Precisión o errores estándar de los mínimos cuadrados estimados (III)

Anteriormente se anotó que, dado Xi, σ² representa la varianza (condicional) de ui y Yi. Por consiguiente, el error estándar del valor estimado puede llamarse también la desviación estándar (condicional) de ui y Yi. Ciertamente, como es usual, σ²y y σy representan la varianza y la desviación estándar incondicionales de Y, respectivamente.

Nótese las siguientes características de las varianzas (y por consiguiente, los errores estándar) de β1 y β2.

1. La varianza de β2 es directamente proporcional a σ² pero inversamente proporcional a  Σx²i. Esto es, dado σ², entre más grande sea la variación en los valores X, menor será la varianza de β2 y por lo tanto mayor será la precisión con la cual β2 puede ser estimada. En resumen, dado σ², si hay una variación sustancial en los valores de X (recuérdese el supuesto 8), β2 puede medirse en forma más precisa que cuando las Xi no variaban sustancialmente. También, dado Σx²i, entre mayor sea la varianza de σ², mayro será la de β2. Adviértase que a medida que aumenta el tamaño n de la muestra, aumentará el número de términos en la suma,  Σx²i. A medida que aumenta n, la precisión con la cual β2 puede ser estimada también es mayor. Por qué?