R² y R² Ajustado (IV)

De la ecuación (7.8.4) se hace inmediatamente entendible que (1) para k > 1, R² < R² lo cual implica que a medida que el número de variables X aumenta, el R² ajustado aumenta menos que el R² no ajustado; y (2) el R² puede ser negativo, aun cuando el R² es necesariamente no-negativo. En caso de que el R² resulte ser negativo en una aplicación, su valor se toma como cero. (El lector debe verificar que para el ejemplo ilustrativo dado anteriormente, el R² es 0.8519, que es menor que el valor de R² 0.8766).

Cuál R² se debe utilizar en la práctica? Como lo anota Theil:

... es una buena práctica utilizar R² en lugar de R² por que R² tiende a dar una imagen demasiada optimista del ajuste de la regresión, particularmente cuando el número de variables explicativas no es muy pequeño comparado con el número de observaciones.

Pero la opinión de Theil no es compartida totalmente, ya que él no ha dado una justificación teórica general para la "superioridad" de R². Por ejemplo, Goldberger argumenta que el siguiente R², denominado R² modificado, servirá igualmente.

R² Modificado = (1-k/n)R²