferencia del modelo de crecimiento recién estudiado, en el cual se estaba interesado en encontrar el crecimiento porcentual en Y, ante un cambio unitario absoluto en X, ahora hay interés en encontrar el cambio absoluto en Y debido a un cambio porcentual en X. Un modelo que puede lograr este propósito puede escribirse como

jueves, 6 de febrero de 2014

Advertencia sobre los modelos log-lin y de tendencia lineal

Aunque estos modelos se utilizan frecuentemente para estimar el cambio relativo o absoluto en la variable dependiente a través del tiempo, su uso rutinario para este fin ha sido cuestionado por los analistas de series de tiempo. Su argumento principal es que tales modelos pueden ser apropiados solamente si la serie de tiempo es estacionaria en el sentido definido en la sección 1.7. Para el lector avanzado este tema se analiza en bastante detalle en el capítulo 2.1 sobre Series de Tiempo Econométricos

miércoles, 5 de febrero de 2014

Modelo de tendencia lineal (II)

En contraste con (6.5.8), la interpretación de esta regresión es la siguiente. Durante el período 1972 a 1991, en promedio el PIB real aumentó a una tasa absoluta (Nota: no relativa) de cerca de 97.68 mil millones de dólares. Así, durante ese período hubo una tendencia creciente en el PIB real.

La escogencia entre el modelo de crecimiento (6.5.8) y el modelo de tendencia líneal (6.5.10), dependerá de si se está interesado en el cambio relativo o absoluto del PIB real aunque, para muchos fines, es el cambio relativo el que tiene mayor importancia. A propósito, obsérvese que no se puede comparar los valores de r² de los modelos (6.5.8) y (6.5.10) porque los regresados o variables dependientes son diferentes en los dos modelos.

martes, 4 de febrero de 2014

Modelo de tendencia lineal (I)

En lugar de estimar el modelo (6.5.6), los investigadores algunas veces estiman el siguiente modelo:

Yt = β1 + β2t + ut (6.5.9)

Es decir, en lugar de regresar el log de Y sobre el tiempo, ellos regresan Y sobre el tiempo. Un modelode este tipo se denomina modelo de tendencia lineal y la variable tiempo t se conoce como la variable de tendencia. Por tendencia se quiere decir un movimiento sostenido hacia arriba o hacia abajo en el comportamiento de una variable. Si el coeficiente de la pendiente en (6.5.9) es positivo, existe una tendencia creciente en Y, mientras que si es negativa, existe una tendencia decreciente en Y.

Para los datos del PIB real, los resultados basados en (6.5.9) son los siguientes:

lunes, 3 de febrero de 2014

Tasa de crecimiento instantánea vs, compuesta

Tasa de crecimiento instantánea vs, compuesta. El coeficiente de la pendiente de 0.02469 obtenido en (6.5.8) o, más generalmente, el coeficiente β2 del modelo de crecimiento(6.5.5) de la tasa de crecimiento instantánea (en un punto del tiempo) y no la compuesta (durante un período de tiempo). Pero esta última puede encontrarse fácilmente a partir de (6.5.4). Simplemente obténgase el antilogaritmico de 0.02469, réstesele 1 y multiplíquese la diferencia por 100. Así, en el presente caso, el antilog(0.02469)-1 = 0.024997, cerca del 2.499%. Es decir, durante el período en estudio, la tasa compuesta de crecimiento del PIB real fue cerca de 2.499% por año. Esta tasa de crecimiento es ligeramente superior a la tasa instantanea de crecimiento alrededor de 2.469%.

domingo, 2 de febrero de 2014

Modelos semilogarítmicos: Log-Lin y Lin-Long (IV)

La interpretación de esta regresión es la siguiente: Durante el período 1972-1991, el PIB real de los Estados Unidos creció a una tasa de 2.469% por año. Puesto que 8.0139 = lnYo (por qué?), si se toma el antilog de 8.0139, se encuentra que Yo=3022.7 (aproximadamente), es decir, a principios de 1972 el PIB real estimado fue alrededor de 3023 miles de millones de dólares. La línea de regresión obtenida de (6.5.8) se muestra en la figura 6.4.

sábado, 1 de febrero de 2014

Modelos semilogarítmicos: Log-Lin y Lin-Long (III)

Un modelo log-lin como (6.5.5) es particularmente útil en situaciones en las cuales la variable X es el tiempo, como en el ejemplo del PNB, puesto que en ese caso el modelo describe la tasa de crecimiento constante relativa (=β2) o porcentual (100.β2)(Si β2>0) o la tasa de decrecimiento (β2<0) de la variable Y. Es por esta razón que los modelos como (6.5.5) se denominan modelos de crecimiento (constante)
Retornemos al ejemplo del PIB real. Podemos escribir los resultados de la regresión basada en (6.5.6) de la siguiente manera